例析立体几何中的动点问题.doc

www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！例析立体几何中的动点问题 山东 王忠华 任思增 在高考试题中，经常考查立体几何中的动点问题，在立体几何中常见的动点问题大致可分为以下几类：一是求动点轨迹问题；二是求动点与某点（或面）的距离问题；三是求直线与直线（或平面）垂直问题；四是求直线与直线（或平面）平行问题；五是平面与平面垂直问题。本文举例说明这几个问题的解法。一、 求动点轨迹问题这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。04年高考北京、天津、重庆都各有一个选择题考查了动点轨迹问题。 例1（04天津文8）如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点例1题图ABCPC. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点解析：由三垂线定理的逆定理得ACPC且PC在内的射影为BC，ACBC.ACB=900. C点的轨迹为以AB为直径圆，但除去A、B两点.二、 动点与某点（面）的距离问题例2正方体中，棱长为a，E是的中点，OE例2题图ABCDA1C1D1B1M在对角面上找一动点M，使AM+ME最小.解析： 设ACBD=O，则AO=CO 平面是线段AC的垂直平分面，C是A关于平面的对称点。连CE交面于M ， 则M 就是要求的点，这时AM+ME 最小。又AM=CM,AM+ME的最小值就是CE 的长，而=, 此时AM+ME的最小值为简评：本题先证明平面是线段AC的垂直平分面，然后利用C是A关于平面的对称点，所以AM=CM, AM+ME的最小值，即为CM+ME的最小值，即CE的长，所以M点为CE和平面的交点。三、 直线与平面（或直线）垂直问题例3（05湖北理20）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解析：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则NzxyODE例3题图（2）ABCPDE例3题图（1）ABCPAC与PB所成角的余弦值为. （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），然后利用NE面PAC，有求得动点N的坐标为.四、 直线与平面（或直线）平行问题例4.如图，已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ABC=600， PA=AC=a， PB=PD=a点E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上有一动点F，当动点F移动到何处时，使BF平面AEC？证明你的结论。xABCPDEFzy例4题图解析：由题意知PA平面ABCD，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过点A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系。则A（0，0，0）、B（a，-a，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0，a，a），所以=（0，a，a），=（a，a，-a），=（-a，a，a），=（a，a，0），=（0，0，a），设点F是棱PC上的点，=（a，a，-a），其中01,则=（-a，a，a）+（a，a，-a）=（a（-1），a（1+），a（1-）.令=1+2,则 此时,F为棱PC的中点.又BF平面AEC，所以当F是棱的中点时， BF平面AEC .简评：本题主要考查共面向量定理，令=1+2,由题意得到又BF平面AEC，说明BF平面AEC.此时F为棱PC的中点.五、 平面与平面垂直问题EFGHDABC例5题图P例5.如图，在正三棱锥ABCD中，DAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H. 设P是棱AD上的动点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明.解：作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH. .面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=a,AP=a.简