（陕西专用）2019版中考数学一练通 第一部分 基础考点巩固 第四章 三角形 4.2 三角形及其性质课件

第四章三角形 4 2三角形及其性质 考点1三角形的分类 陕西考点解读 三角形按边的关系分类如下 三角形按边的关系分类如下 陕西考点解读 等腰三角形中至少有两边相等 而等边三角形的三边都相等 所以等边三角形是特殊的等腰三角形 特别提示 提分必练 1 已知一个三角形三个内角的度数之比为1 2 3 则这个三角形一定是 a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 等腰直角三角形 b 考点2三角形的三边关系 陕西考点解读 中考说明 1 探索并证明三角形的内角和定理 2 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 证明三角形的任意两边之和大于第三边 1 三角形的三边关系定理及其推论 1 三角形的三边关系定理 三角形的两边之和 大于第三边 2 推论 三角形的两边之差 小于第三边 2 三角形的内角和定理及其推论 1 三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180 2 推论 a 直角三角形的两个锐角 互余 b 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 c 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角 陕西考点解读 特别提示 1 运用三角形的三边关系时 不一定要列出三个不等式 只要两条较短的线段之和大于第三条线段即可 2 一个三角形有六个外角 要证明角的不等关系 常常要用到三角形的外角的性质 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 陕西考点解读 提分必练 2 下列长度的三条线段 能组成三角形的是 a 4cm 5cm 9cmb 8cm 8cm 15cmc 5cm 5cm 10cmd 6cm 7cm 14cm3 将一副直角三角板按如图的位置放置 使含30 角的三角板的一条直角边和含45 角的三角板的一条直角边在同一条直线上 则 的度数是 a 45 b 60 c 75 d 85 b c 考点3三角形的相关线段 陕西考点解读 中考说明 1 理解三角形的中线 高线 角平分线等概念 2 探索并证明三角形的中位线定理 陕西考点解读 1 三角形的角平分线是一条线段 而角的平分线是一条射线 2 三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形 3 三角形的角平分线 中线都在三角形的内部 锐角三角形的高在其内部 如图 直角三角形的两条直角边互为高 三条高的交点在直角三角形的直角顶点处 如图 钝角三角形有两条高在三角形的外部 三条高的延长线的交点在三角形的外部 如图 陕西考点解读 特别提示 陕西考点解读 提分必练 4 如图 cd ce cf分别是 abc的高 角平分线 中线 则下列各式错误的是 a ab 2bfb ace acbc ae bed cd be c 考点4特殊三角形的性质与判定 陕西考点解读 中考说明 1 探索并证明等腰三角形的性质定理 2 探索并掌握等腰三角形的判定定理 3 探索等边三角形的性质定理与判定定理 4 探索并掌握直角三角形的性质定理 5 探索勾股定理及其逆定理 1 等腰三角形的性质与判定 1 定义 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 如图 abc为等腰三角形 2 性质 两个底角相等 即 b c 两腰相等 即ab ac 等腰三角形是轴对称图形 有一条对称轴 即直线ad 三线合一 等腰三角形 顶角的平分线 底边上的高 底边上的中线互相重合 3 判定 有两边相等的三角形是等腰三角形 有两角相等的三角形是等腰三角形 4 等腰三角形的面积计算公式 其中a是底边长 h是底边上的高 陕西考点解读 2 等边三角形的性质与判定 1 定义 三边都相等的三角形叫作等边三角形 如图 abc为等边三角形 2 性质 三条边相等 即ab ac bc 三个角相等 且每个角都等于 60 是轴对称图形 有三条对称轴 3 判定 三边都相等的三角形是等边三角形 三角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的 等腰三角形是等边三角形 4 等边三角形的面积计算公式 a是等边三角形的边长 h是等边三角形的高 陕西考点解读 3 直角三角形的性质与判定 1 性质 直角三角形的两个锐角 互余 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的 一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 2 勾股定理 直角三角形两直角边长a b的平方和等于斜边长c的平方 即a2 b2 c2 3 常用关系式 如图 由三角形的面积公式 得ab cd ac bc 4 判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方 那么这个三角形是直角三角形 陕西考点解读 特别提示 陕西考点解读 1 若题目中没有明确指出三角形的边是底还是腰 没有明确指出三角形的角是顶角还是底角时 要进行分类讨论 2 底角为顶角2倍的等腰三角形 其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形 3 等边三角形的内心 外心 重心和垂心重合 4 运用勾股定理的前提是在直角三角形 且必须在同一个直角三角形中 勾股定理把 数 和 形 有机地结合起来 是数形结合思想方法的典型 知识延伸 射影定理在直角三角形中 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 如图 提分必练 陕西考点解读 5 如图 在等边三角形abc中 ad bc 垂足为d 点e在线段ad上 ebc 45 则 ace等于 a 15 b 30 c 45 d 60 6 如图 在 abc中 bac 90 ad bc 垂足为d e是边bc的中点 ad ed 3 则bc的长为 a b c 6d a d 考点5三角形的五心 陕西考点解读 提分必练 陕西考点解读 三角形的重心把中线分为2 1的两部分 重心到顶点的距离占2份 重心到对边中点的距离占1份 特别提示 7 如图 在 abc中 a 66 点i是内心 则 bic的大小为 a 114 b 122 c 123 d 132 c 重难点1三角形中的重要线段 重点 重难突破强化 例1 2018 西安莲湖区模拟 如图 在 abc中 ac 5 ab 6 bc 9 ab的垂直平分线交bc于点d 则 acd的周长是 a 11b 14c 15d 20 b 解析 mn是ab的垂直平分线 da db acd的周长为ad cd ac bd cd ac bc ac 9 5 14 故选b 重难点2特殊三角形的相关计算 重点 难点 重难突破强化 例2 2018 福建中考 把两个同样大小的含45 角的直角三角尺按如图的方式放置 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点a 且另三个锐角顶点b c d在同一直线上 若ab 则cd 解析 如答图 过点a作af bc于点f 在rt abc中 b 45 bc ab 2 bf af ab 1 这两个含45 角的直角三角尺全等 ad bc 2 在rt adf中 df cd bf df bc 重难点3特殊三角形的判定 易错点 重难突破强化 例3 2018 黑龙江中考 在rt abc中 abc 90 ab 3 bc 4 过点b的直线把 abc分割成两个三角形 使其中只有一个是等腰三角形 则这个等腰三角形的面积是 解析 在rt abc中 abc 90 ab 3 bc 4 ac s abc ab bc 6 过点b的直线把 abc分割成两个三角形 使其中只有一个是等腰三角形 有三种情况 当ab ap 3时 如答图 s abp s abc 6 3 6 3 6或4 32或4 8 当ab bp 3 且点p在ac上时 如答图 作rt abc斜边ac上的高bd 则bd ad dp ap 2ad 3 6 s abp ap bd 3 6 2 4 4 32 当cb cp 4时 如答图 s bcp s abc 6 4 8 综上所述 等腰三角形的面积可能为3 6或