高中数学函数知识总结.docx

指数与指数函数 知识梳理1.指数（1）n次方根的定义若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质当n为奇数时，=a.当n为偶数时，=|a|=（3）分数指数幂的意义a=（a0，m、n都是正整数，n1）.a=（a0，m、n都是正整数，n1）.2. 一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数.3.指数函数的图象和性质y=ax图像a10a0时y1当x0时0y0时0y1 当x1是R上的增函数是R上的减函数例题讲解例1、等于A. B.C. D. 例2、函数y=ex的图象A.与y=ex的图象关于y轴对称B.与y=ex的图象关于坐标原点对称C.与y=ex的图象关于y轴对称D.与y=ex的图象关于坐标原点对称例3、已知关于x的方程2a7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根例4、设a是实数，试证明对于任意a,为增函数例5、已知函数f(x)=(aa)(a0且a1)在(, +)上是增函数, 求实数a的取值范围例6、求函数的定义域.例7、若a0，b0，且a+b=c，求证：(1)当r1时，ar+brcr；(2)当r1时，ar+brcr.例8、已知函数在区间1,1上的最大值是14，求a的值.例9、（1）已知是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3xk无解？有一解？有两解？例10、已知函数(a1).（1）判断函数f (x)的奇偶性；（2）求f (x)的值域；（3）证明f (x)在(，+)上是增函数.例11、已知函数f(x)ax2(x0)的图象经过点，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域例12、画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)2x的图象经过怎样的变换得到的(1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2|x|；(4)y2x.例13、函数f(x)ax(a0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值【答案】例1、A 例2、D例3、解: 2a7a+3=0, a=或a=3.a=时, 方程为: 8()14()+3=0x=2或x=1log3a=2时, 方程为: 22+3=0x=2或x=1log2例4、证明：设R,且则由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即0得+10, +10所以0即因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数例5、解: 由于f(x)递增， 若设xx,则f(x)f(x)=(aa)(aa)=(a a)(1+aa)0, 故(a9)( (a a)3; (2) , 解得0a1.综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。例6、解：要使函数有意义必须：定义域为：例7、 解：，其中.当r1时，所以ar+brcr；当r1时，所以ar+brcr.例8、解： ， 换元为，对称轴为.当，即x=1时取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)例9、解： （1）常数m=1（2）当k0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0k1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解。例10、解：(1)是奇函数.(2)值域为(1，1).(3)设x1x2，则。=a1，x1x2，aa. 又a+10，a+10，f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2).函数f(x)在(，+)上是增函数.例11、【解析】(1)函数图象过点，所以a422，a，(2)f(x)x2(x0)，由x0，得x