矩阵的特征值和特征向量.ppt

2020 4 14 1 5 1矩阵的特征值和特征向量 2020 4 14 2 5 1 1特征值和特征向量的基本概念定义设A为数域F上的n阶矩阵 如果存在数l F和非零的n维列向量X 使得AX lX就称l是矩阵A的特征值 X是A的属于 或对应于 特征值l的特征向量 注意 特征向量X 0 特征值问题是对方阵而言的 本章的矩阵如不加说明 都是方阵 2020 4 14 3 AX lX 根据定义 n阶矩阵A的特征值 就是齐次线性方程组 lI A X 0有非零解的l值 即满足方程det lI A 0即的l都是矩阵A的特征值 因此 特征值是l的多项式det lI A 的根 2020 4 14 4 AX lX det lI A 0 5 2 定义设n阶矩阵A aij 则 称为矩阵A的特征多项式 lI A称为A的特征矩阵 5 2 式称为A的特征方程 2020 4 14 5 显然 n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式 特征多项式的k重根也称为k重特征值 当n 5时 特征多项式没有一般的求根公式 即使是三阶矩阵的特征多项式 一般也难以求根 所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值 一般用0 1 1 2 2进行尝试先得到一个根 则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解 2020 4 14 6 例 解 验证 是否为A的特征向量 2020 4 14 7 注1 注2 注3 如果是A对应于特征值的特征向量 则也是A对应于特征值的特征向量 2020 4 14 8 注5 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的 注4 如果是A对应于特征值的线性无关特征向量 则也是A对应于特征值的特征向量 2020 4 14 9 例求下列矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 A的特征值为 即 对应的特征向量可取为 2020 4 14 10 对应的特征向量可取为 A属于的全部特征向量 A属于的全部特征向量 2020 4 14 11 例求矩阵 的特征值和特征向量 解矩阵A的特征多项式为 A的特征值为l1 2 l2 3 1 二重特征值 2020 4 14 12 当l1 2时 由 l1I A X 0 即 得其基础解系为X1 0 0 1 T 因此k1X1 k1 0为常数 是A的对应于l1 2的特征向量 2020 4 14 13 当l2 1时 由 l2I A X 0 即 得其基础解系为X2 1 2 1 T 因此k2X2 k2 0为常数 是A的对应于l2 1的特征向量 2020 4 14 14 例求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 A的特征值为 2020 4 14 15 得基础解系 得基础解系 2020 4 14 16 例主对角元为a11 a22 ann的对角阵A或上 下 三角阵B的特征多项式是 lI A lI B l a11 l a22 l ann 故A B的n个特征值就是n个主对角元 2020 4 14 17 2 n阶矩阵A aij 的n个特征值为l1 l2 ln 则 5 1 2特征值和特征向量的性质 1 设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0 2020 4 14 18 矩阵的特征值和特征向量还有以下性质 3 若l是矩阵A的特征值 X是A属于l的特征向量 则 i kl a是kA aI的特征值 k a是任意常数 ii lm是Am的特征值 m是正整数 iii 当A可逆时 l 1是A 1的特征值 iv 当A可逆时 detA l是A 的特征值 且X仍是矩阵kA aI Am A 1 A 的分别对应于特征值kl a lm 1 l detA l的特征向量 2020 4 14 19 证已知AX lX i kl是kA的特征值 k是任意常数 这是因为 kA X k AX klX 即kl是kA的特征值 X是kA的属于特征值kl的特征向量 ii A AX A lX l AX l lX 即A2X l2X再继续上述步骤m 2次 就得AmX lmX iii 当A可逆时 l 0 由AX lX可得A 1 AX A 1 lX lA 1X因此A 1X l 1X故l 1是A 1的特征值 且X也是A 1对应于l 1的特征向量 2020 4 14 20 4 矩阵A和AT的特征值相同 证因为 lI A T lI T AT lI AT所以det lI A det lI AT 因此A和AT有完全相同的特征值 2020 4 14 21 定理 设阶方阵A有互不相同的特征值 iI A x 0的基础解系为则 线性无关 推论 6 设A为n阶方阵 若 为A的特征值 则是f A 的特征值 7 设 为A的k重特征值 A关于 的线性无关的特征向量的最大个数为s 则1 s k 矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个 2020 4 14 22 例设A是一个三阶方阵 1 2 3是它的三个特征值 试求 1 A对角线上元素之和 2 A 3 A2 A I 解设A aij 由定理知 1 a11 a22 a33 1 2 3 1 2 3 6 2 A 1 2 3 1 2 3 6 3 因A的特征值为1 2 3 设f x x