迅行 六年级 第9讲 圆和扇形(2) 教师版.docx

思维训练-迅行中学-六年级-第9讲第十讲 圆和扇形（2）知识要点：圆和扇形的周长和面积计算的基本方法是仔细观察,发现特点,找出内在的联系,常常通过对图形割补,旋转,平移,等积变形等方法加以解决。需要精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来。初步认识点与线的轨迹并利用圆和扇形的周长和面积公式解决问题。一、基础应用：【例1】 已知米，米，是圆心。如图，从到有条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短。【解析】 设，则，线路的长度为：，线路的长度为：，则线路和线路的距离一样长，同理可得线路和线路的距离一样长，所以三条线路的距离一样长。【例2】 试求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）【解析】 整个图形的面积为：（平方厘米）所以阴影部分面积为：（平方厘米）【例3】 如图，扇形的，等于，垂直于点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（）【解析】 等腰直角三角形的面积为：（平方厘米）所以阴影部分面积为：（平方厘米）【例4】 求阴影部分的面积。【解析】 方法：连结、，由题可知弓形、面积相等，所以利用图形平移可知阴影部分面积就等于扇形的面积减去正方形的面积：（平方厘米）。方法：扇形的面积为：（平方厘米），圆的面积为：（平方厘米），空白部分的面积为：（平方厘米），所以阴影部分面积为（平方厘米）二、拓展训练:【例5】 如图.草场上有一个长米宽米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长米的绳子栓着一只羊,问这只羊能够活动的范围有多少平方米？（）【解析】 如图，阴影部分就是这只羊的活动范围，扇形的面积为：（平方米）扇形的面积为：（平方米）扇形的面积为：（平方米）所以羊的活动范围的面积为：（平方米）【例6】 图中各小圆的半径为厘米，求该圆中阴影部分的面积。【解析】 两小圆重叠部分面积为：（平方厘米）由图可知阴影部分面积为大圆的减去两小圆重叠部分：（平方厘米）。【例7】 直径均为米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起如图，试求金属带的长度和阴影部分的面积。【解析】 金属带由四段圆心角为的弧和四条直线组成，所以金属带的长度为：（米）；依次连结小圆的圆心，得到一个边长为米的正方形，空白部分为四个圆心角为的扇形且直径均为米，所以阴影部分面积为：（平方米）【例8】 求两个阴影部分的面积差。【解析】 上部分的阴影部分面积加上空白部分面积之和为：下部分阴影部分面积加上空白部分的面积之和为：所以两个阴影部分面积之差为：【例9】 如图，圆中相互垂直的两线段把圆分成四部分，和两部分面积谁大，大多少？【解析】 如图，做两条垂直的线段，则、三部分的面积和的面积相等，我们很容易得知的面积比部分大，大中间一个大的长方形的面积，长为，宽为，所以面积多【例10】 如图个等圆两两外切，将圆绕着其他个圆无滑动地滚动到圆的位置，问圆共转动了多少圈？【解析】如图，圆的圆心在滚动过程中的轨迹如虚线所画，设圆的直径为，圆心运动轨迹的长度为：所以圆共转了（圈）。三、难题解析:【例11】 有三个面积都是的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是,并且重合的两块是等面积的,直线过两个圆心、， 如果直线下方被圆覆盖的面积是,求圆面积的值。【解析】 设重合的两块面积都为，桌面被圆覆盖的面积是三个圆的面积减去重叠部分，所以：，同理可知：，联立解得，所以圆面积的值为。【例12】 如图，为圆心，垂直于，三角形的面积是平方厘米，以为圆心，为半径画弧将圆分成两部分，求阴影部分的面积。【解析】 设,容易得知：,则，阴影部分的面积可以通过半圆的面积减去弓形的面积，弓形的面积为：，所以阴影部分面积为：（平方厘米）。四、巩固练习：1. 如图，是个半圆(单位:厘米),其阴影部分的周长是多少？【解析】 （厘米）2. 如图是由边长为厘米的正方形和半圆形组成的图形，其中点为半圆周的中点，点为正方形一边的中点，那么阴影部分面积是多少？【解析】 图形的总面积为：（平方厘米），连结,空白部分的面积为：（平方厘米），所以阴影部分的面积为：（平方厘米）。3. 左图是一个直径是厘米的半圆，是直径让点不动，把整个半圆逆时针转，此时点移动到点，如右图所示那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 图形的总面积为：（平方厘米），所以阴影部分面积为：（平方厘米）。4. 等腰三角形中，甲、乙两部分面积相等，求扇形所在圆的面积。【解析】 由于甲和乙面积相等，所以他们分别加上空白部分后面积也相等，即三角形的面积和扇形的面积相等。所以扇形的面积为，所以扇形所在圆的面积为。注：此题不需要先求半径长，直接利用圆和扇形的面积倍数关系去求即可。5. 如图，扇形AOB中，若固定点，将此扇形依顺时针方向旋转，得一新扇形，其中点在上，如图所示，则点旋转至点所经过的轨迹长度为多少？（保留p）。【解析】 点旋转至点所经过的轨迹是一段弧，弧所在的圆半径为，圆心角为，所以点旋转至点所经过的