高考数学第一轮复习教案 专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形.doc

专题六 三角函数、三角恒等变换与解三角形一、考试内容：数学探索版权所有角的概念的推广弧度制数学探索版权所有任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式数学探索版权所有两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切数学探索版权所有正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角数学探索版权所有正弦定理余弦定理斜三角形解法二、数学探索版权所有考试要求：数学探索版权所有（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算数学探索版权所有（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义数学探索版权所有（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式数学探索版权所有（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明数学探索版权所有（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义数学探索版权所有（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示数学探索版权所有（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形数学探索版权所有（8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1”三、命题热点高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理，并能步运用它们解斜三角形，并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。在高考中重点考查：三角函数的图像和性质、正弦定理、余弦定理、平面向量的数量积、平面向量的几何意义等。四、知识回顾1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）3、弧长公式：. 扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,.10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.当；.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 有.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x0时的相位）（当A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y）由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数ysinx，的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是1，1，值域是函数ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数，记作yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数ytanx，的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是（，），值域是函数yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数，记作yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）注：（一）反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）注：，.反余弦函数非奇非偶，但有，.注：，.是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，.注：，.反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.，.注：，.与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足. 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：的取值范围 解集 的取值范围 解集的解集 的解集1 1 =1 =1 1 1 的解集： 的解集：二、三角恒等式.组一组二组三 三角函数不等式 在上是减函数若，则三、正、余弦定理：正弦定理： （是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个； 等三个。11.几个公式:三角形面积公式：（分别表示a、b、c边上的高）；.内切圆半径r=； 外接圆直径2R=五、典型例题一选择题1.（C ）2.函数是（C ） A.周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数3.已知则的值为 （D ） A. B. C. D.4.设则有（ C ） A. B. C. D.5.函数的定义城是（D ） A. B. C. D.6如果函数的最小正周期是,且当时取得最大值,那么（A ）A. B. C. D.7.若函数在sinx1时取最大值，在sinxa时取得最小值，则实数a满足（ B ）A0a1 B1a0 Ca1 Da18.已知tan、tan是方程x2+3x+4=0的两个根，且、(-),则+的值是 ( B )A. B.- C. 或- D.- 或 9的值等于 （ D ）Asin2 Bcos2Ccos2Dcos210.将函数的图象向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得到的图象，则可以是（ B ）A. B. C. D.11.设若且则下列结论中必成立的是（ D） A. B. C. D.12. 是三角形中一个最小内角,且, 则的取值范围为（ C ）A. B. C. D. 二填空题13.已知那么的值为 ,的值为;14. 已知sinacosb1，则15.圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是16.已知在中，则角的大小为三解答题17.(1)求值：解：(1)原式= (2）已知的值.解：(2)由已知得： 由已知条件可知 (3)已知sin是方程的根，求的值.解：(3)，已知sin是方程的根， ，18.已知，求sin(a + b)的值.解： 又 又 sin(a + b) = -sinp + (a + b) = 19关于的方程在区间上有且只有两个不同的实根,(1)求实数的范围. (2)求这两个实根的和.解:(1)原方程可化为,方程在上有两个相异的实根，则必须满足,解得.(2)当,方程的一根为,则另一根为;当时,即,方程的一根为,另一根为.20.已知函数 （1）当时，求的单调递增区间； （2）当且时，的值域是求的值.解：（1） 由得 当时，的递增区间为 （2）由得 又 由题意知21、一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点开始作匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以2倍于自己的速度向点作匀速直线滚动如图所示，已知若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？解 设该机器人最快可在点处截住足球，点在线段上，设，由题意，在中，由余弦定理，得即解得，或（不合题意，舍去）答 该机器人最快可在线段上离点的点处截住足球六、近年高考试题分析（2011湖南文科）17（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小解析：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是 取最大值2综上所述，的最大值为2，此时（2010湖南文科）7.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.abC. ab D.a与b的大小关系不能确定（2010湖南文科）16. （本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。七、总结1角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧长公式： 扇形面积公式： 2. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 3.能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ （x，y）作图象。 5. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 6. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 7 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ 对称轴：令，得 对称中心：； 对称轴：令，得；对称中心：； 周期公式:函数及的周期 (A、为常数，且A0).函数的周期 (A、为常数，且A0).（4）三角函数的单调区间及对称性： 的单调递增区间为,单调递减区间为，对称轴为,对称中心为.的单调递增区间为,单调递减区间为，对称轴为,对称中心为.的单调递增区间为，对称中心为.（5）平移变换、伸缩变换 平移公式： 图象？ 8. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ “奇”、“偶”指k取奇、偶数。 A. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值 9. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ；.；.=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).（2）二倍角公式：.（升幂公式）.（降幂公式）.（3）理解公式之间的联系： 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法： （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 10、（1）正、余弦定理：正弦定理： （是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个； 等三个。11.几个公式:三角形面积公式：（分别表示a、b、c边上的高）；.内切圆半径r=； 外接圆直径2R= （2）熟悉正、余弦定理的各种表达形式，实现边、角转化，从而解斜三角形 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 11. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 八、命题预测预测1.将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是Ay= By= Cy=1+ Dy=解析：:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B预测2.已知向量，其中，函数的最小正周期为，最大值为3。 （1）求和常数的值； （2）求函数的单调递增区间。解析：（1）， ， 由，得。 又当时，得.（2）由（1）当， 即，故的单调增区间为，。动向解读：本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。三角函数解答题的命题方向：（1）考查三角函数的图像与性质为主，一般需要求出函数的解析式，通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。（2）考查三角形中的三角恒等变换，其核心为根据正余弦定理实现边角之间的互化。（3）考查利用正余弦定理解三角形（包括实际应用题），这在近几年课标区高考试题中经常考到。九、巩固练习A组（1）若角的终边过点，则的值为（C ）(A) (B)(C) (D) （2）的图象与直线的交点的个数为（ ）(A)0 (B)1(C)2 (D)3C提示：作出的图象，直线，数形结合（3）在中，则的值为（ ）(A)(B)(C)(D)（3）C提示：，-又，（4）化简的结果是（ ）B提示：，。(A)(B)(C) (D) （5）在中，若，则此三角形解的情况为（ ）(A)无解(B)两解(C)一解(D)解的个数不能确定B提示：，此三角形有两解（6）若，且为第三象限角，则的值为（ ）(A)(B) (C) (D) B提示：，为第三象限角，（7）有以下四种变换方式： A向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度其中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）(A)和 (B)和(C)和(D)和（8）在中，若，则（ ）(A)(B)(C)(D)（8）C提示：，又，（9）已知，则的值为 提示： （10）函数在一个周期的区间上的图象如图，则 ， ， （11）已知，其中（1）求；（2）求的值解 （1），又，在与之间，只有的正切值等于1，（12）已知，求的值解 法一 ，即又有，2得，又，联立，法二 ，即，又，又，（13）一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为作为时间 的函数，满足关系求：（1）最初时的值是多少？（2）单摆摆动的频率是多少？（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？提示：（1）；（2）；（3）（14）已知函数（1）求的最小正周期；（2）画出函数在区间上的图象解 （1）（2）五点法作图（略）（15）已知函数的最大值为1（1）求常数的值；（2）求使成立的x的取值集合解 （1），（2），解得，使成立的x的取值集合为B组（16）设，则 观察以下各等式：，归纳得到 提示：， 或，其中，等等。略证： （18）已知为第二象限的角，化简：解：为第二象限的角，（19）已知；（1）求证：；（2）求证：证明 （1），联立解得，得证（2）由得，得证（20）如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈途中与地面垂直以为始边，逆时针转动角到设点与地面距离为（1）求与的函数解析式；（2）设从开始转动，经过秒到达，求与的函数解析式；（3）填写下列表格：051015202530（20）解 （1），（2），（3）051015202530解斜三角形1、已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，求cos的值.解法一：由题设条件知B=60，A+C=120.设=，则AC=2，可得A=60+，C=60，依题设条件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0.从而得cos.解法二：由题设条件知B=60，A+C=120，把式化为cosA+cosC=2cosAcosC ，利用和差化积及积化和差公式，式可化为 ， 将cos=cos60=，cos(A+C)=代入式得：将cos(AC)=2cos2()1代入 ：4cos2()+2cos3=0，(*)， 2在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为30的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：(1)在RtPAB中，APB=60 PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30，A