应力与应变间的关系.ppt

7 7应力与应变间的关系 一 单向应力状态下应力与应变的关系 横向线应变与纵向线应变成正比 比值为泊松比 而符号相反 E为材料的弹性模量 单位为N m2 1 二 纯剪切应力状态下应力与应变的关系 或 G为剪切弹性模量 单位为N m2 2 1 符号规定 1 各向同性材料的广义胡克定律 a 三个正应力分量 拉应力为正压应力为负 三 复杂应力状态下应力与应变的关系 3 b 三个剪应力分量 若正面 外法线与坐标轴正向一致的平面 上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致 或负面 外法线与坐标轴负向一致的平面 上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致 则该剪应力为正 反之为负 图中表示的均为正方向 4 线应变 以伸长为正 缩短为负 剪应变 使直角减小者为正 增大者为负 xOy yOz zox 5 在 x y z分别单独存在时 x方向的线应变 x依次为 2 各向同性材料的广义胡克定律 1 线应变的推导 6 在 x y z同时存在时 x方向的线应变 x为 在 x y z同时存在时 y z方向的线应变为 7 剪应变 xy yz zx与剪应力 xy yz zx之间的关系为 2 剪应变的推导 8 9 3 特例 1 平面应力状态下 假设 Z 0 10 2 广义胡克定律用主应力和主应变表示时三向应力状态下 7 7 6 11 平面应力状态下设 3 0 则 12 材料的三个弹性常数E G 间存在如下关系 13 14 解 一 一对应 由于构件自由表面 所以主应力 2 0 所以该点为平面应力状态 由 解得 15 该点处另一主应变 2的数值为 2是缩短的主应变 其方向必与 1和 3垂直 即沿构件的外法线方向 16 四 各向同性材料的体积应变 2 各向同性材料在空间应力状态下的体积应变 1 概念 构件每单位体积的体积变化 称为体积应变用 表示 17 设单元体的三对平面为主平面 其三个边长为dx dy dz变形后的边长分别为dx 1 dy 1 2 dz 1 3 因此变形后单元体的体积为 2 dz 18 体积应变为 19 将广义胡克定律 代入得 20 在最一般的空间应力状态下 材料的体积应变只与三个线应变 x y z有关 仿照上述推导有 21 在平面纯剪切应力状态下 代入得 可见 材料的体积应变等于零 即在小变形下 剪应力不引起各向同性材料的体积改变 22 例题7 7边长a 0 1m的铜立方块 无间隙地放入体积较大 变形可略去不计的钢凹槽中 如图所示 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比 0 34 当受到P 300kN的均布压力作用时 求该铜块的主应力 体积应变以及最大剪应力 a a a P y x z 23 解 铜块上截面上的压应力为 y y 由 24 解得 铜块的主应力为 25 体积应变和最大剪应力分别为 26 例题9 8壁厚t 10mm 外径D 60mm的薄壁圆筒 在表面上k点处与其轴线成45 和135 角即x y两方向分别贴上应变片 然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶 如图所示已知圆筒材料的弹性模量为E 200GPa和 0 3 若该圆筒的变形在弹性范围内 且 max 80MPa 试求k点处的线应变 x y以及变形后的筒壁厚度 27 D t x y m k 可求得 解 从圆筒表面k点处取出单元体 其各面上的应力分量如图所示 28 k