1.1.3导数的几何意义

课时提升作业导数的几何意义(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为x+2y-3=0,那么( )A.f(x0)0B.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在【解析】选B.切线x+2y-3=0的斜率k=-,即f(x0)=- 0.故应选B.2.(2015济宁高二检测)曲线y=x2-2在点(1,- )处切线的倾斜角为( )A.1B.C.D.-【解析】选B.因为y=(x+x)=x,所以切线的斜率k=y|x=1=1.所以切线的倾斜角为,故应选B.3.(2015南安高二检测)抛物线y=x2在点M(,)处切线的倾斜角是( )A.30B.45C.60D.90【解析】选B.y=2x,故y=1.故在点M处切线的倾斜角为45.【补偿训练】(2015东营高二检测)曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为_.【解析】设切点坐标为(x0,y0),y= (x+2x0-3)=2x0-3=1,故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)4.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为( )A.B. C. D.【解析】选C.根据定义可求得y=3x2,y|x=1=3,切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点坐标为(,0),与x=2的交点坐标为(2,4),围成三角形面积为(2-)4=.5.(2015汉中高二检测)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( )A.2B.C.- D.-2【解析】选D.因为y=,所以y=-,所以y|x=3=-,由题意可知-a=2,解得a=-2,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=_.【解析】= (ax+2a)=2a=2,所以a=1,又3=a12+b,所以b=2,即=2.答案:27.若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线的方程为_.【解析】由f(x)=x-=0得x=1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).因为f(x)= = 1+=1+.所以切线的斜率k=1+=2.所以切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).答案:y=2(x-1)或y=2(x+1)8.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)=_. 【解题指南】f(5)即在点P处切线的斜率,f(5)可利用直线方程求值.【解析】f(5)+f(5)=(-5+8)+(-1)=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.求曲线y=-上一点P(4,-)处的切线方程.【解析】由题得y=(-)=-.所以y|x=4=-=-,所以曲线在点P(4,-)处的切线方程为y+=-(x-4).即5x+16y+8=0.【补偿训练】曲线y=x2-3x上的点P处的切线平行于x轴,求点P的坐标.【解析】设P(x0,y0),y=(x+x)2-3(x+x)-(x2-3x)=2xx+(x)2-3x,=2x+x-3.= (2x+x-3)=2x-3,所以y=2x0-3,令2x0-3=0得x0=,代入曲线方程得y0=-,所以P(,-).10.(2015开封高二检测)若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则y= (8x+4x)=8x,由得故所求的点为P(,1).【补偿训练】曲线y=-x2上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为_.【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y=-x2切于点P(x0,y0),则由y= (-2x0-x)=-2x0,由得所以P(-,-),点P到直线x-y+3=0的距离d=.答案:(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是( )A.9 B.6 C.-3 D.-1【解析】选A.y=(2+x)3-3(2+x)-23+6=9x+6(x)2+(x)3,=9+6x+(x)2,= 9+6x+(x)2=9,由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.2.(2015泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( )A.(-,B.-1,0C.0,1D.- ,+)【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,由定义可求其导数y=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tan(为点P处切线的倾斜角),又因为,所以12x0+2,所以x0-,+).故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)3.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程为_.【解题指南】求出曲线在任一点处的切线斜率,配方求斜率的最小值.【解析】设切点为P(x0,y0),过点P的切线斜率k= = 3+6x0+6+(x)2+(3x0+3)x=3+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3,此时点P的坐标为(-1,-14),其切线方程为3x-y-11=0.答案:3x-y-11=04.(2015广州高二检测)若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为_.【解析】根据题意可知过点P处切线的斜率为f(-2)=-5,又直线OP的斜率为-,据题意有-=-5c=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值.【解题指南】分别求出在x=x0处的切线斜率,利用切线相互垂直求出切点.【解析】因为f(x)= (x+2x)=2x,g(x)= (x)2+3xx+3x2=3x2,所以k1=2x0,k2=3,所以k1k2=-1,即6=-1,解得x0=-.【补偿训练】求抛物线C1:y=x2+2x与抛物线C2:y=-x2-的公切线方程.【解析】对y=x2+2x求导,根据导数的定义可得,y=2x+2,对y=-x2-求导,根据导数的定义可得,y=-2x,设公切线与抛物线C1:y=x2+2x的切点为(x0,y0),与抛物线C2:y=-x2-的切点为(x1,y1),依题意可得方程组解得x0=-,y0=-,所以公切线方程为y+=2(-)+2(x+),即4x-4y-1=0.6.(2015银川高二检测)已知曲线y=f(x)=上两点P(2,-1),Q(-1,).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率.(2)求曲线在P,Q处