九年级数学上册特殊平行四边形1菱形的性质与判定例题精讲与同步练习素材.docx

菱形的性质与判定例题精讲与同步练习【重点、难点】重点：1菱形的概念。有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。2菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角；菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。3菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。【讲一讲】几何：例1：已知：在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF。分析：由菱形的性质可以知道AB=AD=BC=CD，又E、F分别为中点，则BE=DF。另有B=D，这样通过全等三角形可以求证AE=AF证明：ABCD为菱形，AB=ADBC=CDB=DE、F分别为BC、CD的中点BE=DF在ABE与ADF中ABEADFAE=AF例2：已知：矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。分析：由EF为AC的垂直平分线有AE=EC，AF=FC，若证AFCE为菱形，只须证AE=FC，通过已知ABCD为矩形，利用矩形的性质可以证明AOE与COF全等。从而得到AE=CF。证明：ABCD为矩形，ADBC1=2。EF为AC的垂直平分线AO=CO在AOE与COF中AOECOFAE=FCABCD为矩形，ADBC即AEFC四边形AFCE为平行四边形EF是AC的垂直平分线EFACAFCE为菱形。例3：已知：如图在RtABC中，BAC=90，ABC的角平分线交AC于D，AHBC于H，交BD于E，DFBC于F。求证：AEFD为菱形。分析：利用角平分线的性质可以证明AD=DF。由角平分线可得ADB=BEH，从而得到1=ADE，即AE=AD，又可证明AEDF，所以由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以证明结论。证明：在RtABC中，BAC=90，ADB+ABD=90AHBC于H2+DBF=901=21+DBF=90BD平分ABCABD=DBF，ADB=1AE=ADBD平分ABC，BAC=90DFBC于FAD=FDAE=FDAHBC于H，DFBC于FAHDF，即 AEFDAEFD为平行四边形AE=ADAEFD为菱形【同步达纲练习】1已知：平行四边形ABCD中，AC和BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，HG过O点交AB于H，交CD于G。如果EF平分AOD，HG平分AOB求证：EHFG为菱形2已知菱形ABCD的对角线AC长为16，BD长为12求它的面积。边长AB及高。3已知菱形对角线BD=4，BAD：ADC=1：2，求：菱形面积及对角线AC的长。4如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEDB。DE与CE相交于E求证：四边形OCED为菱形。5求证：菱形四边中点连线组成的图形为矩形6求证：矩形四边中点连线组成的图形为菱形。参考答案【同步达纲练习】1OE平分AOD OH平分AOB AOD+AOB=180即HGEF。ABCD为平行四边形OA=OC BO=ODADBC ABCDDAO=BCO ABO=ODCAOEOCF，BHOODGOE=OF OH=OGHFGE为菱形。2ABCD为菱形，ACBD OA=OC OD=OB又AC=16 BD=12OD=6 AO=8AB=103ABCD为菱形ABCDBAD+ADC=180BAD：ADC=1：2BAD=60 ADC=120ACBD OA=OC OB=OD BD=4OB=2，又BAO=DAO=30 AB=44DEAC DEOC同理CEOD OCED为平行四边形ABCD为矩形 AC、BD相交于OOA=OC OD=OB且AC=BDOD=OCOCED为菱形。5证明：连结AC、BD相交于O EFBD又ABCD为菱形AC