（组）与简单的线性规划问题》课件

3 3 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 主要内容 3 3 2简单的线性规划问题 3 3 1二元一次不等式 组 与平面区域 3 3 1 二元一次不等式 组 与平面区域 实例引入 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款 希望这笔资金至少可带来30000元的收益 其中从企业贷款中获益12 从个人贷款中获益10 那么 信贷部应该如何分配资金呢 这个问题中存在一些不等关系 我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢 设用于企业贷款的资金为x元 用于个人贷款的资金为y元 则 x y 25000000 由于预计企业贷款创收12 个人贷款创收10 共创收30000元以上 所以 12 x 10 y 30000 即12x 10y 3000000 显然用于企业贷款和个人贷款的资金额都不能是负值 于是x 0 y 0 含有两个未知数 并且未知数的次数是1次的不等式称为二元一次不等式 综合上述可得分配资金应该满足的条件 zxxk 我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 满足二元一次不等式 组 的x和y的取值构成有序数对 x y 所有这样的有序数对 x y 构成的集合称为二元一次不等式 组 的解集 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标 于是 二元一次不等式 组 的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合 思考 我们知道 一元一次不等式 组 的解集可以表示为数轴上的区间 那么 在直角坐标系内 二元一次不等式 组 的解集表示什么图形呢 在平面直角坐标系中 x y 6表示一条直线 平面内的所有的点被直线x y 6分成三部分 1 在直线x y 6上的点 2 在直线x y 6左上方的区域内的点 3 在直线x y 6右下方的区域内的点 6 6 x y 6 6 6 x y 6 探究 设点P x y1 是直线x y 6上的点 选取点A x y2 使它的坐标满足不等式x y 6 填表 当点A与点P有相同的横坐标时 它们的纵坐标有什么关系 据此说说 直线x y 6上方点的坐标与不等式x y 6有什么关系 直线x y 6下方点的坐标呢 在平面直角坐标系中 以二元一次不等式x y 6的解为坐标的点都在直线l的左上方 反过来 直线l左上方点的坐标都满足不等式x y 6 结论 因此在平面直角坐标系中 不等式x y6表示直线x y 6右下方的平面区域 直线x y 6叫做这两个区域的边界 6 6 x y 6 x y 6 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的平面区域 为表示区域不包括边界 我们把直线画成虚线 zxxk 平面区域的一般结论 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界 把边界画成实线 x y 6 0 x y 6 0 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 对于直线ax by c 0同一侧的所有点 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都相同 故只需在直线Ax By C 0的某一侧取一特殊点 x0 y0 以ax0 by0 c的正负的情况便可判断ax by c 0表示这一直线哪一侧的平面区域 特殊地 当c 0时常把原点作为此特殊点 二元一次不等式表示的平面区域 例1画出不等式x 4y 4表示的平面区域 解 先作出边界直线x 4y 4 并画成虚线 取原点 0 0 代入x 4y 4 因为 0 4 0 4 4 0 所以原点 0 0 在x 4y 4 0表示的平面区域内 不等式x 4y 4表示的区域如图所示 在直线x 4y 4的左下方 x 4y 4 练习画出不等式2x y 4 0表示的平面区域 解 先画出直线2x y 4 0 根据题意画成实线 取原点 0 0 代入2x y 4得2 0 0 4 4 0 所以原点在不等式2x y 4 0所表示的区域内 不等式2x y 4 0所表示的区域如图所示在直线2x y 4 0的下方 包括边界 二元一次不等式组表示的平面区域 例2画出不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集 即各个不等式表示的平面区域的公共部分 练习画出不等式组表示的平面区域 zxxk 解 如图所示四边形OABC所围成的区域 不包括边BC 即为所求 其中O 0 0 A 3 3 B 5 1 C 5 0 例3 要将两种大小不同的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示 今需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 用数学关系式和图形表示上述要求 解 设需要截第一种钢板x张 第二种钢板y张 则 X 3y 27 X 2y 18 2X y 15 M 如图所示的阴影部分表示上面限制条件的平面区域 例4 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 解 设x y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足一下条件 在直角坐标系中可表示成图中的平面区域 M 小结 1 二元一次不等式及其解集的几何意义2 二元一次不等式表示的平面区域及其判定3 简单的应用 作业 练习P86 1 2 习题P9 9 组 1 2 组1 2 3 3 2 简单的线性规划问题 实例引入 某工厂用A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天工作8h计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 分析 设甲乙两种产品分别生产x y件 由已知条件可得二元一次不等式组 将上述不等式组表示成平面上的区域 图中阴影部分的坐标为整数的点的集合就代表所有可能的日生产安排 即当点P x y 在上述平面区域中时 所有安排的生产任务x y才有意义 如 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 3 2 4 0 4 1 4 2 x 探究 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 分析 设工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 上述问题转化为当x y满足条件 并且为非负整数时 z的最大值是多少 如 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 3 2 4 0 4 1 4 2 把约束条件的整数点坐标全部列举出来 代入z 2x 3y可比较算得当x 4 y 2时利润z最大 最大值为z 2 4 3 2 14 万元 思考 上述枚举出所有整数点一一验证利润函数求得最大值 显然这样的解题方法效率不高 当点数非常多时 就无效了 需要寻求更好的办法 x 当z变化时 可以得到一组互相平行的直线 截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定 同时坐标x y应在约束条件所表示的平面区域内 向上平移直线可以容易得到最大截距及相应的x y值 当x 4 y 2时 得到最大值 z也达到最大值为14万元 例子中 利润函数z 2x 3y是关于x y的目标函数 其中x y满足的平面区域的条件常称为约束条件 由于都是由二元一次不等式组构成的 所以又称为线性约束条件 如 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 线性规划的相关概念 可行解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 如 1 2 4 2 等 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 如图中阴影部分中的整数点坐标的集合 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 如点 4 2 或x 4 y 2使得z 2x 3y取得最大值 4 2 是最优解 线性规划 说明 1 约束条件的平面区域就是可行域 可以是封闭多边形 也可以是不封闭的 2 最优解可以只有一个 也可以多个 是有限多的 也可以无限多的 即最优解可以是不唯一 但最大值或最小值只有一个 3 在平移目标函数变形得到直线时 最优解往往在区域的边界 或附近 例1 解下列线性规划问题 求z 3x y的最大值 使式中x y满足下列条件 解 平面区域如图所示 可行解区域为多边形OABCD 其中A 7 0 B 9 2 C 3 6 D 0 6 答 当x 9 y 2时 z 3x y有最大值29 作直线3x y 0 向上平移直线3x y 0 得到3x y z 在多边形OABCD中找到使得3x y取得最大值的点B 9 2 此时zmax 3 9 2 29 例2 营养学家指出 成人良好的日常饮食至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1kg食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物A和食物B多少kg 分析 将已知数据列成下表 解 设每天食用xkg食物A ykg食物B 总成本为z 那么 目标函数为z 28x 21y 当z变化时 可以得到一组互相平行的直线 考虑z 28x 21y可变形为 可以看成x y的直线方程 斜率为 在y轴上的截距为 当最小时 z也最小 M 平移直线可以容易得到最小截距 此时直线经过可行域的点M 答 每天使用食物A约143g 食物B约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 解方程组 得点M的坐标 所以z的最小值为zmin 28x 21y 16 例3 要将两种大小不同的钢板截成A B C三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示 今需要A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截得这两种钢板多少张可得所需A B C三种规格产品 且使所用钢板张数最少 解 设需要截第一种钢板x张 第二种钢板y张 共需钢板数z x y张 其约束条件为 X 3y 27 X 2y 18 2X y 15 M 如图所示的阴影部分表示上面限制条件的平面区域即为可行域 把z x y变形为y x z 得到斜率为 1 在y轴上截距为z的一族平行直线 当直线z x y经过可行域上的点M时 截距z最小 解方程组 得x y 但都不是整数 依题意不是最优解 在点M附近寻找整数点B 3 9 C 4 8 C 此时 zmin 12 答 要截得所需三种规格的钢板 且使所截得钢板张数最小的方法有两种 第一种截法是第一种钢板3张 第二种钢板9张 第二种截法是第一种钢板4张 第二种钢板8张 两种截法都最少要两种钢板12张 且使截距z最小的直线是y x 12 经过点B 3 9 C 4 8 例4 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 若生产1车皮甲种肥料 产生的利润为10000元 生产1车皮乙种肥料 产生的利润为5000元 那么分别生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 解 设x y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 能够产生利润z万元 目标函数为z x 0 5y 约束条件为 在直角坐标系中可表示成图中的平面区域即为可行域 M 把z x 0 5y变形为y 2x 2z