（试题 试卷 真题）第8讲 向量及其应用

第8讲 向量及其应用一、考点要求1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念；2掌握向量的加法和减法；3掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；4了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；6掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式；7了解利用向量法证明空间平行垂直关系的方法，了解利用向量法进行角和距离的计算二、基础过关1若向量a（1，1），b（1，1），c（1，2），则c （ ）Aa b Ba b Ca b Dab解：设，解得故选B2设|a|4，|b|3，a与b夹角为60，则|ab|等于（ ）A37 B13 C D解：选C3已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则( ) A()，(0，1) B()，(0，)C()，(0，1) D()，(0，)解：选A4平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1) ，B(1，3)，若点满足，其中有，R且1，则点C的轨迹方程为（ ）A3x2y110 B(x1)2(y2)25 C2xy0 Dx2y50解：选D5将函数yf(x)的图象按向量a平移，使得图象上点的坐标由(1，0)变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 ( ) Ayf(x1)2 Byf(x1)2Cyf(x1)2 Dyf(x1)2解：选C6设 a，b，c是平面内任意的非零向量且相互不共线，则 (ab)c(ca)b0 |a| |b|ab| (bc)a(ca)b不与c垂直 (3a2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2 其中真命题是（ ） A B C D解：选D三、典型例题1平面向量中，已知=(3，2)，(1)若=，则向量在方向上的投影为_.（2）向量，则向量在方向上的投影为_.2 已知：，与的夹角为，且向量与的夹角为钝角，则的取值范围为_例1 已知a（cos，sin），b（cos,sin），a与b之间有关系|kab|akb|，其中k0，（1）求证：(ab)(ab)；（2）用k表示ab；（3）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小解：（1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2(|akb|)2，k2a2+b2+2kab3(a2+k2b22kab)，8kab(3k2)a2+(3k21)b2，ab a(cos，sin)，b(cos,sin)，a21, b21，ab （2）k2+12k，即，ab的最小值为又ab | a|b |cos，|a|b|1，11cos60，此时a与b的夹角为60注 与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2|(a+b)2|a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2abABCa例2 如图，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值解法1：，=故当，既（与方向相同）时，最大，其最大值为0解法二：以直有项点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|AB|=c, |AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）且，设点P的坐标为，则，=，故当，既（与方向相同）时，最大，其最大值为0例3 在平面直角坐标系中有一条定长为3的线段，其端点A、B分别在x、y轴上滑动，设点M满足2（1）求动点M的轨迹方程，若轨迹C是圆，写出其圆心坐标和半径；若C是椭圆、双曲线或抛物线，写出其焦点坐标和准线方程；（2）直线垂直于轴，且与轴交于点D（0，），过点D的直线与曲线C相交于P、Q两点，过点P且平行于的直线与曲线C相交于另一点R，设（1），E（0，），证明：解：（1）设M（x，y），A（a，0），B（0，b），则a2b29，（xa，y），（x，by）， 由2得，（xa，y）2（x，by）， 即：解得 代入a2b29得，x21， M的轨迹C是椭圆，其焦点坐标为（0，），（0，），准线方程为y和y（2）设，则(x1，y1)，(x2，y2)，由已知得：解得(注：运算时令t)(x1，y1)(x1，)(x1，)，(x2，y2)(x2，)(x2，)， (x2，)(x1，)，例4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长AB=BC=3，BB1=4，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于点E，交B1C于点F（1）求证：A1C平面EBD；（2）设A1C平面EBD=K，求线段A1K的长；（3）求A1B与平面BDE所成角的大小解法1：（1）证，可得A1C平面EBD（2）在平面中用平几知识可求得，在对角面中，设与交于点，可求得，由面积法得，（3）A1C平面BDE，A1BK就是所求的直线A1B与平面BDE所成的角，直线A1B与平面BDE所成的角为解法2：（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0），A(3，0，0），C(0，3，0），B(3，3，0），A1(3，0，4），D1(0，0，4），C1(0，3，4），B1(3，3，4）设E(0，3，z），则BEB1C，=0，=(-3，0，z），=(-3，0，-4），B1C=(-3，0，z）（-3，0，-4）=9-4z=0，z=， E(0，3，)，=-33+33=0，=33-4=0，DB，A1CDE， A1C平面BDE（2）=m+n=m(3，3，0）+n（0，3，）=(3m，3m+3n，n），K(3m，3m+3n，n），=（3m-3，3m+3n，n-4），=(3m-3，3m+3n，n-4）(3，3，0）=0，2m+n-1=0，及=(3m-3，3m+3n，n-4）(0，3，）=0，16m+25n-16=0，m=，n=， K（-，-）=，|=这就是所求的线段A1K的长（3）A1C平面BDE，CA1B就是所求的直线A1B与平面BDE所成的角的余角=（0，3，-4），|=5，sinA1BK=，sinA1BK=arcsin=，即直线A1B与平面BDE所成的角的大小为arcsin为四、热身演练1|ab|a |b|成立的充要条件是（ ）DAab (R) Bab (0) Cab (0) Dab (0)或b0OABC2如图，已知点分有向线段的比为3，且a，b，c，则以下等式成立的是 （ ）AAcab Bcb2a Cca2b Dcab3已知ABC中，a，b，a b0，SABC，|a|3，|b|5，则a与b的夹角是 （ ）A A30 B150 C150D30或1504已知(4，3)，函数f(x)x2mxn按向量平移得到的图象，恰与直线4xy80相切于点T(1，4)，则原函数的解析式为（ ）CAf(x)x22x1 Bf(x)x22x2Cf(x)x22x2 Df(x)x22x5O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0，)，则P的轨迹一定通过的（ ）BA外心 B内心 C重心 D垂心6已知a，b是不共线的两个向量，已知2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则p_7已知a（cos，sin），b(cos，sin)（0），且|ab|ab|（0），则 8已知(2，1)，(1，7)，(5，1)，设M为直线OP上一点，设M是直线OP上一点，则当 有最小值时，cosAMB的值为_9（1）已知a，b是两个非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，试求a与b的夹角；（2）已知：|a|，|b|3，a和b的夹角为45，求使向量ab与ab的夹角是锐角时的取值范围解：（1）a+3b与7a5b垂直，（a+3b）(7a5b)=0，即7|a|2+16ab15|b|2=0， 又a4b与7a2b垂直，（a4b）(7a2b)=0即7|a|230ab+8|b|2=0 得46ab=23|b|2,得ab=|b|2，代入可得|a|=|b|，设所求a与b的夹角为，则cos=，=60（2）由已知ab=|a|b|cos45=3=3a+b与a+b夹角为锐角，（a+b）(a+b)0，即ab2+(a2+b2) +ab0把ab=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得32+11+30，解之得，此即所求的取值范围10在RtABC中，C90，|AC|2，|AB|4（1）求中线AM长的取值范围；（2）当AM长取最大值时，求两中线AM与BN所成钝角的大小解：以C为原点，、方向分别为x轴、y轴正方向建立如图坐标系，则A（0，2），设B（a，0）(a0)，则M（，0），（a，2），（，2）（1）|，由|AB|4，即|4，4，所以a212，故|，又|2，所以AM长的取值范围为（2，（2）当|时，a2，此时M（，0），N（0，1），B（2，0），（，2），（2，1）cos，故两中线AM与BN所成钝角为arccos()11已知椭圆中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是F（m，0）（m是大于0的常数）（1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的斜率解：（1）设所求椭圆方程是由已知得，所以，故所求椭圆方程是（2）设