数学高考总复习：导数的应用-整理.docx

数学高考总复习：导数的应用知识要点梳理知识点一： 导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径 关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率是，切线方程为 。知识点二：导数的运算1、几种常见函数的导数公式： ； (aQ)； ； ； 2、导数的四则运算法则： ； ； 知识点三：导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步： （1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。注意： 在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！ 例如：而f(x)在R上递增。 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。 要关注导函数图象与原函数图象间关系。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数；(3) 在定义域内解不等式；(4) 确定f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；(2) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意： 在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。 可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数； 求方程的根； 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)4、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系： 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念； 极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； 极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。规律方法指导 函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。 函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f(x)的符号产生变化。 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。 在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。 利用导数可以判定函数的单调性，从而也可以利用导数证明某些不等式。利用导数证明某些不等式的基本步骤：依据题意构造函数、判定函数的单调性、利用单调性证明要证明的不等式。经典例题精析类型一：导数的运算1求下列函数的导数： （1）； （2）；（3）； （4）（5） （6）举一反三：【变式】求下列函数的导数（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6） 类型二：导数的几何意义和物理意义2已知曲线C：y=x2，点M(1,1)在C上(1)求M点处切线的斜率及切线方程；(2)求过点P(2,2)与曲线y=x2相切的直线方程。举一反三：【变式1】曲线在点处的切线方程是_。【变式2】已知曲线，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方程。【变式3】求曲线的分别满足下列条件的切线：（1）在点的切线；（2）过点的切线；【变式4】运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。3在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。举一反三：【变式】已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。类型三：函数的单调区间4求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调递增区间。5是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，）上递增，若存在，求出这样的k值； 6若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。举一反三：【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。【变式2】当x0时，证明不等式：类型四：函数的极值7求函数的极值。举一反三：【变式】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。8已知函数在与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式恒成立，求c的取值范围。举一反三：【变式1】已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值。(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程。【变式2】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值。【变式3】设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，.若存在使得成立，求的取值范围.类型五：函数的最值9求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。10已知的最大值为3，最小值为-29，求的值； 举一反三：【变式1】设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。【变式2】设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12()求a,b,c的值；()求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值。类型六：导数的实际应用11如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。举一反三：【变式1】一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？【变式2】请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？【变式3】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S()求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；()求面积S的最大值。【变式4】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？高考题萃1（2008全国I）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2 B C D2（2007全国卷II）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A3 B2 C1 D3（2008湖北）若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4（2008广东）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B C D5（2008全国II）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_6（2008江苏）直线是曲线的一条切线，则实数_。7（2008北京）已知函数，求导函数，并确定的单调区间8（2008全国I）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围9（2008山东文）设函数，已知和为的极值点（1）求和的值； （2）讨论的单调性；（3）设，试比较与的大小10.（2008重庆）设函数曲线通过点，且在点处的切线垂直于轴.（）用分别表示和；（）当取得最小值时，求函数的单调区间. 11（2008湖南）已知函数. （I）求函数的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.12（2008辽宁）设函数（）求f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由13（2008全国II）设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围14. （2007天津卷）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的单调区间与极值15. （2007湖北卷）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）学习成果测评基础达标： 1曲线在点(-1,-1)处的切线方程是（ ）。A、x+y=2 B、 C、x-y+2=0 D、x+y+2=02当x0时，f(x)=x+的单调递减区间是（ ）。A、(2, +) B、(0,2) C、 D、3函数f(x)=lnx-ax(a0)，则它的单调递增区间是（ ）。A、 B、 C、（0，+） D、（0，a）4设函数f(x)=(x3-1)2+1，下列结论中正确的是（ ）。A、x=1是函数f(x)的极小值点，x=0是极大值点B、x=1及x=0均是f(x)的极大值点C、函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值D、x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值点5函数f(x)=2x-cosx在(-, +)上（ ）。A、是增函数 B、是减函数 C、有最大值 D、有最小值6函数y=x4-2x2+5, x-2,2的最大值和最小值分别为（ ）。BA、13，-4 B、13，4 C、-13，-4 D、-13，47函数f(x)=ln(1+x)-x的最大值为_；函数y=1+3x-x3的极大值是_，极小值是_。8对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是_。9求函数，的单调区间和极值、最值.10证明函数在（2，4）上是减函数。11.设在x=1处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调递增区间 .12. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。()求a、b的值；()若对于任意的x0，3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。13设函数f(x)=ln(2x+3)+x2；()讨论f(x)的单调性；()求f(x)在区间的最大值和最小值。14做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？能力提升： 15函数f(x)=x3-3ax-a在（0，