概率论课后习题P22习题1.4.doc

P18习题12.已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人（1）求此人患色盲的概率；（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率（以上各问结果写成最简分式形式）分析：（1）设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C，则此人患色盲的概率P=P（AC）+P（BC），代入计算即可得到答案（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率P（A|C）=P(AC)P(C) ，代入计算即可得到答案解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C（1）此人患色盲的概率P=P（AC）+P（BC）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B） =100 /200 5/ 100 +100 /200 25 /100 =21 /800 （6分）（2）由（1）得P（AC）=5 /200又P（C）=21 /800 P（A|C）=P(AC) /P(C) =(5 /200 )( 21/ 800) =20 /21 （12分）本题考查的知识点是条件概率，互斥事件的概率加法公式，其中（1）中关键是要分男女情况来进行解答，（2）的关键是对公式P（A|C）=P(AC)P(C) 的理解13.对以往数据分析结果表明,当机器调整达良好时,产品的合格率为90%,而机器发生某一故障时,产品的合格率为30%,每天早上机器开动时,机器调整达良好的概率为75%,已知某日早上第一件产品是合格品,试求机器调整达良好的概率解:设A:机器调整达良好 B:产品合格 C为A的逆 D为B的逆则原题即为：已知P(B|A)=0.9 P(B|C)=0.3 P(A)=0.75求：P(A|B)=?P(A|B)=P(AB)/P(B) =P(B|A)*P(A)/P(B|C)*P(C)+P(B|A)*P(A) =0.9*0.75/(0.3*0.25+0.9*0.75) =0.914.某工厂中,三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,她们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品,将这些产品混在一起,现随机地取一产品,问它是次品的概率是多少?又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大?记事件A:任取一件产品，该产品由第1台机器生产。事件B:任取一件产品，该产品由第2台机器生产。事件C:任取一件产品，该产品由第3台机器生产。事件D:任取一件产品，该产品是次品。已知P(A)=0.25,P(B)=0.35,P(C)=0.4,P(D|A)=0.05,P(D|B)=0.04,P(D|C)=0.02.由全概公式P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.05*0.25+0.04*0.35+0.02*0.4=0.0345.由贝叶斯公式P(A|D)=P(D|A)P(A)/P(D)=0.05*0.25/0.345=25/69,同样,P(B|D)=0.04*0.35/0.0345=28/69,P(C|D)=0.02*0.4/0.0345=16/69.这一次品是由第2台机器生产的概率最大.P22 习题1.41. P(A)=0.4,P(AUB)= 0.7,在下列条件下分别求P(B):(1) A与B互不相容(2) A与B相互独立(3) A包含于B解:(1)因A与B互不相容,则有P(AUB)= P(A)+P(B)=0.7,已知P(A)=0.4,解得P(B)=0.3(2)A与B相互独立,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),P(A)P(B)=P(AB)设P(B)=X,则0.7=0.4+X-0.4X,得X=0.5(3)A包含于B,则P(AUB)=P(B)=0.72. 甲乙两人独立地各向同一目标射击一次,其命中率分别是0.6和0.7,若已知目标被命中,求目标被命中的概率,若已知目标被命中,求它是甲射中的概率.解:目标没被命中的概率是(1-0.6)*(1-0.7)=0.12,目标被命中的概率是1-0.12=0.88目标被甲乙同时命中的概率是0.6*0.7=0.42目标只被甲命中的概率是0.6*(1-0.7)=0.18目标只被乙命中的概率是0.7*(1-0.6)=0.28已知目标被命中 是甲命中的概率是0.6/(1-0.12)=15/223. 有甲 、乙两批种子，发芽率分别是0.8，0.7，在两批种子中各随机取一粒，求（1）两粒都发芽的概率（2）至少有一粒发芽的概率（3）恰有一粒发芽的概率解:(1）两粒都发芽的概率0.8乘0.7=0.56(2)至少有一粒发芽的概率=P(甲乙甲乙)=0.8*0.3+0.2*0.7+0.8*0.7=0.94（3）恰有一粒发芽的概率因为甲发芽率是0.8，所以甲不发芽的概率是1-0.8=0.2。乙发芽率是0.7，所以乙不发芽的概率是1-0.7=0.3所以甲乙恰有一粒发芽的概率是0.8*0.3+0.7*0.2=0.24+0.14=0.384. 加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是2%、3%、5%，假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是什么？解法一：设、分别是第一、二、三道工序得到次品的事件，由题设可知，这些事件是相互独立的，因为这些事件中任意一个、两个或三个事件发生时，加工出来的零件即为次品。设加工出来的零件为次品的事件为A，则即加工出来的零件为次品的概率为0.09693。解法二：、分别为第一、二、三道工序得到次品的事件，A为加工出来的零件为次品的事件，则，又，即加工出来的零件为次品的概率为0.09693。5. 在1小时内甲,乙,丙3台机床需维修的概率分别是0.1,0.2,0.15.求，（） 没有一台机床需要维修的概率（）至少有一台需要维修的概率（）一小时内至多只有一台机床需要维修的概率解：(1)(1-0.1)*(1-0.2)*(1-0.15)=0.612(2)1-0.612=0.388(3).+0.1*(1-0.2)*(1-0.15)+(1-0.1)*0.2*(1-0.15)+(1-0.1)*(1-0.2)*0.15=0.94至多一台修复 就是说 可以是只修复一台 也可以是 一台都未修复因此： P=P(只修复一台)+P(一台都未修复)=(0.1*0.8*0.85+0.9*0.2*0.85+0.9*0.8*0.15)+(0.9*0.8*0.85) =(0.068+0.153+0.108)+(0.612)=0.941. 证明：若与相互独立，则与的逆相互独立。证明：依题意知P（AB）P（A）P（B）P（AB)=P(A)(1-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=P(A)P(B).设0P(A)1,证明事件A与事件B相互独立的充要条件是P(|)=P(|的对立事件)。求证明P(AB)=P(A)P(B) P(BA)=P(AB)/P(A)=P(B),P(B )=P(B )/P( )=P(B) P(BA)= P(B ) ) P(BA)= P(B ) P(AB)/P(A)= P(B )/P( ) P(AB) P( )/P(A)=P(B)P(AB) P(AB)=P(A)P(B)若独立，则由P(AB)=P(A)P(B)得P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B)P(B|A*)=P(A*B)/P(A*)=P(A*)P(B)/P(A*)=P(B)故P(B|A)=P(B|A*)若P(B|A)=P(B|A*)则P(AB)/P(A)=P(A*B)/P(A*)=P(B)-P(AB)/1-P(A)即P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)故A与B相互独立. 设A与B相互独立,两个事件仅A发生和仅B发生的概率都是1/4,求P(A).P(B).1-P(A)P(B)=1-P(B)P(A)=1/4所以P(A)=P(B)=1/2. 一批产品中有30%的一级品,进行重复抽样调查,共取5个样品,求(1) 取出的5个样品中恰有2个一级品的概率;(2)取出的5个样品中至少有2个一级品的概率由题意可知这是一个独立重复试验。可以用二项分布来解决这个问题。设x为次品数，则x服从p=0.3,n=5的二项分布。x=0,1,2,3