数学华东师大版七年级下册第七章复习

第七章一元一次方程组单元复习（一）【学习目标】 使学生对方程组以及方程组的解有进一步的理解，能灵活运用代人法和加减法解二元一次方程组，会解简单的三元一次方程组，并能熟练地列出一次方程组解简单的应用题。使学生进一步了解把“二元” 转化为“一元的消元思想，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”的思想方法。【学习重点】解二元一次方程组以及列方程组解应用题。【学习难点】找出等量关系列出二元一次方程组.【知识回顾】一.本章知识结构 二、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念1二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。2二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。例如：、等都是二元一次方程组。而、等都不是二元一次方程组。注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：、也是二元一次方程组。3二元一次方程和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。二元方程解的写法的标准形式是：，（其中a、b为常数）（二）二元一次方程组的解法1解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。2二元一次方程组的基本解法（1）代入消元法（代入法）定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。步骤：选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程。 把代人另一个方程，得一元一次方程。 解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 把这个未知数的值代人，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。（2）加减消元法（加减法）定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。步骤：把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。 把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。 解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。注意：正确选用两种基本解二元一次方程组（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。（三）二元一次方程组的应用1纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。2实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。3探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。注意事项： (1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。 (2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。 (3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。【典型例题】例1： 求二元一次方程的正整数解.分析 求二元一次方程的解的方法通常是用一个未知数表示另一未知数，如，然后先给定一个值，求出的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题对未知数、作了限制必须是正整数解： 由得 当时，； 当时，； 当时， 所以，二元一次方程的正整数解为 例2： 已知，求、的值分析 本题求、的值，先根据条件得到一个关于、的方程组，再求出、的值，由于一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是非负数；两个非负数的和为零就只能是每个数都是零，因此原方程就转化为方程组解： ， 0， 0，所以，解这个方程组，得答： 例3： 方程组与方程组有相同的解，求、的值分析 本题两个方程组有相同的解，可以将两个方程组中的四个方程重新组合，先得到方程组求其解，得出、的值，再把、的值代入方程组得到一个关于、的方程组，求出、的值 （解答过程略答案）例4： A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，同向而行,甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度分析 这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；有两个相等的关系： (1)同向而行：甲车3小时的行程=乙车3小时的行程+150千米； (2)相向而行：甲车1.5小时的行程+乙车1.5小时的行程=150千米解： 设甲车的速度为千米/小时，乙车的速度为千米/小时根据题意，得 解这个方程组得答： 甲车的速度为75千米/小时，乙车的速度为25千米/小时课堂练习：(1)已知是方程组的解，求的值(2)若单项式是同类项，求和的值(3)已知方程组的解是正整数，求的值(4)甲、乙两人同时绕的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2分30秒首次相遇；如果他们同时由同一起点同向而行12分30秒首次相遇，求甲、乙二人每分钟各走多少米？【学习小结】1解一次方程组两种基本方法，是代入法和加减法，解题中常用加减法，在某个未知数的系数为一1、l时，可用代入法。解一次方程组时，应根据情况灵活运用两种方法。 2.列一次方程组解应用题，关键是寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组。 【反馈检测】1.填空：(1)在中，如果，那么；如果，那么；(2)由，得到用表示的式子为2.解下列方程组：(1) (2)(3) (4)(5) (6)3.A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍求两