2021版高考数学苏教版：等比数列及其前n项和含答案.doc

教学资料范本2021版高考数学苏教版：6.3等比数列及其前n项和含答案编 辑：_时 间：_第三节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系、并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起、每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)、那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比、通常用字母q表示、定义的数学表达式为q(nN*、q为非零常数)(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列、那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a、G、b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1amqnm.(2)前n项和公式：等比数列的常用性质1在等比数列an中、若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)、则amanapaqa.2若数列an、bn(项数相同)是等比数列、则an(0)、a、anbn、仍然是等比数列3等比数列an的前n项和为Sn、则Sn、S2nSn、S3nS2n仍成等比数列、其公比为qn、其中当公比为1时、n为偶数时除外一、思考辨析(正确的打“”、错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*、q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a、b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列、bna2n1a2n、则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan、则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列、则S4、S8S4、S12S8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1在等比数列an中、a32、a78、则a5等于()A5 B5 C4 D4Caa3a72816、a54.又a5a3q20、a54.2等比数列an的前n项和为Sn、已知S3a210a1、a59、则a1()A. B C. DCS3a210a1、a1a2a3a210a1、a39a1、即公比q29、又a5a1q4、a1.故选C.3在数列an中、a12、an12an、Sn为an的前n项和若Sn126、则n .6a12、an12an、数列an是首项为2、公比为2的等比数列又Sn126、126、解得n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB、然后每3秒自身复制一次、复制后所占内存是原来的2倍、那么开机 秒、该病毒占据内存8 GB(1 GB210 MB)39由题意可知、病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an、且a12、q2、an2n、则2n8210213、n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒)考点1等比数列的基本运算 等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1、an、q、n、Sn、已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时、注意分q1和q1两类分别讨论1.设Sn为等比数列an的前n项和、已知3S3a42,3S2a32、则公比q()A3B4C5D6B因为3S3a42,3S2a32、所以两式相减、得3(S3S2)(a42)(a32)、即3a3a4a3、得a44a3、所以q4.2(20xx全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1、aa6、则S5 .设等比数列的公比为q、由已知a1、aa6、所以q5、又q0、所以q3、所以S5.3等比数列an的各项均为实数、其前n项和为Sn、已知a3、S3、则a2 .3或法一：(直接法)数列an是等比数列、当q1时、a1a2a3、显然S33a3.当q1时、由题意可知解得q或q1(舍去)a2(2)3.综上可知a23或.法二：(优解法)由a3得a1a23.3、即2q2q10、q或q1.a23或.4(20xx全国卷)等比数列an中、a11、a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和、若Sm63、求m.解(1)设an的公比为q、由题设得anqn1.由已知得q44q2、解得q0(舍去)、q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN)(2)若an(2)n1、则Sn.由Sm63得(2)m188、此方程没有正整数解若an2n1、则Sn2n1.由Sm63得2m64、解得m6.综上、m6.抓住基本量a1, q、借用方程思想求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优、如T3、方法二避免了讨论考点2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若q(q是不为零的常数)、则数列an是等比数列；(2)等比中项法：若aanan2(nN、an0)、则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若anAqn(A、q是不为零的常数)、则数列an是等比数列 设数列an中、a11、a2、an2an1an、令bnan1an(nN*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式逆向问题已知数列an的前n项和为Sn、且Sn2an3n(nN*)(1)求a1、a2、a3的值；(2)是否存在常数、使得an为等比数列？若存在、求出的值和通项公式an、若不存在、请说明理由解(1)当n1时、S1a12a13、解得a13、当n2时、S2a1a22a26、解得a29、当n3时、S3a1a2a32a39、解得a321.(2)假设an是等比数列、则(a2)2(a1)(a3)、即(9)2(3)(21)、解得3.下面证明an3为等比数列：Sn2an3n、Sn12an13n3、an1Sn1Sn2an12an3、即2an3an1、2(an3)an13、2、存在3、使得数列an3是首项为a136、公比为2的等比数列an362n1、即an3(2n1)(nN*)(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法、其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列、则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2) 已知等比数列求参数的值、常采用特殊到一般的方法求解、如本例的逆向问题教师备选例题设数列an的前n项和为Sn、已知a11、Sn14an2.(1)设bnan12an、证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及Sn14an2、有a1a2S24a12.a25、b1a22a13.又、得an14an4an1(n2)、an12an2(an2an1)(n2)bnan12an、bn2bn1(n2)、故bn是首项为3、公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1、故是首项为、公差为的等差数列(n1)、故an(3n1)2n2.(20xx全国卷)已知数列an和bn满足a11、b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列、anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)、即an1bn1(anbn)又因为a1b11、所以anbn是首项为1、公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8、即an1bn1anbn2.又因为a1b11、所以anbn是首项为1、公差为2的等差数列(2)由(1)知、anbn、anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n、bn(anbn)(anbn)n.考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为3类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件、认真分析、发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 (1)一题多解已知数列an为等比数列、a4a72、a5a68、则a1a10等于()A7B5 C5D7(2)设Sn是等比数列an的前n项和、若3、则()A2 B. C. D1或2(3)已知等比数列an共有2n项、其和为240、且奇数项的和比偶数项的和大80、则公比q .(1)D(2)B(3)2(1)法一：(基本量法)设数列an的公比为q、则由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二：(性质法)由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.(2)设S2k、S43k、数列an为等比数列、S2、S4S2、S6S4也为等比数列、又S2k、S4S22k、S6S44k、S67k、故选B.(3)由题意、得解得所以q2.在解决等比数列的有关问题时、要注意挖掘隐含条件、特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系、活用性质、减少运算量、提高解题速度教师备选例题数列an是一个项数为偶数的等比数列、所有项之和是偶数项之和的4倍、前三项之积为64、则此数列的通项公式an . 设此数列an的公比为q、由题意、知S奇S偶4S偶、所以S奇3S偶、所以q.又a1a2a364、即a1(a1q)(a1q2)aq364、所以a1q4.又q、所以a112、所以ana1qn112n1.1.已知数列an是等比数列、若a21、a