6公务员行测数量关系计数问题类ppt课件.ppt

六 计数问题类 1 数列问题2 排列组合问题3 容斥原理问题4 抽屉原理问题5 概率问题6 植树 方阵问题7 比赛场次计算问题8 构造类问题 1 1 数列问题 1 等差数列通项公式an a1 n 1 d am n m d2 等差数列求和公式Sn na1 n n 1 d 2 n a1 an 23 等差数列中项公式 p q m n ap aq am ann为奇数时 等差中项为1项即 a n 1 2 Sn n n为偶数时 等差中项为2项即an 2和an 2 1 an 2 an 2 1 2Sn n a c 2 b4 等比数列通项公式an a1qn 1 amqn m5 等比数列求和公式Sn a1 anq 1 q a1 1 qn 1 1 q 6 等比数列中项公式ac b2 p q m n apaq aman 2 例1 一张考试卷共有10道题 后面的每1道题的分值都比其前面1道题多2分 若考卷的满分为100分 则第8道题的分值应为多少 A 9B 14C 15D 16解析 化为一个等差数列的问题 每道题的分值组成了一个公差d 2的等差数列 Sn 100 用等差数列的求和公式Sn na1 n n 1 d 2求得a1 1 根据等差数列的通项公式an a1 n 1 d求a8 15 亦可通过求等差中项的方法解 即等差数列 当n 10时其等差中项的和为a5 a6 100 5 20 公差d 2 所以a5 9 a6 11 所以a8 15 3 例2 一种挥发性药水 原来有一整瓶 第二天挥发后变为原来的1 2 第三天变为第二天的2 3 第四天变为第三天的3 4 请问第几天时药水还剩下1 30瓶 A 5天B 12天C 30天D 100天解析 依据题意 显然可将此题变为一个有规律的数列 即第1天剩下1 第2天剩下1 2 第3天剩下1 3 依此下去 第30天就剩下1 30 所以 答案为C 4 例3 如果某一年的7月份有5个星期四 它们的日期之和为80 那么这个月的3日是星期几 A 一B 三C 五D 日解析 设这5天分别为a1 a2 a3 a4 a5 显然这是一个公差为7的等差数列 等差中项a3 S5 5 16 所以 则a1 2即第一个星期四为2号 则3号为星期五 所以 答案为C 5 某月的三个星期天都是偶数 请问这个月1号是星期几 6 例4 101 103 199 90 92 188 A 100B 199C 550D 990解析 提取公因式法 101 90 11 103 92 11 199 188 11 总计有50个这样的算式 所以50 11 550 选择C 例5 某剧院有25排座位 后一排比前一排多2个座位 最后一排有70个座位 这个剧院一共有多少个座位 A 1104B 1150C 1170D 1280解析 最后一排有70个坐位 前面24排每一排少两个 第一排有70 24 2 22 构成公差为2 首项为22等差数列 S25 25 22 25 24 2 2 1150个 选择B 7 小华在练习自然数数数求和 从1开始 数着数着他发现自己重复了一个数 在这种情况下他将所数的全部数求平均值 结果为7 4 请问他重复数的那个数是 2008年国家真题 55题 A 2B 6C 8D 10 8 解析一 公式法设有n个自然数 多数的这个数为k 则k n n n 1 2 k 7 4 n 1 n 2 k n 1 7 4因为k n 1 在0和1之间 所以n只能为13和14 n为13不合题意 和不是整数 n只能为14 所以代入k为6 9 解析 这道题的入手点是 自然数 既然是自然数求和 那么这个和一定是正数 假设小华对n个数进行了求和 那么根据整数的要求7 4 n一定为整数 因此n的尾数只能是0或者5 如果n 10 则其平均数不到5 5 因为1至10的和为55 而如果重复的数字出现在1至9之间 那么这10个数的和一定小于55 它们的平均数小于5 5 如果n 20 则其平均数超过8 5 因为1至19的和为190 而如果重复出现的数字出现在1至19之间 那么这20个数的和一定大于190 它们的平均数大于8 5 因此 n只能为15 从1到14 这14个数的和为105 而这15个数的和为7 4 15 111 所以 小华多数的数字为111 105 6 10 2 排列组合问题 所谓排列是指从n个不同元素中取出m个 然后按任意一种次序排成一列 称为一个排列 用Pnm或Anm来表示 排列数公式 Pnm n n m 所谓组合是指从n个不同元素中任意取出m个成一组 称为组合 用Cnm来表示 组合数公式 Cnm n m n m 组合数性质 Cnm Cnn mCnm Cnm 1 Cn 1m 11 在自然数1至50中 将所有不能被3除尽的数相加 所得的和是 2008年浙江省 13题 A 865B 866C 867D 868 12 核心知识1 核心公式排列公式 组合公式 2 基本原则加法原理 分类用加法乘法原理 分步用乘法排列 与顺序有关组合 与顺序无关3 解题方法 1 捆绑法 相邻问题 2 插空法 不相邻问题 13 例1 林辉在自助餐店就餐 他准备挑选三种肉类中的一种 四种蔬菜中的两种不同蔬菜 以及四种点心中的一种 若不考虑食物的挑选次序 则他可以有多少不同选择方法A 4B 24C 72D 144解析 Cnm n m n m 计算方式 将三种肉类中的一种为C31 结果为3 四种蔬菜中的两种为C42 结果为6四种点心中的一种C41 计算结果为6 由此列成算式3 6 4 72 14 例2某孩子用五种不同的颜料涂抹5块小木版 有多少种涂抹方法 A 100B 110C 120D 130解析 根据Pnm n n m 按阶乘计算P55 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 4 3 2 1 1 120例3五个瓶子都贴了标签 其中恰好贴错了三个 则错的可能情况共有多少种 解析 通常分为两步 第一步 从五个瓶子中选出三个 共有种选法 第二步 将三个瓶子全部贴错 根据上表有2种贴法 则恰好贴错三个瓶子的情况有种 15 57 一张节目表上原有3个节目 如果保持这3个节目的相对顺序不变 再添进去2个新节目 有多少种安排方法 08年国考 A 20B 12C 6D 4 16 本题正确答案为A 解一 第一类 新节目不挨着 用插空法P24 12 第二类 新节目挨着 用插空法P14 P22 8 根据加法原理 共有不同安排方法20种 解二 第一步 先插第一个节目 用插空法 有4个空 P14 4 第二步 再插第二个节目 用插空法 有5个空 P15 5 根据乘法原理 共有不同的安排方法20种 解三 一共5个节目 在5个位置中选两个安排新节目为P25 20 17 真题练习 18 19 3 容斥原理 大家只要把容斥原理的两个公式灵活掌握就可 若借助图例将更有助于解题 1 两个集合的容斥关系公式 A B A B A B2 三个集合的容斥关系公式 A B C A B C A B B C C A A B C 20 例1 某大学某班学生总数为32人 在第一次考试中有26人及格 在第二次考试中有24人及格 若两次考试中 都没有及格的有4人 那么两次考试都及格的人数是 A 22B 18C 28D 26解析 设A 第一次考试中及格的人 26 B 第二次考试中及格的人 24 A B 26 24 50 A B 32 4 28 根据公式A B A B A B 50 28 22所以 答案为A 21 例2 某单位有青年员工85人 其中68人会骑自行车 62人会游泳 既不会骑车又不会游泳的有12人 则既会骑车又会游泳的有 人A 57B 73C 130D 69解析 设A 会骑自行车的人 68 B 会游泳的人 62 A B 68 62 130 A B 85 12 73 则A B A B A B 130 73 57所以 答案为A 22 例3 电视台向100人调查前一天收看电视的情况 有62人看过2频道 34人看过8频道 11人两个频道都看过 两个频道都没看过的有多少人 解析 设A 看过2频道的人 62 B 看过8频道的人 34 A B 62 34 96 A B 两个频道都看过的人 11 公式A B A B A B 96 11 85两个频道都没有看过的人数 100 85 15所以 答案为15 23 例题4 对某单位的100名员工进行调查 结果发现他们喜欢看球赛和电影 戏剧 其中58人喜欢看球赛 38人喜欢看戏剧 52人喜欢看电影 既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人 既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人 三种都喜欢看的有12人 则只喜欢看电影的有 A 22人B 28人C 30人D 36人解析 设A 喜欢看球赛的人 58 B 喜欢看戏剧的人 38 C 喜欢看电影的人 52 A B 既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人 18 B C 既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人 16 A B C 三种都喜欢看的人 12 A B C 看球赛和电影 戏剧至少喜欢一种 100 A B C A B C A B B C C A A B CC A A B C A B C A B B C A B C 148 100 18 16 12 26只喜欢看电影的人 C B C C A A B C 52 16 26 12 22 24 A B C 25 X Y Z分别为64 180 160 相互重叠的面积24 70 36 三者总共的盖住面积290 问阴影面积多少 XYZ 26 5 在某企业 的员工有至少 年的工龄 个员工有至少 年的工龄 如果 的员工的工龄不足 年 则工龄至少 年但不足 年的员工有人 08年湖南 27 54 右图中的三角形纸板 正方形纸板 圆形纸板的面积都是40cm2 阴影部分的面积总和是30cm2 三张纸板盖住的总面积是70cm2 求三张纸板重叠部分的面积 即A的面积 为多少平方厘米 2010河南真题 A 10B 15C 6D 20 28 可设阴影为M N两块 三张重叠的部分为X 可代公式 70 40 40 40 M x N X X X70 90 2x所以答案为10 29 例1 现有50名学生都做物理 化学实验 如果物理实验做正确的有40人 化学实验做正确的有31人 两种实验都做错的有4人 则两种实验都做对的有多少人 A 27人B 25人C 19人D 10人 例2 有62名学生 会击剑的有11人 会游泳的有56人 两种都不会用的有4人 问两种都会的学生有多少人 A 1人B 5人C 7人D 9人 例3 有一次测验只有两道题目 全班40人中除了10人全对之外 第一题有16人做错 第二题有21人做错 那么两个题目都做错的有多少人 A 5人B 7人C 9人D 16人 30 例4 一个俱乐部 会下象棋的有69人 会下围棋的有58人 两种棋都不会下的有12人 两种棋都会下的有30人 问这个俱乐部一共有多少人 A 109人B 115人C 127人D 139人 例5 某单位有60名运动员参加运动会开幕式 他们着装白色或黑色上衣 黑色或蓝色裤子 其中有12人穿白上衣蓝裤子 有34人穿黑裤子 29人穿黑上衣 那么穿黑上衣黑裤子的有多少人 A 12B 14C 15D 19 例6 旅行社对120人的调查显示 喜欢爬山的与不爬山的人数比为5 3 喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7 5 两种活动都喜欢的有43人 对这两种活动都不喜欢的人数是 A 18B 27C 28D 32 例7 某公司100名员工对甲 乙两名经理进行满意度评议 对甲满意的人数占全体参加评议的3 5 对乙满意的人数比甲的人数多6人 对甲乙都不满意的占满意人数的1 3多2人 则对甲乙都满意的人数是 A 36B 26C 48D 42 31 例8 某工作组有12名外国人 其中6人会说英语 5人会说法语 5人会说西班牙语 有3人既会说英语又会说法语 有2人既会说法语又会说西班牙语 有2人既会说西班牙语又会说英语 有1人这三种语言都会说 则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人 A 1人B 2人C 3人D 5人 例9 某专业有学生50人 现开设有甲 乙 丙三门选修课 有40人选修甲课程 36人选修乙课程 30人选修丙课程 兼选甲 乙两门课程的有28人 兼选甲 丙两门课程的有26人 兼选乙 丙两门课程的有24人 甲 乙 丙三门课程均选的有20人 问三门课程均未选的有多少人 A 1人B 2人C 3人D 4人 例10 某高校对一些学生进行问卷调查 在接受调查的学生中 准备参加注册会计师考试的有63人 准备参加英语六级考试的有89人 准备参加计算机考试的有47人 三种考试都准备参加的有24人 准备选择两种考试都参加的有46人 不参加其中任何一种考试的有15人 问接受调查的学生共有多少人 A 120B 144C 177D 192 32 33 34 4 抽屉原理 解答抽屉原理的关键 假设有3个苹果放入2个抽屉中 则必然有一个抽屉中有2个苹果 她的一般模型可以表述为 第一抽屉原理 把 mn 1 个物体放入n个抽屉中 其中必有一个抽屉中至少有 m 1 个物体 若把3个苹果放入4个抽屉中 则必然有一个抽屉空着 她的一般模型可以表述为 第二抽屉原理 把 mn 1 个物体放入n个抽屉中 其中必有一个抽屉中至多有 m 1 个物体 35 抽屉原理的一般含义为 如果每个抽屉代表一个集合 每一个苹果就可以代表一个元素 假如有n 1或多于n 1个元素放到n个集合中去 其中必定至少有一个集合里至少有两个元素 原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里 则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体 原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里 则至少有一个抽屉里有m 1个或多于m 1个的物体 第二抽屉原理 把 mn 1 个物体放入n个抽屉中 其中必有一个抽屉中至多有 m 1 个物体 36 例1一副扑克牌有四种花色 每种花色各有13张 现在从中任意抽牌 问最少抽几张牌 才能保证有4张牌是同一种花色的 A 12B 13C 15D 16解析根据抽屉原理 当每次取出4张牌时 则至少可以保障每种花色一样一张 按此类推 当取出12张牌时 则至少可以保障每种花色一样三张 所以当抽取第13张牌时 无论是什么花色 都可以至少保障有4张牌是同一种花色 选B 37 2 有红 黄 绿三种颜色的手套各6双 装在一个黑色布袋里 从袋子里任意取出手套来 为确保至少有2双手套不同颜色 则至少要取出的手套只数是 2009年江苏省公务员真题A类 18题 A 15只B 13只C 12只D 10只 38 答案是A 解析 要确保而且是至少 那么是考虑最坏情况 一种颜色全拿出来是12只 剩下再拿两只不同颜色的 就是14只了 这时再拿剩下两种颜色中无论那种颜色 都有2双颜色不同了 所以是15只 39 例2从1 2 3 4 12 这12个自然数中 至少任选几个 就可以保证其中一定包括两个数 他们的差是7 A 7B 10C 9D 8解析在这12个自然数中 差是7的自然数有以下5对 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 另外 还有2个不能配对的数是 6 7 可构造抽屉原理 共构造了7个抽屉 只要有两个数是取自同一个抽屉 那么它们的差就等于7 这7个抽屉可以表示为 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 6 7 显然从7个抽屉中取8个数 则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉 也即作差为7 所以选择D 40 例 有20位运动员参加长跑 他们的参赛号码分别是1 2 3 20 至少要从中选出多少个参赛号码 才能保证至少有两个号码的差是13的倍数 2010江西试题 A 12B 15C 14D 13可分成13个抽屉 所以答案为C 41 5 概率问题 核心知识1 单独概率 满足条件的情况数总的情况数 2 总体概率 满足条件的各种情况概率之和 3 分步概率 满足条件的每个步骤概率之积 抽奖概率问题关键看题目 无放回 还是 放回 无放回 问题中取出部分 在下一次计算时不计入总数 42 例题精讲 例 某广场有一块面积为160平方米的路面 用白色 紫色 黑色三种大理石铺成 每块大理石的面积是0 4平方米 其中白色大理石150块 紫色大理石50块 其余的是黑色大理石 某人在上面行走 他停留在黑色大理石上的概率是多少 2007年山东省真题 48题 A 1 4B 2 5C 1 3D 1 2 43 解析 大理石共有400块 黑色的有200 一只脚踩到黑色的概率为1 2 所以两只脚都踩到为1 4 44 例 一道多项选择题有A B C D E五个备选项 要求从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项 如果全凭猜测 猜对这道题的概率是 2009年广东省公务员考试行政职业能力测验真题 9题 A 1 15B 1 21C 1 26D 1 31 45 16 一个盒子里面装有10张奖券 只有三张奖券上有中奖标志 现在5人每人摸出一张奖券 至少有一人的中奖概率是多少 2010年11省联考真题 A 4 5 B 7 10 C 8 9 D 11 12 可逆向思维 至少有一人的对立事件是无人摸中 P 7 10 6 9 5 8 4 7 3 6 1 12 所以答案为D 46 例2 小孙的口袋里有四颗糖 一颗巧克力味的 一颗果味的 两颗牛奶味的 小孙任意从口袋里取出两颗糖 他看了看后说 其中一颗是牛奶味的 问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性 概率 是多少 2009年浙江省真题 A 1 3B 1 4C 1 5D 1 6 47 小孙任意取出两颗糖有以下六种情况 巧果 巧奶1 巧奶2 果奶1 果奶2 奶1奶2 其中有五种情况满足 其中一颗是牛奶味 这个条件 而要另外一颗也是牛奶味 只有 奶1奶2 这一种情况 所以概率为1 5 条件概率 P A B P A B P B 表示在B条件的前提下 A发生的概率 所以为1 6 5 6 1 5 48 10 甲乙两人相约见面 并约定第一人到达后 等15分钟不见第二人来就可以离去 假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点 则两人能见面的概率有多大 10年湖南 A 37 5 B 50 C 62 5 D 75 49 3030 50 真题练习 51 答案 C D B 52 6 方阵 植树问题 学生排队 士兵列队 横着排叫做行 竖着排叫做列 若行数与列数都相等 则正好排成一个正方形 这种图形就叫方队 也叫做方阵 乘方问题 核心公式 1 方阵总人数 最外层每边人数的平方 问题的核心 2 方阵最外层每边人数 方阵最外层总人数 4 13 方阵外一层总人数比内一层总人数多2 44 去掉一行 一列的总人数 去掉的每边人数 2 1 53 植树问题 植树问题三要素 总距离 棵距 间距 长 棵数 个数 1 在不封闭的曲线 直线 折线 半圆等 上植树 若两端都可植1棵树时 植树的棵数应比要分的段数多1 若两端已经植树 不宜植树 再在其间植树时 植树的棵数应比要分的段数少1 数量关系 棵数 个数 总距离 间距 1 棵数 个数 总距离 间距 12 在封闭的曲线 圆 正方形 长方形等 上植树 因两端重合在一起 植树的棵数就等于可分的段数 数量关系 棵数 个数 总距离 棵距 间距 54 例1 甲单位义务植树一公里 乙单位紧靠甲单位又植树一公里 如果按10米植一棵树的话 两单位共植树多少棵 A 199B 200C 201D 202解析 甲单位在一公里内植树 则两端都可以种一棵树 则一共可以中1000 10 1 101棵树 乙单位紧靠着甲单位植树 则有一端不需要植树 一共可以中1000 10 100棵树 甲 乙共植树101 100 201棵树 正确答案 C 55 例1学校学生排成一个方阵 最外层的人数是60人 问这个方阵共有学生多少人 A 256人B 250人C 225人D 196人解析 方阵问题的核心是求最外层每边人数 根据四周人数和每边人数的关系可以知 每边人数 四周人数 4 1 可以求出方阵最外层每边人数 则整个方阵队列的总人数就可以求了 方阵最外层每边人数 60 4 1 16 人 整个方阵共有学生人数 16 16 256 人 所以 正确答案为A 56 例2参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列 如果要使这个正方形队列减少一行和一列 则要减少33人 问参加团体操表演的运动员有多少人 去掉一行 一列的总人数 去掉的每边人数 2 1解析 方阵问题的核心是求最外层每边人数 原题中去掉一行 一列的人数是33 则去掉的一行 或一列 人数 33 1 2 17方阵的总人数为最外层每边人数的平方 所以总人数为17 17 289 人 57 例3小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形 正好用完 后来又改围成一个正方形 也正好用完 如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币 则小红所有五分硬币的总价值是 A 1元B 2元C 3元D 4元解析 设当围成一个正方形时 每边有硬币X枚 此时总的硬币枚数为4 X 1 当变成三角形时 则此时的硬币枚数为3 X 5 1 由此可列方程为4 X 1 3 X 5 1 解得X 16总的硬币枚数为60 则总价值为3元 所以 正确答案为C 58 习题练习 5 某仪仗队排成方阵 第一次排列若干人 结果多余100人 第二次比第一次每行 每列都增加3人 又少29人 仪仗队总人数为多少 6 100人列队报数单数离队 剩下地再报数 单数离队重复多次直至最后一人 问此人第一次报数时是多少号 A32 B51 C64 D100 7 某班学生站成一个长方形 发现外围人数28人 如果以长方形长和宽人数组成两个正方形方阵 共有146人 问这个班人数是多少 59 例2 李大爷在马路边散步 路边均匀地栽着一行树 李大爷从1棵树走到第15棵树共用了7分钟 李大爷又向前走了几棵树后就往回走 当他回到第5棵树时共用了30分钟 李大爷步行到第几棵树时就开始往回走 A 第32棵B 第33棵C 第37棵D 第38棵解析 利用两棵树的间距相等进行计算 第一次李大爷走了15 1 14个间距 速度为每分钟14 7 2个间距 剩下的23分钟李大爷可以走23 2 46个间距 以第5棵树为基准 往回走到第5棵树比从第15棵树走到回头的地方要多走15 5 10个间距 即还能再向前走 46 10 2 18个间距 走到第15 18 33棵树时回头 60 例3 在一条公路的两边植树 每隔3米种一棵树 从公路的东头种到西头还剩5棵树苗 如果改为每隔2 5米种1棵 还缺树苗115棵 则这条公路长多少米 A 700B 800C 900D 600解析 注意 本题说明是在 一条公路的两边植树 设公路长为a米 列方程2 a 3 1 5 2 a 2 5 1 115 解得a 900 正确答案 C 61 例4 某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的 不相交 两旁栽上树 现运回一批树苗 已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米 若每隔4米栽一棵 则少2754棵 若每隔5米栽一棵 则多396棵 则共有树苗多少棵 A 8500棵B 12500棵C 12596棵D 13000棵解析 设两条路共有树苗x棵 由植树的数量关系根据路程相等列方程 x 2754 4 4 x 396 4 5 解得X 13000 因为在2条路两边植树 则棵树要比段数增加2 2 4 选D 62 例5 一块三角地带 在三个边上植树 三个边的长度分别为156米 186米 234米 树与树之间的距离均为6米 三个角上都必须栽一棵树 问共需植树多少棵 A 93B 95C 96D 99解析 三角地带的三边组成一个三角形 构成一条闭合线 则一共植树 156 186 234 6 96棵 正确答案 C 63 从植树问题中可以衍生出一些其他问题 如锯木 锯钢管等 其运算实质同植树问题是一致的 例6 把一根钢管锯成5段需要8分钟 若把同样的钢管锯成20段需要多少分钟 A 32minB 38minC 40minD 152min解析 把钢管锯成5段相当于种五棵树 它们的间距有5 1 4个 则需要锯4次 每次需要8 4 2分钟 那么 把钢管锯成20段需要锯19次 共需要19 2 38分钟 64 例7 用10张同样长的纸条 粘接成一条长61厘米的纸条 如果每个接头处都重叠1厘米 那么每条纸条长多少厘米 A 6B 6 5C 7D 7 5解析 粘结10张纸条相当于种10棵树 它们的间距有10 1 9个 共有10 1 9个接头 如果设每张纸条为x厘米 可列方程 10 x 1 9 61 x 7厘米 正确答案 C 65 真题练习 66 67 答案 CABCBB 68 7 体育竞赛计算问题 69 例1 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛 要产生男女冠军各一名 则要安排单打赛多少场 A 95B 97C 98D 99 解析 答案为C 在此完全不必考虑男女运动员各自的人数 只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了 因此比赛场次是100 2 98 场 70 例2 某机关打算在系统内举办篮球比赛 采用单循环赛制 根据时间安排 只能进行21场比赛 请问最多能有几个代表队参赛 A 6B 7C 12D 14 解析 答案为B