第3章 费米分布及玻耳兹曼分布-zhaowr-2011

1 物理与光电工程学院 第3章半导体中载流子的统计分布Chapter3StatisticalDistributionofCarriersinSemiconductors 2 物理与光电工程学院 本章要点 理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件 及费米函数的性质 熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程 掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系 掌握本征 杂质半导体中载流子浓度的计算 简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算 热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式 3 物理与光电工程学院 引言 热平衡状态 在一定的温度下 给定的半导体中载流子的产生和复合同时存在 最后达到一动态平衡 热平衡载流子浓度 当半导体处于热平衡状态时 半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定的值 这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流子浓度 4 物理与光电工程学院 3 1费米分布及玻耳兹曼分布 5 物理与光电工程学院 3 1 1费米分布 量子态 一个微观粒子允许的状态 对费米子来说 一个量子态只能容纳一个粒子 费米分布 量子统计理论指出 对于一个包含有众多粒子的微观粒子系统 如果系统满足量子力学的粒子全同性原理和泡里不相容原理 则没有必要追究个别粒子落在哪个量子态 而是考究在给定能量E的量子态中有粒子或没有粒子的概率即可 6 物理与光电工程学院 3 1 1费米分布 说明1 它描述了在热平衡状态下 在一个费米粒子系统 如电子系统 中属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率 图3 1费米分布函数与温度的关系 T 0K 若EEF 则f E 0 T 0K 若E EF 则f E 1 2 若E1 2 若E EF 则f E 1 2 A 0k B 300k C 1000k D 1500k 7 物理与光电工程学院 3 1 1费米分布 温度升高 能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升 可见 温度主要影响费米能级附近的电子状态 说明2 它描述了在热平衡状态下 在一个费米粒子系统 如电子系统 中属于能量E的一个量子态上的电子数 式中求和包括每一能量值所包含的每个量子态 8 物理与光电工程学院 3 1 1费米分布 说明3 费米能级EF 费米能级的确定 用系统包含的电子总数N来决定 即 费米能级的意义 反映能级被电子填充水平的高低 电子占据几率为1 2的量子态所对应的能级 EF与温度 半导体材料等有关 9 物理与光电工程学院 3 1 1费米分布 费米能级在能带中的位置 对于金属晶体 价电子只能部分填满最外的导带 费米能级位置在导带中 对于半导体晶体 价电子填满了价带 最外的导带是空的 费米能级位置在禁带内 且随其中的杂质种类 杂质浓度以及温度的不同而改变 10 物理与光电工程学院 3 1 1费米分布 空穴的费米分布函数 fV E 与1 f E 是关于EF是对称的 即为电子 空穴几率对称性 11 物理与光电工程学院 3 1 2玻耳兹曼分布函数 即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数 此时 电子的费米分布函数近似为 1 电子的玻耳兹曼分布函数 12 物理与光电工程学院 3 1 2玻耳兹曼分布函数 这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布 此时 空穴的费米分布函数近似为 类似地 若 2 空穴的玻耳兹曼分布函数 13 物理与光电工程学院 3 1 2玻耳兹曼分布函数 意义 当粒子系统中的微粒子非常稀少时 粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去意义 即系统中每一个量子态不存在多于一个粒子占据的可能性 14 物理与光电工程学院 3 1 2玻耳兹曼分布函数 除去在EF附近的几个kT处的量子态外 在处 量子态被空穴占据的几率很小 即在的条件下 空穴费米分布和空穴波耳兹曼分布这两种统计的结果是相同的 15 物理与光电工程学院 3 1 2玻耳兹曼分布函数 因为 不难证明 上述结果是否正确 16 物理与光电工程学院 3 1 2玻耳兹曼分布函数 低掺杂半导体中 载流子统计分布通常遵顺玻耳兹曼统计分布 这种电子系统称为非简并性系统 高掺杂半导体 载流子服从费米统计 这样的电子系统称为简并性系统 17 物理与光电工程学院 加分题 总评加2分 设有一个电子系统 电子允许的匙能级为En nU n 1 2 3 U为常数 且能级不简并 现有10个电子处于这个系统中 当温度分别为T1 2U k0 k0为玻尔兹曼常数 和T2 3U k0时 计算相应的费米能级 18 物理与光电工程学院 3 2半导体载流子的统计 19 物理与光电工程学院 载流子的统计分布 载流子按能量的分布 电子在允许的量子态中如何分布 允许的量子态按能量如何分布 20 物理与光电工程学院 3 2 1k空间量子态密度 1 一个量子态在k空间所占的体积 电子在晶体中的能量状态用k标志 根据周期性的边界条件 电子的波矢只能取分立的值 因此k空间中一个量子态占有的体积为 不考虑自旋 21 物理与光电工程学院 3 2 1k空间量子态密度 2 k空间中的量子态密度 量子态密度 k空间单位体积内具有的量子态数目 若考虑自旋 k空间量子态密度应为 此时第个量子态最多只能容纳一个电子 22 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 k空间中的等能面 1 状态密度g E 能量E附近单位能量间隔内的量子态数 即 式中dZ为单位体积内能量E到E dE之间无限小的能量间隔内的量子态数 23 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 在k空间中 能量E和E dE分别是半径为 k 和 k dk 的等能球面 所以能量E到E dE间的量子数为 2 半导体导带底附近的状态密度 设能带极值在k 0 极值能量为Ec a 等能面为球面的情况 24 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 所以 导带底附近的状态密度为 代入得 因此 而 25 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 b 等能面为椭球面的情况 仍选极值能量为Ec 此时E k 与k的关系为 椭球的半轴分别为 26 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 等能椭球面包围的k空间的体积为 乘以k空间的状态密度2V 8 3 得到椭球内包含的量子态数 上式对能量E求导 并假定有s个相同椭球 可得到状态密度 27 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 若等能面为旋转椭球面 即 并令 则 28 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 3 半导体价带顶附近的状态密度 通过类似的计算 得到以下结果 等能面为球面时 价带顶附近电子能量E k 与k的关系为 价带顶附近状态密度 29 物理与光电工程学院 3 2 2半导体中的状态密度 实际的硅 锗中 价带中起作用的能带是极值相重合的 k 0处 两个能带 与这两个能带相对应有轻空穴有效质量 mp l和重空穴有效质量 mp h 因此价带附近状态密度为这两个能带的状态密度和 可以证明 相加后 价带顶附近的状态密度仍可表示为 30 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 载流子浓度 单位体积内的载流子数 电子按量子态分布 费米或玻耳兹曼分布 量子态按能量的分布 状态密度 处理方法 先求出E E dE范围内电子数 再通过整个能带积分 积分值应等于总电子数的条件 求出电子浓度 31 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 E到E dE内的量子态数 dZ gc E dE 能量为E的量子态上的电子数 f E 则E E dE内的所有量子态上的电子数为 f E gc E dE 先考虑导带 对非简并情况 导带中能量E E dE间的电子数为 32 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 对旋转椭球形等能面 所以E E dE间的电子浓度为 33 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 假设导带底的能量为EC 而导带顶的能量为EC 则整个导带内的电子浓度为 34 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 对于实际半导体 导带的能量间隔为几个eV时 x 的值在几十以上 再依据函数x1 2e x随x变化规律 见图3 4 积分上限x 可用无穷大来代替 得到导带中电子浓度为 利用积分公式 35 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 因此 导带电子浓度可表示为 36 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 此式的物理意义是 把导带中所有的量子态都集中在导带底Ec 而它对应的量子态数为Nc 则导带中的电子浓度等于这些量子态中容纳的电子数 37 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 用类似的处理办法 热平衡状态下 非简并半导体的价带空穴浓度为 为空穴占据能量为EV的量子态的几率 其物理意义是 把价带中所有的量子态都集中在价带顶EV 而它的量子态数为NV 则价带中的空穴浓度就是NV个量子态中包含的空穴数 38 物理与光电工程学院 3 2 3导带电子浓度和价带空穴浓度 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度取决于温度T和费米能级EF的位置 温度的影响来源于两个方面 一是Nc和NV随温度变化 二是玻耳曼分布函数中的指数随温度变化 讨论 39 物理与光电工程学院 3 2 4载流子浓度乘积 半导体中载流子浓度的乘积为 把Nc NV的表示式代入 并代入h和k0值 再引入自由电子质量m0 上式可以写为 40 物理与光电工程学院 3 2 4载流子浓度乘积 电子和空穴浓度乘积与费米能级无关 也与掺杂无关 取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量 在特定温度下 对于确定的半导体材料 热平衡下载流子浓度的乘积保持恒定 讨论 41 物理与光电工程学院 3 2 4载流子浓度乘积 1 概念 1 简并性系统和非简并性系统 2 量子态密度和状态密度 3 导带有效状态密度和价带有效状态密度2 载流子浓度乘积n0p0与哪些因素有关 思考 42 物理与光电工程学院 我们是否求得了载流子浓度 43 物理与光电工程学院 3 3本征半导体的载流子浓度 44 物理与光电工程学院 3 3 1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定 T 0K时 价带中的量子态完全填满 导带完全空着 本征激发条件下 电子和空穴成对出现 因此导带中电子的浓度n0应等于价带中空穴的浓度p0 即n0 p0 T 0K后 本征半导体的价带中的电子激发到导带 同时在价带中产生等量空穴 本征激发 本征半导体的电中性条件 45 物理与光电工程学院 3 3 1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定 由电中性条件可确定费米能级EF 由此式可以解出EF 并用Ei表示本征半导体的费米能级 则得 把Nc和Nv的表示式 46 物理与光电工程学院 3 3 1本征半导体的电中性条件和费米能级的确定 Ei在禁带中线之上 Ei在禁带中线 Ei在禁带中线之下 代入得 对硅 锗和砷化镓有 这三种半导体材料 EF约在禁带中线附近1 5kT的范围内 47 物理与光电工程学院 3 3 2本征载流子浓度 可算计出本征载流子浓度为 把费米能级表示式 代入电子或空穴浓度表达式 48 物理与光电工程学院 3 3 2本征载流子浓度 1 本征半导体的载流子浓度只与半导体本身能带结构及温度有关 温度一定时 禁带宽度越窄的半导体 本征载流子浓度越大 对给定的半导体 本征载流子随温度升高而迅速增大 2 载流子浓度的乘积可以写为 即在一定温度下任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积等于该温度下本征载流子浓度的平方 说明 49 物理与光电工程学院 3 3 2本征载流子浓度 代入上式得 3 将Nc和Nv的表达式 50 物理与光电工程学院 3 3 2本征载流子浓度 对硅和锗有 硅 51 物理与光电工程学院 3 3 2本征载流子浓度 从而得到 电子和空穴的另一表示式 上式说明 当费米能级EF在本征费米能级之上时 导带电子浓度n0大于价带空穴浓度p0 即半导体为n型 反之半导体为p型 而且EF偏离Ei越远 两种载流子浓度的差别就越大 利用 或 以及 或 52 物理与光电工程学院 3 3 2本征载流子浓度 实际半导体中杂质和缺陷总是存在的 只要杂质含量低于一定限度就可以认为是本征半导体 本征载流子随温度迅速变化 使器件性能不稳定 所以制造半导体器件用的是含有适当杂质的半导体 器件的极限工作温度取决于Eg和有效掺杂浓度 说明 53 物理与光电工程学院 作业 习题 1 5 54 物理与光电工程学院 3 4单掺杂n型半导体的载流子浓度 55 物理与光电工程学院 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 可以证明 P100 3 7 电子占据能量为ED的施主杂质能级的概率是 半导体中的杂质会在禁带中产生杂质能级 由于杂质能级最多只能有一个任意自旋方向的电子占据 这不同于能带中共有化能量状态被电子占据的情况 56 物理与光电工程学院 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 空穴占据能量为EA的受主杂质能级的概率是 设施主杂质浓度为ND 受主杂质浓度为NA 1 施主能级上的电子浓度nD为 3 4 2 3 4 3a 对硅 锗和砷化镓 gD 2 gA 4 相应能级的简并因子 57 物理与光电工程学院 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 2 已电离的施主浓度 正电中心浓度 nD 为 3 受主能级上的空穴浓度pA为 4 已电离了的受主浓度 负电中心浓度 pA 为 3 4 3b 3 4 3c 3 4 3d 58 物理与光电工程学院 3 4 1杂质能级上的电子和空穴 杂质能级与费米能级的相对位置反映了电子和空穴占据杂质能级的情况 1 当 2 类似地 当EF远在EA之上时 受主杂质几乎全部电离 EF远在EA在之下时 受主杂质基本上没有电离 EF与EA重合时 取gA 4 受主杂质1 5电离 即EF远在ED之下时 施主杂质几乎全部电离 反之 EF远ED在之上时 施主杂质基本上没有电离 EF与ED重合时 取gD 2 施主杂质有1 3电离 2 3没有电离 时有 此时 讨论 59 物理与光电工程学院 3 4 2杂质半导体的电中性条件 带电粒子 导带电子 电离受主 价带空穴 电离施主 带负电 带正电 60 物理与光电工程学院 3 4 2杂质半导体的电中性条件 热平衡状态下电中性条件 电荷密度为零 即 3 4 4 3 4 5 3 4 6 61 物理与光电工程学院 3 4 2杂质半导体的电中性条件 上式中除EF外 其余各量都已知 因此在一定温度下可求出费米能级 这是求解费米能级的普遍表达式 但精确的解析求解非常困难 62 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 n型半导体是以导带电子的导电为主的半导体 三种掺杂情形 只掺施主杂质 掺施主杂质远大于掺受主杂质 受主杂质可以忽略不计 掺施主杂质大于掺受主杂质 杂质补偿后仍呈现为n型半导体 63 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 对象 单掺杂的n型半导体 且gD 2条件 非简并 1 低温弱电离温度区 温度很低时 施主未完全电离 本征激发可以忽略不计 因此 价带的空穴浓度p0 0 这种情况称处于杂质电离温度区 电中性条件 64 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 EF EV ED EC 意义 电离的施主浓度等于导带上的电子浓度 3 4 7 此时电中性条件为 低温电离区 未完全电离 65 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 上式可化为 解得 3 4 8 3 4 9 费米能级与温度 杂质浓度和杂质性质有关 66 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 不难看出 当ND2NC时 则EF位于ED和EC之间的中线以上 甚至可以进入导带低EC以上 即简并化 得到低温弱电离区的电子浓度表达式 67 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 测得n0与温度的关系 可以用上式求得电离能 3 4 11 对 3 4 10 两边取对数 得 3 4 10 2 中间电离区 介于弱电离与完全电离之间的温度区 68 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 电中性条件 n0 ND 3 强电离 饱和电离 的温度区 当温度升高到一定值后 有效施主杂质全部电离 但本征激发仍可忽略 代入 可得费米能级表示式为 将n0的表示式 69 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 3 4 12 显然 费米能级由温度和杂质浓度决定 由于一般掺杂浓度下 NC ND 费米能级在导带底以下 对硅和锗 NC 1018 1019 cm3 70 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 4 过渡温度区 此时 电中性条件变为 半导体所处温度超过杂质饱和电离的温度区之后 本征激发不可忽略 随温度升高 因本征激发产生的载流子浓度迅速增加 ND与ni的数值可以相比拟 称这种情况为处于过渡温度区 3 4 13 过渡温度区 71 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 3 4 14 3 4 15 将 解得过渡温度区的费米能级 和 代入上式得到费米能级 温度一定时 Ei和ni一定 EF可求 72 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 3 4 16 过渡区载流子浓度的计算 联立方程 解得 3 4 17 3 4 18 73 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 可见电子浓度比空穴浓度大得多 这时半导体处于过渡区内靠近饱和区的一边 室温下 硅两者的浓度可以差十几个数量级 浓度大的称多数载流子 少的称少数载流子 3 4 19 讨论 不难解得 74 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 电子浓度和空穴浓度大小相近 都近ni 这时半导体处于过渡区内靠近本征激发一边 3 4 19 不难解得 75 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 4 高温本征激发区温度继续升高 本征激发更为强烈 使半导体本征载流子浓度远多于杂质电离的载流子浓度 即ni ND时 称为杂质半导体进入了本征激发区 此时的电中性条件变为 n0 p0 半导体与没有掺杂的本征半导体的情况基本相同 高温本征激发区 76 物理与光电工程学院 3 4 3n型半导体的载流子浓度 例题 P85 作业P103 6 9 13 77 物理与光电工程学院 3 4 4p型半导体的载流子浓度 1 低温度弱电离区 只有一种受主杂质的p型半导体 在非简并条件下 同样可以从电中性条件出发推导相应的结果 3 4 20 3 4 21 取gA 4 78 物理与光电工程学院 3 4 4p型半导体的载流子浓度 2 强电离 饱和电离 区 3 4 23 3 4 22 3 4 24 3 4 26 3 过渡区 3 4 25 79 物理与光电工程学院 3 4 4p型半导体的载流子浓度 4 高温本征激发区p型半导体进入到本征激发的温度区与n型半导体进入到本征激发的温度区相似 同样可以用处理本征半导体的方法来解决 80 物理与光电工程学院 3 4 5多数载流子浓度与少数载流子浓度 多数载流子 多子 一定温度下 在n型半导体导带中的电子占多数 而在p型半导体价带中的空穴占多数 这些载流子称为多数载流子 简称多子 少数载流子 少子 在n型半导体价带中的空穴或p型半导体导带中的电子称为少数载流子 简称少子 在同种半导体中多子与少子浓度始终服从以下关系 81 物理与光电工程学院 3 4 5多数载流子浓度与少数载流子浓度 1 在实际应用的半导体中 掺杂浓度远大于本征载流子浓度 即多子浓度远大于少子浓度 此时考虑半导体的导电能力 往往少子对导电的贡献可不计 2 就器件应用而言 半导体通常处于非平衡状态 此时非平衡少子的改变量远大于平衡时少子浓度 少子取重要作用 多数器件就是依靠少子注入而工作的 3 在过渡温度范围 少子和多子浓度可以比较接近 考虑半导体导电能力时 两种载流子对导电的贡献必须加以考虑 低掺杂半导体容易处于这种情况 注意 82 物理与光电工程学院 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 无论是补偿的或只掺一种杂质的n型 或p型 半导体 载流子浓度与温度的变化都有相似的关系 右图为只掺施主杂质的n型非简并半导体的电子浓度随温度的变化关系 思考 杂质浓度为多少 83 物理与光电工程学院 1 在低弱电离区 利用 不难证明 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 84 物理与光电工程学院 低温弱电离区费米能级与温度的变化关系 当T趋向于0k时 EF处于EC与ED能量间隔的中央处 T增加 进入低温的弱电离区 EF很快增加到极大值 此时NC 0 11ND T继续增加 EF又减少 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 因此 85 物理与光电工程学院 其中 温度的影响主要来源于指数项 因此电子浓度随温度变化近似以指数规律上升 图中的这一温度范围约为0 100K 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 通过测量n0与T的关系 可以确定杂质电离能 86 物理与光电工程学院 2 中间电离区 EF随温度的上升向本征费米能级方向移动 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 温度继续升高 当2NC ND后 费米能级降到 EC ED 2以下 当温度升高使EF ED时 施主杂质有三分之一电离 硅等 3 强电离区 87 物理与光电工程学院 4 在过渡温度区 由于ni随温度的上升而增加 因此电子浓度也增加 随温度升高减小 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 88 物理与光电工程学院 5 高温本征激发区 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 温度不是太高时 第二项很小 89 物理与光电工程学院 杂质半导体载子浓度随温度变化与载流子的来源发生变化有关 可分为五个区 弱电离区 中间电离区 强电离区 过渡区 本征激发区 禁带宽度大 进入各温度区相应的温度要高 杂质电离能越大 杂质电离的温度范围要增加 掺杂浓度越高 进入本征激发的温度越高 说明 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 90 物理与光电工程学院 不同掺杂浓度下硅的费米能级与温度的关系 P82 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 91 物理与光电工程学院 在温度一定时 掺n型杂质浓度越高 费米能级越远离Ei而越靠近EC 掺p型杂质浓度越高 费米能级越远离Ei而越靠近EV 3 4 6单掺杂n型半导体载流子浓度和费米能级与温度的关系 92 物理与光电工程学院 思考 单掺杂p型半导体中费米能级 空穴浓度与温度的关系 作业 证明单掺杂n型半导体中 费米能级随温度的增加达到最大值 写出其最大值 对于单掺杂的p型半导体 推导相应的条件和相应的极值 93 物理与光电工程学院 复习 94 物理与光电工程学院 3 5一般情况下的载流子浓度 95 物理与光电工程学院 有杂质补偿的n型半导体 ND NA 为例 讨论在非简并情形下的费米能级和热平衡载流子浓度 1 弱电离温度区 温度很低时 施主未完全电离 而一般情况下禁带宽度比杂质电离能大得多 因此本征激发可以忽略不计 施主未完全电离 说明EF在施主能级ED附近 因而远在受主能级EA之上 故可以认为受主能级EA完全被电子所填充 因此 未电离的受主杂质浓度为零pA 0 价带的空穴浓度为零p0 0 3 5一般情况下的载流子浓度 96 物理与光电工程学院 意义 施主能级上的电子 一部分用于填充受主能级 一部分被激发到导带中 还有一部分留在施主能级上 3 5 1 此时电中性条件为 3 5一般情况下的载流子浓度 97 物理与光电工程学院 两边同时乘以 得 3 5 2 3 5 3 3 5一般情况下的载流子浓度 98 物理与光电工程学院 并设 得到方程 解之得 3 5 4 3 5 6 3 5 7 3 5一般情况下的载流子浓度 99 物理与光电工程学院 将上式右边第二项分子展开并取到第二项 得到 a 极低温下 NC 很小 N C NA 电子浓度与ND NA和NC成正比 且随温度的升高而增大 3 5 8 上式可以写为 讨论 3 5一般情况下的载流子浓度 3 5 9 100 物理与光电工程学院 将n0的表示式 代入上式 解得此时的费米能级为 3 5 10 3 5一般情况下的载流子浓度 101 物理与光电工程学院 b 低温下 设ND NA 或者NA 0 且满足ND NC NA 即相当于只有施主杂质的情况 此时 3 5 7 式可化为 3 5一般情况下的载流子浓度 3 5 11 与单掺杂低温弱电离情况相似 102 物理与光电工程学院 解得此时的费米能级为 3 5 12 当ND2NC时 则EF位于ED和EC之间的中线以上 甚至可以进入导带低EC以上 即简并化 3 5一般情况下的载流子浓度 2 中间电离区 温度继续升高 施主电离程度继续增大 当n0 NA时 受主的作用可忽略不计 与单掺杂低温弱电离情况相似 103 物理与光电工程学院 电中性条件 n0 ND NA 即有效杂质完全电离为导带提供电子 3 强电离区 当温度升高到一定值后 有效施主杂质全部已经电离 此时半导体处于强电离或饱和电离温度区 但本征激发仍可忽略 3 5一般情况下的载流子浓度 3 5 13 104 物理与光电工程学院 代入 可得费米能级表示式为 3 5 14 将n0的表示式 显然 当ND NA 或者NA 0 时 即当n0 ND时 费米能级为 3 5 15 3 5一般情况下的载流子浓度 105 物理与光电工程学院 4 过渡区 此时 电中性条件变为 半导体所处温度超过杂质饱和电离的温度区之后 本征激发不可忽略 随温度升高 因本征激发产生的载流子浓度迅速增加 ND NA ni的条件已不成立 如果ND NA与ni的数值相比拟 称这种情况为处于过渡温度区 3 5 16 3 5一般情况下的载流子浓度 106 物理与光电工程学院 结合方程 解得电子和空穴浓度 3 5 17 3 5 18 将 分别代入上两式均可解得过渡温度区半导体的费米能级为 和 3 5 19 3 5一般情况下的载流子浓度 107 物理与光电工程学院 3 5一般情况下的载流子浓度 注 在ND NA 或者NA 0 的特殊情况下 只要在以上三式中忽略NA 就得到单一掺杂时的载流子浓度以及EF的表达式为 和 108 物理与光电工程学院 5 高温本征激发区温度继续升高 本征激发更为强烈 使半导体本征载流子浓度远多于杂质电离的载流子浓度 即ni ND NA 时 称为杂质半导体进入了本征激发温度区 此时的电中性条件变为 n0 p0 半导体与没有掺杂的本征半导体的情况基本系统 3 5一般情况下的载流子浓度 109 物理与光电工程学院 3 5一般情况下的载流子浓度 110 物理与光电工程学院 对于含有施主杂质的p型半导体 类似的结果如下 1 极低温度弱电离区 当NA ND 或者ND 0 时 111 物理与光电工程学院 当NA ND 或者ND 0 时 2 强电离 饱和电离 区 112 物理与光电工程学院 3 过渡温度区 113 物理与光电工程学院 当NA ND 或者ND 0 时 114 物理与光电工程学院 说明 在杂质补偿下 半导体的载流子浓度和费米能级与温度的关系与单掺杂的情形相似 只要用有效杂质浓度来代替单掺杂时的浓度即可 4 高温本征激发区p型半导体进入到本征激发的温度区与n型半导体进入到本征激发的温度区 同样可以用处理本征半导体的方法来解决 115 物理与光电工程学院 作业P10312 14 116 物理与光电工程学院 3 6简并半导体的载流子浓度 117 物理与光电工程学院 3 6 1载流子简并化 非简并半导体 费米能级EF位于离开导带底EC与价带顶EV较远的禁带之中 这样的半导体称为非简并半导体 如 常温下普通掺杂 杂质浓度小于约1018cm 3 的半导体都属非简并半导体 118 物理与光电工程学院 3 6 1载流子简并化 简并半导体 在某些情况下 如 高掺杂 费米能级可以接近导带底 或价带顶 甚至会进入导带 或价带 中 导带低附近的量子态基本上已被电子占据 或价带顶附近的量子态基本上已被空穴占据 此时必须考虑泡利不相容原理的作用 必须用费米分布来描述电子或空穴的统计分布 这种情况称载流子简并化 如 高掺杂的n型半导体在低温电离区 费米能级随温度的升高出现的极大值可能进入导带 此时导带中量子态被电子占据的几率已很大 玻耳兹曼分布不适用 119 物理与光电工程学院 3 6 2简并半导体的载流子浓度 简并半导体能带中 载流子浓度的计算方法与非简并半导体中载流子浓度的计算方法相似 只是表示载流子占据量子态的概率用费米分布函数代替玻耳兹曼分布函数 由此 可得简并半导体的电子浓度为 120 物理与光电工程学院 3 6 2简并半导体的载流子浓度 则有 121 物理与光电工程学院 3 6 2简并半导体的载流子浓度 因此 导带电子浓n0可以写为 122 物理与光电工程学院 3 6 2简并半导体的载流子浓度 同理 可得到简并半导体价带空穴浓度p0为 简并半导体的少数载流子浓度远远少于多数载流子浓度 一般不加以考虑 其中 123 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 1 费米能级判据 用玻耳兹曼分布和费米分布分别计算得到的n0与 EF Ec k0T的关系如右图所示 习惯上定义简并化和非简并化的标准为 Ec EF 2k0T非简并 0 Ec EF 2k0T弱简并 Ec EF 0简并 Ec EF 5k0T完全简并 124 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 2 载流子浓度判据 下面以只含一种施主杂质浓度为ND的n型半导体为例 讨论杂质浓度为多少时发生简并化 半导体的费米能级的位置是半导体含杂质类型及浓度的直接反映 因此同样可以用杂质浓度的多少来判别半导体是否发生了简并化 125 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 取gD 2 126 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 引入杂质电离能 ED Ec ED 上式改写为 通常选取 EF Ec 则刚好发生简并化时的杂质浓度ND为 作为简并化的条件 127 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 结论 1 等式括号内最小值为3 因此 半导体简并化时 杂质浓度ND必定接近或大于NC 若杂质浓度ND NC 或NA NV 时 半导体肯定是非简并的 3 将Nc的表达式代入上一式 得到ND与温度的关系式 2 发生简并化时 半导体含杂质浓度的多少还与杂质电离能 ED 或 EA 有关 若杂质电离能越小 半导体发生简并化时含杂质浓度也越少 128 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 上式对给定的杂质浓度ND和杂质电离能 ED 存在两个温度的解T1和T2表明 半导体发生简并化有一个温度范围T1 T2 这个温度范围则是 当半导体处于杂质电离的温度区 费米能级EF进入到导带 或EF进入价带 的一定的温度范围 杂质浓度越大 发生简并化的这一温度范围越宽 特定半导体在室温下 300K 发生简并时的杂质浓度 掺P的n Ge 磷在锗中 ED 0 012eV 锗的导带底电子状态密度有效质量mn 0 56m0 代入计算得到 129 物理与光电工程学院 3 6 3简并化条件 掺P的n Si 磷在硅中 ED 0 044eV 硅的导带底电子状态密度有效质量mn 1 02m0 代入计算得到 对比表3 23 P77 的NC和NV 重掺杂 当杂质浓度超过一定数量后 载流子开始简并化的现象称为重掺杂 这种