九年级数学 中考二轮专项复习：二次函数与几何综合（含答案）

中考数学 二轮专项复习：二次函数与几何综合（含答案）1.如图,已知直线y1=x+b和抛物线y2=-x2+ax+b都经过点B（0,1）和点C,过点C作CMx轴于点M,且CM=.第1题图（1）求出抛物线的解析式;（2）动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM向点M运动,过点P作PEx轴分别交抛物线和直线于点E,F.当点P运动多少秒时,四边形EFMC为菱形?（3）在（2）的条件下,在直线AC上是否存在一点Q,使得以点E、F、Q为顶点的三角形与AMC相似,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）把B(0,1)代入y1=x+b,得b=1,y1=x+1,把y=代入y1=x+1得x=3,C（3,）,把B(0,1),C（3,）代入y2=-x2+ax+b得,解得,y2=-x2+x+1.（2）四边形EFMC为菱形,则EF=FM=CM=,设P(t,0),则EP=-t2+t+1,FP=t+1,MP=3-t,则EF=EP-FP=-t2+t+1-t-1=-t2+t,FM=,-t2+t=,=,解得t=1或t=2,解得t=1或t=3,要使,同时成立,则t=1,当点P运动1秒时,四边形EFMC为菱形;（3）存在,点Q的坐标为（2,2）或（6,4）.【解法提示】由（2）可知t=1,点F的横坐标为1,将x=1代入y1=x+1中,得y1=,将x=1代入y2=-x2+x+1中,得y2=4.点E（1,4）,F（1,）,将y=0代入y1=x+1中,得x=-2,点A的坐标为（-2,0）,如解图,过点E作EQ1CF,四边形EFMC为菱形,ECF=ACM,FE=EC,EFC=ECF=ACM,又EQ1F=AMC=90,EQ1FAMC,EF=EC,EQ1CF,Q1为CF的中点,F（1,）,C（3,）,点Q1的坐标为（2,2）;第1题解图如解图,过点E作EQ2/x轴,交直线BC于点Q2,EQ2/x轴,EQ2F=CAM,Q2EF=FPA=90,Q2EF=AMC=90,EQ2FMAC,又E（1,4）,设Q2（x,4）,将y=4代入y1=x+1,得x=6,点Q2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q的坐标为（2,2）或（6,4）.2.如图，一次函数yx1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数yx2bxc的图象与一次函数yx1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)第2题图（1）求二次函数的解析式；（2）若抛物线上存在点P，使SBDCSPBC，求出P点坐标(不与已知点重合)；（3）在x轴上存在点N，平面内存在点M，使得B、N、C、M为顶点构成矩形，请直接写出M点坐标解：（1）将x0代入yx1中，得：y1，B(0，1)，将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入yx2bxc得：，解得，二次函数的解析式为yx2x1；（2）如解图，过点D作DFy轴交AC于点F，过点P作PGy轴交AC于点G，第2题解图将x1代入直线BC的解析式得：y，即F(1，)，设点P(x，x2x1)，则G(x，x1)，GP.PBC的面积DBC的面积，DFGP，即，当-时，解得x2或x2，点P的坐标为(2，)或(2，)，当时，解得x3或x1(舍去)，点P的坐标为(3，1)，综上所述，点P的坐标为(3，1)或(2，)或(2，)；（3）点M的坐标为(3，4)，(1，4)，(，2)或(，2)【解法提示】如解图所示：当CBN90时，则BN的解析式为y2x1，将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立得：，解得，或，点C的坐标为(4，3)，将y0代入直线BN的解析式得：2x10，解得x，点N的坐标为(，0)，设点M的坐标为(x，y)，四边形BNMC为矩形，解得x，y2，点M的坐标为(，2)；第2题解图如解图所示：当CNM90时，第2题解图设CN的解析式为y2xn，将点C的坐标代入得：8n3，解得n11，CN的解析式为y2x11，将y0代入得2x110，解得x，点N的坐标为(，0)，设点M的坐标为(x，y)，四边形BMNC为矩形，解得x，y2，点M的坐标为(，2)；如解图所示：当BNC90时，过点C作CFx轴，垂足为F，第2题解图设ONa，则NF4a，BNOOBN90，BNOCNF90，OBNCNF，又BONCFN，BONNFC，即，解得：a1或a3，当a1时，点N的坐标为(1，0)，设点M的坐标为(x，y)，四边形BNCM为矩形，解得x3，y4，点M的坐标为(3，4)；当a3时，点N的坐标为(3，0 )，设点M的坐标为(x，y)，四边形BNCM为矩形，解得x1，y4，点M的坐标为(1，4)，综上所述，点M的坐标为(3，4)，(1，4)，(，2)或(，2)3. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2-bx+5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交点为C,直线y=-x-2经过点A,交抛物线于点D,交y轴于点E,连接CD,并且ADC=45.第3题图（1）求抛物线的解析式;（2）过点A的直线AF与抛物线的另一个交点为F,sinBAF=,求点F的坐标; （3）在（2）的条件下,点P是直线AF下方抛物线上一点,过点P作PQAF,垂足为Q,若PE=EQ ,求点P的坐标.解：（1）当x=0时,y=ax2+bx-5=-5,则C（0,-5）,当y=0时,-x-2=0,则A（-2,0）,当x=0时,y=-x-2=0,则E（0,-2）,OA=OE,OAE为等腰直角三角形,OAE=45,ADC=45,CD/x轴,CDE为等腰直角三角形,CD=CE=3,D（3,-5）,把A（-2,0）,D（3,-5）代入y=ax2+bx-5,得,解得,抛物线的解析式为y=x2-x-5；（2）设直线AF交y轴于G,如解图,在RtAOG中,sinOAG=,G第3题解图设OG=t,AG=t,OA=2t,2t=2,解得t=1,G（0,1）,易得直线AG的解析式为y=x+1,联立,解得,点F的坐标为（6,4）;（3）作EMPQ于M,如解图,PQAF,设PQ的解析式为y=-2x+m,第3题解图EM/AF,EM的解析式为y=x-2,联立,解得,则Q（）,设点P的坐标为（a,b）,EQ=EP,QM=PM,M点的坐标为(a+m-),(b+),把M(a+m-),(b+)代入y=x-2得(a+m-)-2=(b+),b=a-5,即P（a,a-5）,把P（a,a-5）代入y=x2-x-5得a2-a-5=a-5,解得a1=0,a2=4,P点坐标为（0,-5）或（4,-3）.类型二 等腰三角形的存在性问题4. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.第4题图（1）求抛物线的解析式；（2）求sinABC的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）将点A(1，0)，C(0，2)代入抛物线yx2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为yx2x2；（2）令yx2x20，解得x11，x24，点B的坐标为(4，0)，在RtBOC中，BC，sinABC；（3）存在，点P坐标为(，)或(，)或(，4)【解法提示】由抛物线yx2x2得对称轴为直线x，点D的坐标为(，0)CD.点P在对称轴x上，且PCD是以CD为腰的等腰三角形，当点D为顶点时，有DPCD，此时点P的坐标为(，)或(，)；当点C为顶点时，如解图，连接CP，则CPCD，过点C作CGDP于点G，则DGPG，DG2，PG2，PD4，点P的坐标为(，4)第4题解图综上所述，存在点P使PCD是以CD为腰的等腰三角形，点P的坐标为(，)或(，)或(，4)5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A和E两点，与x轴交于点B（3,0），与y轴交于点C（0，），对称轴与x轴交于点D，顶点为点H.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一动点，且位于直线AE下方，过点P作PMy轴交直线AE于点M，求线段PM的最大值；（3）如图，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F，在直线HF上，是否存在点Q，使DHQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.图 图第5题图解：（1）将点B（3,0）、C（0，）、E（4，）的坐标代入中，得，解得，抛物线的解析式为；（2）令y=0，即，解得x1=-1,x2=3,点A（-1,0），设直线AE的解析式为，将点A、E的坐标代入得，解得，直线AE的解析式为，设点P的坐标为（，），则点M的坐标为（，），且-14.PM=（）-（）=，0，14.当=时，PM有最大值，其最大值为；（1） 存在，由（1）易得H（1，），D（1,0），将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F，F（2，），易得直线HF的解析式为，设点Q的坐标为（，），DQ2=，HQ2=，DH2=，当DQ=HQ时，DQ2=HQ2，则=，解得，点Q（）；当DQ=DH时，DQ2=DH2，则=，解得=3或1，点H与点Q不重合，=1（舍去），Q（）；当HQ=DH时，HQ2=DH2，则=，解得=或，Q（，）或Q（，）；综上所述，存在点Q，使得DHQ为等腰三角形，点Q的坐标为（）或（）或（，）或（，）.类型三 直角三角形的存在性问题6. 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.第6题图(1)若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标解：（1）由题意得，解得，抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为直线x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)设直线BC的解析式ymxn，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn得，解得，直线BC的解析式为yx3；（2）如解图，连接MA，第6题解图MAMB，MAMCMBMC.使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点设直线BC与对称轴x1的交点为M，把x1代入直线yx3，得y2.M(1，2); （3）设P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即：4t2t26t1018，解得t1，t2.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)7. 如图,抛物线yx2bxc经过A(3,0),C(1,0)两点,与y轴交于B点第7题图 备用图（1）求抛物线的解析式;（2） D为第一象限抛物线上的一点,连接CD交AB于点E,当CE2ED时,求点D的坐标;（3）点P以每秒3个单位长度的速度从点O出发,沿OBA匀速运动,同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发,沿CA匀速运动,运动时间为t秒,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,是否存在t,使以A、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,若存在,直接写出t的值;若不存在,说明理由解：（1）抛物线y经过A(3,0)、C(-1,0)两点,，解得,抛物线的解析式为y;（2）如解图,作DFAC交AB于点F,第7题解图EACEFD,ECAEDF,ACEFDE,AC4,FD2, 设D(x,y),则F(x-2,y),令x0,得y4,B(0,4),过点F作FMx轴于点M,AMFAOB,解得x11,x22,y1,y24,D1(1,),D2(2,4);（3）存在t1,t21,t3,t4.【解法提示】当P在OB上时,OP3t,CQt,AQ4-t,要使APQ是直角三角形,则需AQP90,此时点Q与点O重合,CQ1,则t1;APQ90,此时PQOAPO,即(3t)2(1-t)3,解得t1,t2(负根舍去)当点P在AB上,在RtAOB中,OA3,OB4,易得AB5,则此时AP9-3t,AQ4-t,当PQA90时,则PQAO,cosPAQ,即,解得t;当QPA90时,则APQAOB,即,解得t.综上所述,t的值为1或或或.8. 如图，抛物线与x轴交于点A（-3,0），B（1,0），与y轴交于点C（0,3），顶点为D.（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如图，在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图 图第8题图解：（1）A，B，C三点在抛物线上，抛物线的表达式yx22x3，yx22x3=，点D的坐标为（-1,4）；（2）如解图，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，3)，连接DM，DM与x轴的交点为E，连接CE，此时CDE的周长最小，第8题解图设直线DM的解析式为ykxb(k0)，将D(1，4)，M(0，3)代入ykxb，得，解得，直线DM的解析式为y7x3，令y0，则y7x30，解得x，点E的坐标为(，0)（3）存在由（1）知，OAOC3，AOC90，CAB45，如解图，第8题解图当AFP90时，即AF1P190，点P1既在x轴上，又在抛物线上，则点P1与点B重合，点P1的坐标为(1，0)；当FAP90时，即F2AP290，则P2AO45，设AP2与y轴的交点为点N，OAON3，则N(0，3)，直线AP2的解析式为yx3，联立抛物线与直线AP2的解析式，得方程组，解得或，A(3，0)，P2(2，5)；当APF90时，即AP3F390，点P3既在x轴上，又在抛物线上，则点P3与点B重合，点P3的坐标为(1，0)综上所述，抛物线上存在点P，使得AFP为等腰直角三角形，其坐标为P(1，0)或(2，5)类型四 特殊四边形的存在性问题9. 如图，抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴x1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标第9题图点A(2，0)与点B关于直线x1对称，B(4，0)，将点A，B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为yx2x4；（2）不存在点F，使四边形ABFC的面积为17，理由如下：B(4，0)，C(0，4)，BC的解析式为yx4，如解图，过点F作x轴垂线，交BC于G，设F点的坐标为(m，m2m4)，则G(m，-m4)，FG(m2m4)(m4)m22m，S四边形ABFCSABCSBCFAByCFG(xBxC)644(m22m)17，整理得m24m50，b24ac1641540)，并与直线OA交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求PCE周长的最大值及此时P点的坐标；（3）当PCCO时，求P点坐标 第10题图解：（1）A（3,3），B（4,0）两点在抛物线上，解得抛物线的表达式为；（2）如解图，设点P的坐标为(x，x24x)，第10题解图点A坐标为(3，3)；AOB45，ODCDx，PCPDCDx24xxx23x，PEx轴，PCE是等腰直角三角形，当PC取最大值时，PCE周长最大PE与线段OA相交，0x1，由PCx23x(x)2可知，抛物线的对称轴为直线x，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，当x1时，PC最大，PC的最大值为132，PE2，CE2，PCE的周长为CPPECE42，PCE周长的最大值为42，把x1代入yx24x，得y143，点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，x24x)，则点C坐标为(x，x)，如解图，D2第1