相似三角形复习

相似三角形的复习 1 相似三角形的定义 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 2 相似比 相似三角形的对应边的比 叫做相似三角形的相似比 一 相似三角形 知识要点 ABC A B C 如果BC 3 B C 1 5 那么 A B C 与 ABC的相似比为 1 识别 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等 那么这两个三角形相似 二 相似三角形的识别和应用 如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 2 性质 两个三角形相似 则 它们的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 它们的对应边成比例 对应角相等 它们的对应高 对应中线 对应角平分线的比等于相似比 应用举例 例1判断 所有的等腰三角形都相似 所有的直角三角形都相似 所有的等边三角形都相似 所有的等腰直角三角形都相似 你能行 1 如图1 当时 ABC ADE 2 如图2 当时 ABC AED 3 如图3 当时 ABC ACD DE BC AED B ACD B 3 基本图形 母子相似或A型 1 如图1 当AB ED时 则 2 如图2 当时 则 ABCDEC B E 或 A B C D E C 你能行 兄弟相似或X型 4 特殊图形 D BAC 90 双垂直型 ABCDBADAC 例1 如图1 已知 DE BC EF AB 则图中共有 对三角形相似 3 找一找 你能行 例2 已知 如图 梯形ABCD中 AD BC A 900 对角线BD CD求证 1 ABD DCB 2 BD2 AD BC 证明 1 AD BC ADB DBC A BDC 90 ABD DCB 如图 正方形ABCD的边长为8 E是AB的中点 点M N分别在BC CD上 且CM 2 则当CN 时 CMN与 ADE形状相同 1 或4 解 当CN 1时 AD CM AE CN 2 1 CMN ADE 解 当CN 4时 AD CN AE CM 2 1 CMN ADE 挑战自我 如图 ABC是一块锐角三角形余料 边长BC 120毫米 高AD 80毫米 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在BC上 其余两个顶点分别在AB AC上 这个正方形零件的边长是多少 N M Q P E D C B A 解 设正方形PQMN是符合要求的 ABC的高AD与PN相交于点E 设正方形PQMN的边长为x毫米 因为PN BC 所以 APN ABC所以 在平面直角坐标系 B 1 0 A 3 3 C 3 0 点P在y轴的正半轴上运动 若以O B P为顶点的三角形与 ABC相似 则点P的坐标是 P 证明 CD AB E为AC的中点 DE AE EDA A EDA FDB A FDB ACB 90 A FCD FDB FCD FDB FCD BD CD DF CF BD CF CD DF 例2如图 CD是Rt ABC斜边上的高 E为AC的中点 ED交CB的延长线于F C E A D F B 这个图形中有几个相似三角形的基本图形 求证 BD CF CD DF 例3在方格纸中 每个小格的顶点称为格点 以格点的连线为边的三角形称为格点三角形 如图所示的5 5的方格纸中 如果想作格点 ABC与 OAB相似 相似比不能为1 则C点坐标为 1 2 C1 5 2 5 C2 4 4 创设情景 尝试探索 智海扬帆 小结思考 我们已学习了判定一般三角形相似的哪几种方法 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理3 三边成比例的两个三角形相似 A B C A1 B1 C1 下面我们着重研究怎样运用这三个判定定理来判定两三角形相似 例1 已知 如图 ABC中 P是AB边上的一点 连结CP 1 ACP满足什么条件时 ACP ABC 2 AC AP满足什么条件时 ACP ABC A B C P A B C P 分析 这是一道探索性题目 1 要使 ACP ABC的条件已有了 A A 找 ACP满足的条件 只能根据判断定理1 即 ACP B 2 要使 ACP ABC 已有 A A 找出AC AP满足什么条件 只能根据判定定理2即AC AP AB AC 解 1 A A 当 ACP B时 2 A A 当AC AP AB AC时 ACP ABC A B C P ACP ABC 两角对应相等 两三角形相似 例2 已知如图 AB A B BC B C 求证 ABC A B C 证明 AB A B 1 2 A B AB OB OB BC B C 3 4 B C BC OB OB ABC A B CA B AB B C BC ABC A B C B c A B C O A 1 3 2 4 例3 已知如图 在 ABC中 AD是 BAC的平分线 EF AD于点F AF FD 求证 DE2 BE CE 证明 连结AE D C E B A F EF AD AF FD AE DE ADE DAE BAD CAD B CAE又 BEA CEA ACE BAE AE BE CE AE即AE2 BE CE DE2 BE CE 1 已知如图 DC AB AC BD相交于点O AO BO DF FB求证 DE2 EC EO 证明 OA OB 3 2 DF FB 1 2 DC AB 3 4 1 4又 DEO DEC DEO CED DE CE EO DE DE2 EC EO D C A B O E 3 2 1 4 F 2 如图 已知BC B C AC A C 求证 ABC A B C 证明 BC B C 3 4 B C BC OC OC AC A C 1 2 A C AC OC OC ACB A C B B C BC A C AC ABC A B C B A C O B C A 1 3 2 4 3 已知如图 BAC 90 BD CD DE BC交AC于E 交BA延长线于F求证 AD2 DE DF 证明 BAC 90 BD CD AD CD C DAC DE BC B F 90 又 B C 90 F C DAC FDA EDA FDA ADE DF AD AD DE AD2 DE DF B F A D C E 1 下列题设中能判定 ABC A B C 的是 A A 50 B 40 A 50 C 80 B A A 130 AB 4 A B 10 A C 24CAB 48 BC 80 AC 60 A B 24 A C 30 B C 40D A A 90 AB 5 BC A C 72 下列命题中正确的是 A底角相等的两个等腰三角形相似B有一个角相等的两个等腰三角形相似C两边对应成比例的两直角三角形相似D有一条对应边相等的两个直角三角形相似 思考题 C C 3 如图 不能判定 ACD ABC的条件是 A ACD BB ADC ACBCAC BC AB DCDAC2 AD AB4 如图 DE BC 则图中一共有 对相似三角形 C D B A A B C D E 3 4 C 2 5如图 Rt ABC中 CD