数学建模 之 人口模型.doc

数学建模关于人口增长的模型 摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。一、 问题的提出：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百年的美国人口统计数据，预测2010年、2020年美国人口数量。年份1790180018101820183018401850人口3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口31.438.650.262.97692106.5年份1930194019501960197019801990人口123.2131.7150.7179.3204226.5251.4二、 建立模型模型一（指数增长模型）1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（），人口数量计为（），以为横坐标，以为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。附图A2、基本假设：人口的增长率是常数增长率单位时间内人口增长率与当时人口之比。故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。设人口增长率为常数r。时刻t的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X由假设，对任意t0 ，有即：单位时间人口增长量=r当时人口数当t趋向于0时，上式两边取极限，即：引入微分方程： 3、模型求解：从（1）得两边求不定积分：t=0时， (2)当r0时.表明人口按指数变化规律增长.备注； r的确定方法：要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r进行估计: 十年的增长率,则(2)式现为:4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22): x(22)=3325.77 2020的人口为x(23): x(23)=4519.735、检验：根据所建立的指数模型预测1790以后近两百年的美国人口数量,在此基础上并预测2070、2020年美国人口，列表2 年份(t)实际人口(百万)指数增长模型(百万)误差(%)1790(0)3.93.90.001800(1)5.35.30.001810(2)7.27.20.001820(3)9.69.81.981830(4)12.913.33.11840(5)17.118.15.731850(6)23.224.65.911860(7)31.433.46.341870(8)38.645.417.561880(9)50.261.722.851890(10)62.983.833.231900(11)76113.949.861910(12)92154.868.231920(13)106.5210.397.51930(14)123.2285.8132.021940(15)131.7388.5194.971950(16)150.7527.9250.321960(17)179.3717.5300.151970(18)204975377.951980(19)226.5990485.021990(20)251.41809.8619.992010(22)-3325.772020(23)-4519.73附图如下：6、模型讨论：由表可见，当人口数较少时，模型的预测结果与实际情况相差不大（不超过5%）。但人口较多时用模型预测的结果比实际人口偏大较多，实际人口越多时相对误差越大。即人口的增长不应是一个常数。进行如下讨论：1 我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。2 假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可认为是近似成立的。3 人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。4 模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。模型二（阻滞增长模型）1、模型的提出随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降。又因一定环境所容纳的人口数量是一定的，人口不会无限地增加，而是最终趋近于某个常数。2、基本假设 人口增长率不是常数，而是关于人口数量x的线性递减函数r(x).:人口增长率：按自然资源和环境条件的最大人口容量： 固有增长率，即人口很少时的增长率3、模型的建立及求解：由定义和假设，显然有： 即r-rk=0 、 k=r-x=r(1-)将的表达式代入指数增长模型中的微分方程中：求解：由（3）式得：移项得： 备注：r及的确定方法：由（4）式可得：(5)代入表格中两组数据得: r=0.2072 =4644、结论: 由上函数可预测得:2010的人口为x(22): x(22)= 464.0 2020的人口为x(23): x(23)= 464.05、模型的检验：年份(t)实际人口(百万)阻滞增长模型(百万)误差(%)1790(0)3.91800(1)5.35.31810(2)7.27.21820(3)9.69.71.251830(4)12.913.11.401840(5)17.117.52.281850(6)23.223.21860(7)31.430.5-2.991870(8)38.639.52.281880(9)50.250.40.301890(10)62.963.00.221900(11)76.077.21.631910(12)92.092.40.481920(13)106.5108.01.361930(14)123.2123.0-0.151940(15)131.7137.04.011950(16)150.7149.4-0.901960(17)179.3159.9-10.831970(18)204.0168.6-17.361980(19)226.5175.5-22.501990(20)251.4182.4-27.452010(22)-464.02020(23)-464.0附图如下：6、模型的讨论：从上面的图中可以看出：由该模型计算的结果实际符合地非常好。但是，由于该模型建立在环境所能容纳的最大人口数量为定值的情况下，而对于实际情况而说，的值很难确定，即使确定，也会因情况的变化而发生改变。这也是在上图中，曲线的末端分叉的原因。三、利用层次分析法对模型进行评价： 1、层次分析模型的构造最优方案A目标层:绝对误差B均方差B相关系数B准则层方案C方案C方案层:由图可知:我们对方案C和方案C,以绝对误差、均方差、相关系数三方面加以评价，对现有的两种方案做具体的分析选取。2构造判断矩阵建立层次模型后，我们将各方面的因素两两比较，看它们对上一层某个准则的相对重要程度。比较结果采用不19做标准。将全部比较结果对某一上层因素的标准值列于表内，则得到判断矩阵，分别列表如下：列表1：CC相比对B重要程度及其判断矩阵BCCC1C71得：B= 1 7 1列表2：CC相比对B重要程度及其判断矩阵-BCCC1C51得：B= 1 5 1列表3：CC相比对B重要程度及其判断矩阵BCCC1C31得：B= 1 3 1列表4ABBBB1B31B551 1 A= 3 1 5 5 1 三、层次单排序及一致性检验：根据判断矩阵计算对于上一层次某要素而言，及本层次与之有联系的要素重要程度次序的数值。现用方根法计算判断矩阵的特征向量B= 1 得： 1 7 1 M= 71 0378 0.125 所以= 因此= 2646 0.875列表5绝对误差(B)方案(C)方案(C)层次单排序方案(C)10.125方案(C)710.875=2 CR=0同理:列表6绝对误差(B)方案(C)方案(C)层次单排序方案(C)10.167方案(C)510.833=2 CR=0列表7绝对误差(B)方案(C)方案(C)层次单排序方案(C)10.250方案(C)310.750=2 CR=0列表8优化方案A绝对误差(B)均方差(B)相关系数(B)层次单排序绝对误差(B)10.043均方差(B)310.128相关系数(B)5510.829=3.038 CR=0.0332四、层次总排序确定方案层所有因素对于总目标相