华师附中圆锥曲线中的定值问题.doc

金太阳新课标资源网 圆锥曲线中的“定值”问题一证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. 若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；解：设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l0)，直线MF的斜率为k， 直线ME方程为由，消解得；同理(定值)所以直线EF的斜率为定值 利用消元法2、已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M证明为定值解：由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)，所以 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为0 利用不变因素3、已知椭圆分别交于点。解：设。 由，而为定值。 利用辅助元解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。二证明动直线过定点或动点在定直线上问题4、如图,椭圆的两焦点，与短轴两端点，构成为,面积为的菱形。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆右顶点求证:直线过定点,并求出该定点的坐标解：椭圆的方程为（2） 由，即设M，则有因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以，而 代入并整得，化简整理得到均满足判别式大于0，所以当当三探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离。所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为(2) 假设存在A,B在上,所以,直线AB的方程:,即 即AB的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)作业：1已知点是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，且满足（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设是椭圆上两点，直线的倾斜角互补，试判断直线的斜率是否为定值？并说明理由解：（1）椭圆方程为，离心率；（2）不妨设，由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与椭圆方程联立并消去得 （），又在椭圆上，所以1是方程（）的一个根，方程可化为，所以又直线的倾斜角互补，可设直线的方程为，同理可得，所以，又，所以因此2已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点（1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证为定值解：（1）设椭圆C的方程为：， 抛物线方程化为，其焦点为， 椭圆C的一个顶点为，即 ， 由，得， 椭圆C的方程为： （2）由（1）得， 设 ，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为， 代入，并整理得：， 又， ，由，得， 3、已知点A（1，0），B（1，1）和抛物线，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.第5题（I）证明: 为定值；（II）若POM的面积为，求向量与的夹角；() 证明直线PQ恒过一个定点.解：（I）设点、M、A三点共线， (II)设POM=，则由此可得tan=1 又 ()设点、B、Q三点共线，即 即 由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，4） 4、已知定点H（3，0），动点P在y轴上，动点Q在x轴的正半轴，动点M满足：设动点M的轨迹为曲线C，过定点D（m，0）（常数m0）的直线与曲线C相交于A、B两点.（1）求曲线C的方程； （2）是否存在实数a，使得以AD为直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设M（x,y）,P（0,y）,Q（x,0）(x0)（3，y）(x,yy)=0（2）假设存在满足条件的实数a，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为I，则，点的坐标为|FG|与x1的取值无关， am+1=0,得a=m1,此时，|FG|2=4（m1）0.当m10,即m1时，|FG|=2（定值）当m1时，满足条件的实数a=m1；当0m1时，满足条件的实数a不存在.5、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（2）当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.6、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明：为定值。解：（）设椭圆方程为。则直线