2.1.3　函数的奇偶性

2.1.3函数的奇偶性,一、引入,观察下列图片，你有何感受?,观察下列函数的图象，从对称的角度,你发现它们有什么共同特征？（1）y=x2; (2)y= x,二、问题情境：,y,o,观察下列函数的图象，从对称的角度,你发现它们有什么共同的特征？（1）y=x; (2)y=1/x.,x,y,o,三、学生活动：,1、上述特征从下表中是如何体现的？,y=x2;,2、如何用数学语言说明上述图象的共同特征？,f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),想一想：对于函数定义域R内的任意一个x 值，都有f(-x)=f(x)吗？,三、学生活动：,3、上述特征从下表中是如何体现的？,y=x2;,y=1/x.,4、如何用数学语言说明上述图象的共同特征？,f(-1)= - f(1),f(-2)= - f(2),f(-3)= - f(3),想一想：对于函数定义域R内的任意一个x 值，都有 f(-x)= - f(x) 吗？,四、建构数学：,一般地，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数。如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数。,如果函数y=f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数y=f(x)具有奇偶性。由以上的讨论容易知道，偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称。,y轴,原点,例6、判定下列函数是否为偶函数或奇函数：（1）f(x)=x2-1 (2) f(x)= 2x (3) f(x)=2|x| (4) f(x)=(x-1)2 (5) f(x)=x3+5x,五、数学运用：,例6、判定下列函数是否为偶函数或奇函数：（1）f(x)=x2-1; (2) f(x)= 2x;,解：（1）函数f(x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的xR，都有 f(-x)=(-x)2-1 =x2-1= f(x),所以函数f(x)=x2-1是偶函数。（2）函数f(x)= 2x的定义域是R.因为对于任意的xR，都有 f(-x)= 2（-x） = -2x = -f(x),所以函数f(x)= 2x是奇函数。,例6、判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(3) f(x)=2|x|; (4) f(x)=(x-1)2;,解：（3）函数f(x)= 2|x|的定义域是R.因为对于任意的xR，都有 f(-x)= 2|-x| = 2|x| = f(x),所以函数f(x)= 2|x|是偶函数。（4）函数f(x)= (x-1)2的定义域是R.因为f(1)=0,f(-1)=4, f(1)f(-1)、 f(1)-f(-1)，所以函数f(x)= (x-1)2既不是奇函数也不是偶函数。,例6、判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(5) f(x)=x3+5x.,解：（5）函数f(x)= x3+5x的定义域是R.因为对于任意的xR，都有 f(-x)= (-x)3+5(-x) = -(x3+5x) = -f(x),所以函数f(x)= x3+5x是奇函数。,六、回顾小结：,小结：1、函数的奇偶性的定义、图象特征；2、会判断简单函数的奇偶性。,探究：1.有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？函数f(x)=x2,x -3,2具有奇偶性吗？为什么？2