二重积分的概念.doc

高等数学下册教案 第九章 重积分第九章 重积分1、二重积分的概念一重积分的概念1引例与定义曲顶柱体的体积问题 设函数，当时，且在上连续。由曲面、平面的区域、母线平行于轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面为顶，以平面区域为底，母线平行于轴的曲顶柱体。 已知：平顶柱体的体积=底面积高分割：用平面曲线网将区域分割为 ，. ，.，相应地将曲顶柱体分割为个小的曲顶柱体：，. ，.，其中表示第个小曲顶柱体、也表示该柱体的体积，则：；求的近似值：，（）；故求的精确值：记所有的直径，则，；平面薄板的质量问题 设平面薄板占有平面上的区域，密度函数为，当时，且在上连续。同理可得，质量计算公式：；定义1、设函数是有界闭域上的有界函数。将任意分割成个小的区域：、.、，（既表示第个小区域也表示小区域的面积）；任取，作和：；记的直径，若极限存在，称极限值为函数在区域上的二重积分，记作：其中被积函数，积分区域，面积微元，积分变量，被积表达式，积分和。注：相应于积分和中的，故；如果已知二重积分存在，特别：用直角坐标系中的直线网即平行于坐标轴的直线网分割区域，除去边沿部分外，有，则 即：在直角坐标系下的二重积分用极坐标系中的曲线网即以坐标原点为中心的圆弧、从坐标原点发出的半射线分割区域，除去边沿部分外，有，则利用直角坐标与极坐标的关系 ，极坐标系下的二重积分2二重积分的几何意义当 的几何意义表示以区域为底，以曲面为顶，母线平行于轴的曲顶柱体体积（位于上方）；若，积分值等于区域的面积。注：时，的几何意义表示以区域为底，以曲面为顶，母线平行于轴的曲顶柱体的体积；若积分区域关于轴对称，是位于轴上侧的一半区域，则 设积分区域关于轴对称，是位于轴右侧的一半区域，则 问题：考虑如果积分区域关于坐标原点对称或关于直线对称时，被积函数满足什么条件积分具有类似上面的性质？例1根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中，；，。解：的面积上半球体体积 四面体的体积例2指出下列积分值，其中：。解：被积函数，根据二重积分的几何意义，积分值等于以曲面为顶，以：为底的曲顶柱体的体积，即等于底半径为2，高为2例3指出下列积分值，其中其中： 解： 二二重积分的性质 可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设重积分存在。性质1、，为非零常数；性质2、；性质3、若，且（除边沿部分外），则性质4、若，则：；表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值的大小。特例： 若，则； 其中几何意义在于：左端体积的代数和，右端体积。性质5、（估值定理）若，则 （是的面积）注：利用此性质可以估计积分值的范围。性质6、（中值定理）若在有界闭区域上连续，则存在，使得： （是的面积）因为在有界闭区域上连续，则在上可以取得最大、最小值与，即，；根据性质4，即，或，由闭区域上连续函数的性质，存在，使得，即：。例4比较积分与的大小， 由围成的圆域。解：当时，总有，故，。例5试估计二重积分值，其中是矩形区域：，。解：，则当时，故：；且，则 （例4图） （例5图）2、二重积分的计算一在直角坐标系下1平面上的简单区域及其不等式表示：型与型型： 型： ：例1将下列平面区域用不等式表示解：，：；：；：；：及；：。2在直角坐标系下二重积分的计算例1计算曲顶柱体的体积，。解：设曲顶柱体的底为平面上的区域，顶为曲面；设区域为型区域且：； ，过点作垂直于轴的平面，平面与曲顶柱体有一截面，设截面面积为，则为：；由的任意性，有，截面面积为：；根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为从而， 二次积分（累次积分）注：对于一般的二重积分，若其积分区域为型区域，即：，则也有：；为了书写方便，二次积分常写为： 同理，若积分区域为型区域，即：，则有：如果积分区域不是简单区域，则应当适当划分为简单区域再逐个积分。例2计算二重积分，其中积分区域为矩形：。解：根据上面的讨论，视为型区域，：，则特例：若积分区域为矩形区域：，被积函数恰好可以写为，则。例3计算积分，其中由曲线与围成。解：视为型域，则：； 视为型域，则：及 例4计算积分，由与围成。解：，则 ：，则例5计算积分，由、及轴围成。解：视为型域，：，则若视为型域，：，则此积分无法用牛顿莱布尼兹公式计算注：以上例题表明，在直角坐标系下计算二重积分时，应注意积分顺序的选择，二重积分计算的关键是转化为二次积分。例6将二重积分化为直角坐标系下的两种不同顺序的二次积分，其中由直线、及围成。解：，：及，则 例7改变二次积分的积分顺序。解：由条件可得：，则积分区域为：例8计算由平面，所围成的柱体被平面以及抛物面截得的立体的体积。解：此立体为以（由，围成）为底，以曲面为顶的曲顶柱体，则练习1将下面的二重积分化为二次积分（两种顺序都要），其中积分区域：由、及围成；由与轴为成。解： 2交换积分顺序：。解：3计算积分，其中由直线、及围成。解： 二极坐标系下二重积分的计算1极坐标系下的二重积分极坐标系下的坐标为：，与直角坐标的关系，；极坐标系下的坐标曲线：常数以原点为中心的圆弧；常数从原点发出的半射线设二重积分存在，则；用极坐标系中的曲线网分割区域时，除去边沿部分外，均有： 考虑圆弧上的一点，取，则 注：二重积分的面积微元在极坐标系下为：；2极坐标系下的简单区域半射线与区域边界曲线的交点不超过两个，则为极坐标系下的简单区域。：，则 ：，则：，则：，则例1将二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域为，且。解：，则如果将条件去掉，则积分区域为环形区域，此时注：注意到两组积分限均为常数。因此如果积分区域为上述的环形或圆形区域，被积函数中含有，可以考虑使用极坐标。最常用的三种圆的极坐标方程： 例2将二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域分别为、 例3计算二重积分，：， 。解：，故 注：因为，利用重积分的性质，有 又因为：，：，故 ，或，令，则，由夹逼准则可得，即（）从而获得重要结论：。例4求曲线围成的图形的面积。解：根据曲线的方程，有，且曲线关于轴对称，故只需要讨论即第一象限部分的面积即可。 将曲线的方程极坐标化：，即曲线的极坐标方程为：，所求面积示意图为： 例5计算球面与圆柱面所围成的体积。解：所求体积包括两部分：即位于球面之内柱面内的部分与柱面外的部分。由于球面与柱面均关于坐标面对称，故只考虑的部分。球面之内柱面内的部分的体积： 例6将二次积分化为极坐标系下的二次积分。解： ：及练习题1将下面积分化为极坐标系下的二次积分。，：，。解：2选择适当的坐标系，计算下列二重积分，由、及围成。解：，由与坐标轴围成的第一象限的部分。解： ，由、与围成。解： 求半球面与旋转抛物面（）所围立体的体积。解： 4、三重积分的概念及计算法一三重积分的概念引例：某物体占有空间的区域，密度为，且在上连续，求此物体的质量。解：用曲面网分割区域为空间的个小区域：，则物体的质量为：，既表示第个小区域，又表示第个小区域的体积，；，物体的质量：，记所有的直径，则所求物体质量：。定义2、设函数是有界闭域上的有界函数。将任意分割成个小的区域：，（既表示第个小区域也表示第个小区域的体积；任取，作和；记的直径，若极限存在，称极限值为函数在区域上的三重积分，记作：；其中被积函数，积分区域，体积微元，积分变量，被积表达式，积分和。注：相应于积分和中的，故；若存在，当直角坐标系中的坐标平面网分割区域时，除去边沿部分外，其内部的小区域均为长方体，其体积为： 即在直角坐标系下，且；三重积分的几何意义：当时，积分值等于积分区域的体积，即；三重积分的性质类同于二重积分。二在直角坐标系下三重积分的计算空间型简单区域：平行于轴的直线穿过时，与的边界曲面的交点不超过两个。1设，根据三重积分的几何意义，设：是空间的型简单区域，且依此将的边界曲面分为上、下两部分： 与：，即；在坐标面上的投影区域是平面的型域：；对于上的任意一点，均满足不等式：再利用二重积分的几何意义，有 事实上对于不恒为1的情形，在上述的区域上仍然有注：若空间区域在面上的投影区域为型区域，即 ：根据上面的讨论，在直角坐标系下的三重积分共有6种不同顺序的累次积分。当区域空间的型简单区域(平行于轴的直线穿过区域时与区域边界曲面的的交点不超过两个)且，以及在坐标面上的投影用不等式表示为：.计算三重积分时，要求必须画出投影区域的图形；计算三重积分时，首先对作定积分然后再作投影区域上对作二重积分，称之为“先一后二”。例1将三重积分化为三次积分，其中积分区域由平面与三个坐标面围成（）。解：将向面投影，投影区域如图示，且 ： （）在此，特取，则 将向面投影，投影区域如图示，且，：，则（）例2将三重积分化为三次积分，其中由椭圆抛物面与平面围成。解：将向面投影，投影区域：，；如果选择向面上投影，记投影区域为，则，且：例3计算三重积分，其中积分区域由椭圆抛物面与抛物柱面围成。解：在坐标面上的投影区域为： ；注：积分区域关于平面对称，则若关于是奇函数，则；若关于是偶函数，则。例4计算三重积分，积分区域如图所示。解：积分区域关于面对称，故2对于三重积分除了先作定积分，然后在投影区域上再作二重积分外，在某些情况下也可以采用先二重积分再定积分的积分方式，称为“先二后一”。设空间区域如图所示，则，过点作轴的垂面，与区域的截面为，则 例5计算三重积分， ：。解：如果采用“先一后二”的方法积分，则将投影到平面上，投影区域为：， 积分很难完成 将投影到轴上，则；，平面与椭球的截面为：（），是一个在平面上的椭圆，即：（）二柱坐标系下三重积分的计算1柱坐标系介绍 ，；柱坐标系中的坐标曲面 常数圆柱面常数过轴的半平面 常数平行于坐标面的平面用上述的坐标面构成的曲面网分割空间区域，除去边沿部分外，均有， 在柱面坐标系中，则 设空间区域是型简单区域，在面上的投影区域为：则柱坐标系下的三次积分为： 例1将三重积分化为柱坐标系下的三次积分，其中为介于、之间的圆柱：。解：在坐标面上的投影区域：，且，均有，以及： 注：注意到三对积分限均为常数，因此在上述类似的圆柱形区域上积分时，一般可考虑采用柱面坐标。例2将三重积分化为柱坐标系下的三次积分；由圆柱面与平面、围成；由圆柱面与平面、围成；由椭球面与抛物柱面围成。解：在平面上的投影区域：，对应有，且：， 在平面上的投影区域：，对应有，在柱坐标系下为：，且：， 例3计算三重积分，其中由圆锥面、圆柱面与平面围成。解：在平面上的投影区域：，均有，在柱坐标系下为：，且： 三球面坐标系下三重积分的计算1球面坐标系介绍 球坐标系下的坐标面 常数中心在原点的球面，； 常数过轴的半平面，； 常数原点为顶点的圆锥面，；球坐标与直角坐标的关系：， 用球面坐标系中的曲面网分割空间区域，除去边缘部分外，均有，则 表明，则球坐标系下的三重积分为 例4将球坐标系下积分化为三次积分。：；：由与围成。解： ： ： 注：注意到以上两个积分的三对积分限均为常数，故如上的区域（球体、上球下锥体）上积分时，可以考虑采用球坐标。例5将三重积分在由与所围成的区域上化为球坐标系下的三次积分。解：由可解得，表明交线位于平面上，投影驻面为，由此确定；则，其中：，；：，； 例6求图中的体积。解：其中球面方程在球坐标系下可以表示为，则： 注：常用球面的球坐标方程：；问题：若此体积用柱坐标应应如何计算？练习题：化为球坐标系下的三次积分，是对应的的部分；解： ，满足、；解： 选择适当的坐标系计算三重积分，其中由旋转抛物面与平面围成。解：根据被积函数和积分区域，用柱坐标计算： 将化为三种不同的坐标系下的三次积分，并计算积分值，其中由锥面与旋转抛物面围成。解：在坐标面上的投影区域为：，则6、重积分的应用一几何应用1体积以为底，为顶的曲顶柱体的体积：空间区域的体积：2面积平面区域的面积：空间曲面的面积：设空间曲面方程为：，；函数的一阶偏导数在上连续，求此曲面的面积。将曲面任意分割为个小的曲面：，.,其中既表示第张小曲面又表示第张小曲面的面积，则；设第张小曲面在坐标面上的投影区域， 对应的曲面上的点为，其中；过作曲面的切平面，当时，小片切平面的面积记为，则； 设表示曲面上点处的切平面的法向量， 表示该法向量与轴正方向的夹角，则；应为曲面方程，故法向量 由所考虑小片曲面的任意性，通常写作空间曲面的面积微元，记作，则；记的直径，则。根据二重积分的定义，有例1求圆柱面将球面割下部分（）的面积。解：由对称性只考虑：，：； 例2求圆柱面，所围成的立体的表面积。解：由对称性，只考虑，：； 例3已知A球的半径为R，B球的半径为h且球心在A球的表面上。求夹在A球内部的B球的部分面积（）。解：建立坐标系A：；B：；则两球面的交线在面的投影区域为：，在A球内部的B球面为：，则A球内部的B球的表面积 二物理应用（以下涉及的密度函数均为连续函数）1质量问题平面薄片的质量设该薄片占有平面区域，面密度函数为，则质量微元为：，故；空间物体的质量 设该物体占有空间区域，体密度函数为，则质量微元为：，故；例4设一物体占有的空间区域由曲面，围成，密度为，求此物体的质量。解：2重心问题平面薄片的重心设在平面上有个离散的质点，质量为，已知其重心坐标为： ，；其中质点系相对于轴的静力矩，质点系相对于轴的静力矩，质点系的总质量，即，；设薄片占有平面区域，面密度函数为，相对于轴的静力矩微元为，则，同理相对于轴的静力矩，则重心坐