高等气体动力学第5章－无黏可压缩流体多维定常绝热流的一般特征

高等气体动力学2008.2.19第五章 无黏可压缩流体多维定常绝热流的一般特征*5 无黏可压缩流体多维定常绝热流的一般特征（6学时）5.1 控制方程组5.2 环量、转动速度和涡量5.3 开尔文定理、克罗科定理与赫姆霍兹定理5.4 无黏可压缩流体定常绝热流的热力学5.5 流函数方程和势函数方程51控制方程组一、无黏可压缩流体多维定常绝热流的控制方程组p 在定常、无黏、绝热以及不考虑彻体力的情况下，第四章给出的欧拉方程组(4-1-30)可以写成(4-1-30)因为这种流动是可逆的，所以熵方程为(5-1-1)为了使方程组封闭，需要补充如下形式的状态方程(5-1-2)(5-1-3)p 注意，在定常情况下物质导数的形式为(5-1-4)所以，上述方程还可以写成(5-1-5)p 在笛卡尔直角坐标系下，方程组写成分量形式，有(5-1-6)二、几个概念1. 迹线p 迹线（Pathline）定义为流体微团运动的轨迹线；p 显然，每一个流体微团都有一个运动轨迹，亦即有一条迹线。2. 流线p 流线（Streamline）是指某时刻t时，连接流场中各点流体微团运动方向的光滑曲线；p 根据流线的定义，在流线上每一点的切线方向与流经该点的流体微团的速度方向相同，或者说流线与流体微团的速度方向相切；p 由于流体微团在时刻t时的流动方向只能有一个，所以一般情况下流线彼此不会相交；p 在流线的法向上流体微团没有速度，即流体微团不能跨越流线流动；p 将某时刻流场中所有点的流线全部画出来，可以得到一个流线集合，即流线族，称为流线谱或简称为流谱。流谱从整体上反映了某时刻流场中的流动情况流线密集的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。p 根据流线上任一点的切线方向与流经该点的流体微团的速度方向相切这一特点，可以推导出流线的微分方程。设为流线上某点的一个微元线段，它应与该点的速度矢量相切，即(5-1-7)展开后有(5-1-8)或， ， (5-1-9)以上两式就是描述流线的微分方程。p 对非定常流动，流线随时间而变，它与迹线一般是不重合的；对定常流动，流线的形状与时间无关，且必然与迹线重合。3. 流体线与流管p 流体线是通过一组可分辨的流体微团的线。p 对封闭的流体线C，某时刻通过该曲线上各点的流线所构成的管状表面称为流管（Stream Tube），即流管的母线是流线；p 横截面尺寸无限小的流管称为微元流管或流丝。52环量、转动速度和涡量一、环量p 在流场中画一封闭曲线C，其微弧元为，方向与曲线相切。定义环绕封闭曲线C的环量为，即(5-2-1)积分方向为逆时针方向。p 根据斯托克斯定理，可以将线积分改写成面积分，即(5-2-2)式中，A是封闭曲线C围成的面积。p 对于二维流动，有， ， ， 可得环量为(5-2-3)或(5-2-4)当A0时，有(5-2-5)二、转动速度p 流场中某点处流体的转动速度定义为通过该点的两条互相垂直的流体线的瞬时平均角速度。p 设t时刻流场中某点O，OA和OB为通过O点的两条互相垂直的流体线；在t+dt时刻，OA和OB相对于z轴分别转动了d、-d角度，则由定义，绕z轴的转动速度为(5-2-6)如图示。p 由图知故有(5-2-7)p 同理，可导出转动速度的另外两个分量(5-2-8)(5-2-9)于是，转动速度矢量写成(5-2-10)p 对于二维流动，对比式(5-2-5)和(5-2-7)知，流体转动速度等于单位面积环量的一半，即(5-2-11)p 无旋流动转动速度为零；有旋流动转动速度不为零。p 注意：转动速度是按两条流体线定义的，所以转动速度是两条线旋转的综合结果。如图示，图a中的两条线均有转动，但其平均转动为零无净转动无旋流； 图b中的两条线均有转动，而平均转动不为零有净转动有旋流。三、涡量和涡管p 涡量定义为速度的旋度(5-2-12)或(5-2-13)p 二维时，涡量是标量，即(5-2-14)p 仿照流线的定义，可以定义涡线：它是流体中与涡量矢量处处相切的线，如图示。p 与流线类似的，涡线的方程为(5-2-15)p 同理，可以定义涡管和涡丝，如图示。p 单位面积环量、转动速度和涡量三个参数之间不是独立的，已知一个可以确定其它两个。四、自由涡p 定义：流体速度大小与离开涡心的距离成反比的环流，即，K=常数(5-2-16)图10.11 自由涡的流动特征（速度分布，流线图形）如图示。可见，在中心点即涡心，上式没有定义。p 在真实自由涡中，涡心附近通常是低速流动区，并具有强迫涡的特点。p 在远离涡心的区域，自由涡是真实流体自由涡的很好近似。p 自由涡是澡盆排水涡、旋转固体火箭发动机内燃装药通道中的流动以及龙卷风的合理近似。p 对上图中的封闭流线（包含涡心），其环量为(5-2-17)所以，对包含涡心的自由涡，它是有旋流动。p 在远离涡心且不包含涡心处，如图示的任意封闭曲线C，其环量为(5-2-18)转动速度为(5-2-19)这说明，除涡心以外，自由涡是无旋流。五、强迫涡p 定义：流场中任一点流体速度的大小正比于该点离开涡心距离的环流，即，=常数旋转角速度(5-2-20)图10.13 强迫涡的流动特征（速度分布，流线图形）p 强迫涡的实例：旋转的端燃固体火箭发动机中的流动、自由涡涡心附近的流动。p 取图中半径为r的封闭流线，环量为(5-2-21)转动速度为(5-2-22)这说明，强迫涡是有旋流，并且可以像固体一样旋转，所以有时称固体涡。六、用旋转速度表示动量方程p 利用如下的矢量恒等式可以将式(5-1-5)中的动量方程改写成(5-2-23)p 该方程表示几个空间矢量的和，如图示。p 将方程在任一矢量方向投影，可以得到标量方程(5-2-24)将转动速度表达式(5-2-7)(5-2-9)代入得(5-2-25)七、沿流线的定常流动量方程p 在(5-2-25)式中，如果矢量的方向为流线的切线方向，将流线方程(5-1-9)代入上式，则方程左端为零，于是可得到沿流线成立的方程(5-2-26)这与一维流的伯努利方程是相同的，它表明，对于多维流动，伯努利方程沿着流线仍是成立的。p 积分上式可以得，沿流线(5-2-27)式中，常数称为伯努利常数。一般地，不同流线有不同的伯努利常数。如果所有流线均起源于同一个均匀流动，则伯努利常数在全流场都是同一个数值。八、定常无旋流的动量方程p 对于定常无旋流动，旋转速度为零，即 (5-2-28)代入式(5-2-25)，则方程左端为零，该方程变成(5-2-29)这仍然是伯努利方程，但与沿流线成立的伯努利方程(5-2-26)不同的是，矢量的方向为任意方向，所以该方程适用于流场的任何地方，不要求沿流线使用。积分后，得，全流场(5-2-30)即伯努利常数在全流场都是同一个数值。p 如果所有流线均起源于同一个均匀流动（即无旋流），则流场将是处处无旋的。p 正如在第一章指出的，如果从一根流线到另一根流线熵有变化，则流动是有旋的。在非均匀流动中，激波强度是变化的，就会引起熵的变化，导致有旋。53开尔文定理、克罗科定理与赫姆霍兹定理一、开尔文定理p 如前所述，根据定义，流体线是连接确定流体微团的线。p 如图示，设有一条封闭流体线C，它随流体的运动而运动，并且由于流动是连续的，运动后流体线C仍然是封闭曲线。p 考虑绕封闭流体线C的环量随时间的变化，即(5-3-1)上式右端可以写成(5-3-2)p 分别处理上式右端的两项：第一项是由流体线C上各点流体微团的速度变化引起的。将式(5-1-5)中的动量方程代入可得第一项为(5-3-2a)注意：压强梯度在上的投影是沿曲线C切线方向的方向导数。该方向导数与dl的乘积dp就是p沿曲线C切线方向的变化如果密度是常数或者压强的函数=Const 或 =(p)则上式就是一个全微分，对封闭曲线的积分值为零，即(5-3-2b)第二项是由于流体线的位置变化引起的，可以改写成(5-3-2c)注意：流体线某点位置随时间的变化就是速度矢量。上式是全微分，故封闭曲线上的积分值为零。p 综上所述，得(5-3-3)积分得(5-3-4)这就是开尔文定理：即绕封闭流体线的环量不随时间变化。p 开尔文定理的意义：绕封闭流体线的环量不随时间变化。如果流动开始时是无旋的，则此无旋流动将无限制地持续下去；如果流动开始时是有旋的，则此后的流动也将是有旋的，且其强度不会变化。p 密度是常数或仅为压强的函数的流体称为正压流体（如不可压流=Const、气体等容过程=Const、气体等温过程p=RT、等熵过程p/=Const、多方过程p/n=Const等）。p 开尔文定理适用于正压流体的无黏流；当作用在流体上的外力有势（即可以从势函数导出）时，开尔文定理也适用。二、克罗科定理p 在第一章曾给出了一个热力学普遍关系式，即(1-2-26)这个方程对可逆过程和不可逆过程都是适用的，并且也可以应用于笛卡尔坐标系的任一方向，即有(5-3-5)将三个方程矢量相加，有(5-3-6)p 根据滞止焓的定义，有求其梯度，可得(5-3-7)p 将热力学普遍关系(5-3-6)式和滞止焓定义(5-3-7)式代入无黏绝热流的动量方程(5-2-23)，并利用转动速度和涡量的定义，可得(5-3-8)这就是适用于流场中各点的克罗科定理：速度与涡量的矢量积等于总焓梯度与熵梯度（乘以温度）之差。p 上式左端是一个垂直于速度矢量的矢量，如果总焓和熵的梯度不为零，则它们的矢量差垂直于速度矢量这两个梯度的方向一定垂直于流线。p 对无外功、无彻体力的定常绝热无黏流动，总焓和熵沿流线保持常数，但总焓和熵在垂直于流线的方向上可以有变化，使得有旋流。p 如果总焓和熵存在这种不为零的梯度，那么它们必定是在初始流中就存在的，并且是有旋流动。根据开尔文定理，该流动将一直保持有旋，其强度不会发生变化。p 将速度矢量与(5-3-8)式点乘，可以得到沿流线成立的克罗科定理，即(5-3-9)上式左端等于零，右端则是定常流动时的物质导数，故有(5-3-10)p 于是，当沿着流线没有耗散效应，因而熵不变时，有 (5-3-11)积分得，沿流线(5-3-12)这就是无外功、无彻体力一维定常绝热无黏流能量方程在多维流中的推广。p 克罗科定理的几种特殊情况 定常均能流：沿所有流线总焓具有同一个常数值，即由式(5-3-8)得(5-3-13)所以，如果熵有垂直于流线的梯度，均能流就是有旋流。例如，均匀无旋流中弓形激波后面的流动就是有旋均能流动。 定常均熵流：沿所有流线熵具有同一个常数值。即由式(5-3-8)得(5-3-14)上式表明，如果总焓有垂直于流线的梯度，均熵流是有旋流。在大多数流动中，总焓梯度的产生伴随着熵梯度的产生，所以这种定常均熵流出现的可能性很小，实际意义不大。 均熵均能流：即，由式(5-3-8)得 (5-3-15)式中，是速度矢量与转动速度矢量之间的夹角。上式可能对应三种情况：V=0即不存在流动无实际意义；=0无旋流动；=0速度矢量与转动速度矢量相互平行。三、赫姆霍兹定理p 取图示的一段涡管，其全部表面积为A=A1+A2+A3。考虑涡量在面积A上的积分，即根据高斯散度定理，有式中，是封闭曲面A围成的体积。p 根据场论中的结论：旋度的散度为零，所以上式变成将上式左端展开，有根据涡线定义，在侧表面A3上，涡量与涡管的表面相切，点积为零。所以，上式变成或(5-3-16)这就是赫姆霍兹定理，其含义是：通过涡管的涡量是常数。p 根据赫姆霍兹定理可以推论：一根涡管在流体中不能有终端，它或者是一条封闭曲线（如烟圈），或者终止于固体边界。p 从上述推导还可以看出，通过涡管的涡量与通过流管的质量流率是类似的。54无黏可压缩流体定常绝热流的热力学p 定常、无黏、绝热以及不考虑彻体力的能量方程由式(5-1-5)给出，即(5-4-1)所以，沿流线(5-4-2)p 如前所述，这是无外功、无彻体力一维定常绝热无黏流能量方程在多维流中的推广；p 该能量方程表明，如果流动起源于总焓处处为同一常数的均匀流动区域，则由于总焓沿流线不变，所以总焓在全流场中都是同一个常数，这就是均能流动。一、状态方程p 为了求解流动，必须补充状态方程，如前面已给出的式(5-1-2)和(5-1-3)p 对理想气体，热状态方程和量热状态方程的形式为(5-4-3)(5-4-4)1. 等熵流p 对于无耗散的流动，熵沿流线为常数，即等熵流，有 ，沿流线(5-4-5)如果是理想气体，则上式就是等熵关系式，即，沿流线(5-4-6)p 同理，声速也是一个状态参数，可以写成故有，沿流线(5-4-7)p 根据伯努利方程(5-2-27)，考虑到等熵关系式(5-4-5)，有，沿流线(5-4-8)于是，声速关系式(5-4-7)也可以改写成，沿流线(5-4-9)2. 均熵流p 对于均熵流，式(5-4-5)、(5-4-6)和(5-4-7)可以改写成，全流场(5-4-10)，全流场(5-4-11)，全流场(5-4-12)由伯努利方程(5-2-30)得，全流场(5-4-13)以及声速，全流场(5-4-14)例如，一维定常流的能量方程：，全流场二、声速方程p 声速定义为(5-4-15)p 对于等熵流，上式可以写成全微分，沿流线(5-4-16)p 将上式改写成物质导数的形式，有，沿流线(5-4-17)p 于是，对等熵流动，可以用上式代替能量方程，从而消去焓的导数项。p 利用声速方程还可以将连续方程改造成不含密度导数的形式。密度导数只出现在式(5-1-5)中的连续方程，将其写成将式(5-4-17)代入上式，得，沿流线(5-4-18)55势函数方程和流函数方程一、速度势函数方程p 对于无旋流动，开尔文定理表明，封闭曲线上的环量为零，即(5-5-1)p 根据全微分的性质，上式意味着被积函数是某函数的全微分，即(5-5-2)称为速度势函数。p 在笛卡尔直角坐标系中，有于是有(5-5-3)p 用梯度表示则有(5-5-4)p 对于定常无旋流动，动量方程(5-2-23)变成用速度矢量点乘上式，有(5-5-5)p 不含密度导数的连续方程(5-4-18)，对定常流变成(5-5-6)p 联立上述两式，消去压强项，得(5-5-7)在笛卡尔坐标系中展开上式，有(5-5-8)根据速度势函数的定义，上式可以写成(5-5-9)这就是定常无旋流速度势函数的控制方程，可以看出，已知速度势函数可以求出速度矢量，利用能量方程、状态方程、以及等熵方程等可以将所有流动参数求解出来。p 定常无旋流速度势函数的控制方程(5-5-9)是一个拟线性方程，它在超声速流、亚声速流时具有不同的类型，特别是跨声速流动，流动类型还有变化，其求解相当困难。p 对于二维平面流动，上述方程可以简化为(5-5-10)(5-5-11)p 对于不可压三维流动，a=，速度势函数的控制方程简化为(5-5-12)这是拉普拉斯方程。p 注意：只有无旋流动才可能存在速度势函数。二、流函数方程p 对于二维流动，连续方程为(5-5-13)据此可以定义一个流函数，它满足(5-5-14)p 对于二维定常无旋流动，联立无旋条件、动量方程(5-2-23)和声速方程(5-4-15)，可以得到流函数的方程(5-5-15)p 流函数的物理意义如图示，通过两条流线上A和B两点之间的质量流率（z方向宽度为一个单位）