最短路径问题-几何题技巧.ppt

最短路径问题 如图 要在燃气管道上修建一个泵站 分别向 两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 所以泵站建在点可使输气管线最短 问题相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的地出发 到一条笔直的河边饮马 然后到地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 追问这是一个实际问题 你打算首先做什么 将 两地抽象为两个点 将河抽象为一条直线 探索新知 从地出发 到河边饮马 然后到地 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与 连接起来的两条线段的长度之和 就是从地到饮马地点 再回到地的路程之和 探索新知 追问你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 追问对于问题 如何将点 移 到的另一侧 处 满足直线上的任意一点 都保持与 的长度相等 探索新知 问题如图 点 在直线的同侧 点是直线上的一个动点 当点在的什么位置时 与的和最小 追问你能利用轴对称的有关知识 找到上问中符合条件的点 吗 探索新知 问题如图 点 在直线的同侧 点是直线上的一个动点 当点在的什么位置时 与的和最小 作法 作点关于直线的对称点 连接 与直线相交于点 则点即为所求 探索新知 问题如图 点 在直线的同侧 点是直线上的一个动点 当点在的什么位置时 与的和最小 证明 如图 在直线上任取一点 与点不重合 连接 由轴对称的性质知 探索新知 问题你能用所学的知识证明最短吗 若直线上任意一点 与点不重合 与 两点的距离和都大于 就说明最小 探索新知 追问证明最短时 为什么要在直线上任取一点 与点不重合 证明 这里的 的作用是什么 探索新知 追问回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 例 如图 直线表示一条铁路 两点表示铁路旁的两个村庄 现在要在铁路旁建一车站 使两个村到车站的距离之和最短 请确定的位置 并说明理由 一条公路的一侧有两个村庄 现要在公路边修一个供电站向两地供电 当供电站修在何处时所拉的电线最短 如图 是矩形的台球桌面 有两球分别位于 两点的位置 试问怎样撞击球 才能使球先碰撞台边反弹后再击中球 试一试 解 作点关于的对称点 连结 交于点则沿撞击黑球 必沿反弹击中白球 在锐角 内有一定点 试在上各确定一点 使 的周长最小 如图 为了做好国庆期间的交通安全工作 某警察执勤小队从出发 先到公路上设卡检查 在到公路上设卡检查 最后再到达地执行任务 他们如何走才能使总路程最短 运用新知 练习如图 一个旅游船从大桥的处前往山脚下的处接游客 然后将游客送往河岸上 再返回处 请画出旅游船的最短路径 运用新知 基本思路 由于两点之间线段最短 所以首先可连接 线段为旅游船最短路径中的必经线路 将河岸抽象为一条直线 这样问题就转化为 点 在直线的同侧 如何在上找到一点 使与的和最小 如果另一侧放着一些小木棍 小明先去捡球 还要跑到另一侧去取木棍 则小明又应按怎样的路线跑 去捡哪个位置的球 小木棍 才能最快跑到目的地处 路线 小明 如图 为马厩 为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边给马喝水 然后回到帐篷 请你帮助他确定这一天的最短路线 如果我们把台球桌做成等边三角形的形状 那么从AC中点D处发