冲压变形基础理论.doc

冲压变形基础理论目 录3.1概述13.2 应力应变基本概念13.2.1 点的应力状态13.2.2 点应变状态33.3 屈服准则43.3.1 各向同性屈服准则43.3.2 各向异性屈服准则73.4 材料模型简介83.5 应力应变关系103.5.1 塑性应力应变关系与屈服准则的相关性103.5.2 各向同性流动理论103.5.3 各向异性流动理论113.5.4 面内同性厚向异性薄板的平面应力问题163.6 塑性变形的基本方程223.7 板材失稳理论223.7.1 单向拉伸失稳理论233.7.1.1 载荷失稳233.7.1.2 变形失稳233.7.2 双向拉伸失稳理论253.7.2.1 基本方程253.7.2.2 平板双拉的载荷失稳263.7.2.3 平板双拉的集中性失稳273.7.3 理论成形极限图283.8 轴对称薄板自由胀形解析303.8.1 轴对称薄板自由胀形的几何和力学特点303.8.2 轴对称薄板自由胀形解析的理论基础313.8.3 主应力之比与胀形轮廓之间的关系333.8.4 薄板自由胀形的力学解析353.9 圆锥形件拉深过程的能量法解析403.9.1 轴对称曲面件拉深过程的力学模型403.9.2 接触摩擦的简化处理423.9.3 拉深力行程曲线的能量法解析433.10 板材拉深起皱失稳493.10.1 法兰起皱失稳493.10.2 圆锥形件拉深的侧壁起皱失稳65773.1概述塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法，外力是塑性加工的外因。在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何学和物理学的角度来考虑问题。静力学角度是从变形体中质点的应力分析出发，根据静力平衡条件到处应力平衡微分方程。几何学角度是根据变形体的连续性和均匀性假设，用几何的方法导出小变形几何方程。物理学角度是根据实验和基本假设导出变形体的应力应变的关系式，即本构方程。还要建立变形体由弹性进入塑性的力学条件，即屈服准则。在研究板材成形时，不可能用各向同性塑性理论加以描述。关于每个物质单元体保持各向同性的假定只是一种近似，随着变形的发展这种近似要变得不好了。各个晶粒在最大拉应变的方向上要伸长，因而试件的组织呈纤维状。于是，滑移过程的后果就使单晶体在变形时发生转动，使它们趋向于一定的方位，这个方位表征着特定的应变路径。例如，当六角形的单晶体受拉力而伸长时，底平面逐渐转向平行于加载方向的位置。同样，多晶体的颗粒有一种转向某一极限方位的趋势（由于晶粒间的相互相束，不一定等同于单晶体的方位）；因此，在两块有润滑的平板间受挤压的面心立方金属中，其面对角线将趋向与压缩方向平行。通过这样的机构，开始时由于随机的晶粒方位而显示各向同性的金属，在塑性变形过程中变成各向异性。因此，各晶粒间方位的分布(例如，可按百分比作为量度的基础)，有一个或几个最大值。如果这样的一个最大值是很明确的，我们常称之为择优方位。如果单个晶体的方位不是随机分布，那末，屈服应力和宏观应力应变关系将随着方向而改变。例如，经过强烈冷轧过的黄铜，正交于轧制方向的拉伸屈服应力要比平行于轧制方向者大10。在经过一些精密的机械和热处理工序，使得多晶体最终产生一种接近于单晶体的再结晶结构（例如，可以通过辊轧铜片，使立方轴为平行于铜片边缘的品粒，占据不同的份量），从而得到更大的变化。随着有限元数值分析技术的不断进步以及计算机内存和速度的不断提高，用数值模拟的方法求解复杂的塑性成形问题已经成为可能。一些商业软件（如ANSYS等）已将经典的R. Hill各向异性塑性理论纳入其求解器之中，为研究各向异性性质对板材成形过程的影响，获得更精确的板材成形模拟结果提供了有效的手段。因此，了解、掌握各向异性塑性理论又显现出了重要的实际应用价值；发展、完善各向异性塑性理论又显现出了重要的理论意义。3.2 应力应变基本概念3.2.1 点的应力状态1.应力状态的表达方式在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用的力，叫做应力。通过一点的微分面，有无限多个，在不同微分面的法线方向应力不同，为了确定一点的应力状态，需要任意三个相互垂直的微分面的应力表示一点的应力状态。三个微分面的应力需要九个分量去描述，根据切应力互等定理，点的应力状态需要六个独立的分量去描述。这样一点的应力状态的九个分量构成了张量，张量存在不变量，张量含有三个主方向和三个主值。为了研究一点的P处的应力状态，需要三个相互垂直的微分面，用三个微分面上的应力表示点P的应力状态，这一点P的应力状态如图3-1所示。 图3-1 三个微分面上的应力分布2.主应力如果表示一点的应力状态的九个应力分量已知，则过该点的斜微分面上的正应力和切应力都将随外法线的方向余弦、的变化而变化，任意斜切微分面的应力如图3-2所示。图3-2 任意斜切微分面的应力当、在某一组合情况下，斜微分面上的全应力和正应力重合，而切应力。这种切应力为零的微分面称为主平面、主平面上的正应力叫做主应力。主平面的法线方向，也就是主应力方向，叫做应力主方向或应力主轴。3.主剪应力与分析斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位变化而改变。切应力达到极值的平面称为主切应力平面，其面上作用的切应力称为主切应力。在主轴坐标系下，主切应力平面如图3-3所示。 (a) (b) (c)图3-3 主切应力平面4.应力强度取八面体切应力绝对值的倍所得之参量称为等效应力，即应力强度。 （3-1）5.应力张量变换关系在一定的外力条件下，受力物体内任意点的应力状态已被确定，如果取不同的坐标系，则表示该点的应力状态的九个应力分量将有不同的数值，而该点的应力状态并没有变化。因此，在不同的坐标系中的应力分量之间应该存在下式的关系。 （；） （3-2）因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量。3.2.2 点应变状态1.微元的应变状态为了描述一点的应变状态，在空间选取三个相互垂直的线素，线素的伸长或缩短表示正应变，线素间夹角的变化表示切应变，根据质点三个相互垂直线素方向上的九个应变分量，可以确定过该点应任意方向的应变分量，这点的应变状态就确定了，其详细确定方法与一点的应力状态相同。2.主应变过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。3.主剪应变与主应变方向成45度的方向上存在三对各自相互垂直的线元，它们的切应变有极值，称之为主切应变。4.等效应变取八面体切应变绝对值的倍所得之参量称为等效应变，即应变强度。 （3-3）5.应变张量形式简介一点的应变状态可以用过该点三个相互正交方向上的九个应变分量来表示。如果当坐标轴旋转后在新坐标系下的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合数学上张量的定义，即下面的线性关系 （，=1,2,3；，=1,2,3） （3-4）所以一点的应变状态是张量，且为二阶张量。3.3 屈服准则 3.3.1 各向同性屈服准则屈服准则是有关金属弹性极限状态的一种假说。金属由弹性变形转变为塑性变形，主要取决于以下两方面的因素。1）在一定的变形条件（变形温度与变形速度）下金属的物理机械性质；2）金属所处的应力状态。第一种因素是转变的根据，第二种因素是转变的条件。对于一定的材料，在一定的变形温度与变形速度下，屈服完全取决于金属所处的应力状态，当应力分量的组合满足某一函数关系 （3-5） 时，应力状态所构成的外部条件，与金属屈服时的内在因素恰好相符，金属即从弹性变形转变为塑性变形。方程（3-6）称为屈服条件或屈服准则，而其所代表的空间曲面为屈服表面。上述规律的探索，除了从金属的微观世界寻求物理上的根据外，主要依靠实验和在实验基础上的逻辑推断，因而产生了有关屈服准则的各种假说，然而经过实践考验，获得公认的只有两种，即H.Tresca准则最大剪应力理论和R.Mises准则常数形变能量理论。1.Tresca准则最大剪应力理论1864年，Tresca在金属的挤压试验中，观察到金属塑性流动的痕迹与最大剪应力的方向一致，提出了最大剪应力理论。1870年Saint-Venant将此理论作了进一步发展，提出了这一理论的数学表达方法。最大剪应力理论可以表述如下：在一定的变形条件下，金属的塑性变形只有当物体内的最大剪应力达到一定值时才有可能发生，这个数值视物体的种类而定，与应力状态无关。假设任一负责应力状态，如果主应力的大小次序尚未确定，则微元体内可能发生的最大剪应力不外是 （3-6）在这三对主剪应力中，无论何者最先达到某一定值，材料即开始屈服。但是，因为它们的代数和必须为零，所以同时达到此某一定值的主剪应力至多只能有两个（符号相反，绝对值相等），而第三个主剪应力必定为零。 又因为屈服准则与应力状态无关，确定此定值，可以利用一种最简单的应力状态，例如，通过单向拉伸。单向拉伸时，拉应力（为材料的单向拉伸屈服应力），金属即开始屈服。这时，最大剪应力 （3-7）因此，在复杂应力状态下，只要三对主剪应力中，任何一个、至多两个的数值等于，金属即开始屈服，于是最大剪应力理论乃可用数学公式表达如下 （3-8）用主应力表示，可以写作 （3-9） 最大剪应力理论虽然可以很简单地表述金属的屈服条件，但在实际问题中，应力分量是未知的，难以确切判断其大小次序，因而也就难以从以上三式中作出正确的抉择，给实际应用带来了困难。能否用一个统一的连续函数将以上三式加以概括？当然，这种概括是否正确，最终还必须通过实践的检验。2.米塞斯准则1913年，Mises从纯粹数学的观点出发，对Tresca准则提出了一个修正。他以主剪应力为坐标轴，将式（3-9）表示为一个正六面体，此六面体各棱边边长为，其重心恰为坐标原点，如图3-4所示。 图3-4 主剪应力等于常数的几何图形因为三个主剪应力之和必须满足，该式代表通过原点与三个坐标轴成等倾角的平面。此平面与正六面体的交线为一正六边形，顶点A、B、C、D、E、F恰为正六边形中六条棱边的中点（图3-4）。满足Tresca准则的应力状态，其三个主剪应力都在这六条边上。换言之，此六边形即代表Tresca准则的图形。极易看出：此正六边形的边长为。Mises提出：为了数学运算的方便，可用一连续曲线来代替这一正六边形。此连续曲线即正六边形的外接圆，其方程为 (3-10)式（3-11）中，第一式代表圆心为原点，半径为的圆球，第二式为通过原点与坐标轴成等倾角的平面，式（3-11）为它们的交线。将主剪应力用主应力表示，式（3-11）变为 (3-11)Mises对Tresca准则作出以上修正的同时指出：当前（指1913年以前）对Tresca准则的试验验证，还只限于正六边形的六个角点，其余应力状态究竟如何尚待验证。虽然如此，他仍然认为Tresca准则是准确的而他的修正则是近似的。后来许多人的试验却证明：Mises准则更加接近韧性材料的实际情况。1924年，H.Hencky给出了Mises准则的物理意义：材料开始屈服时所吸收的弹性形变能为一常数。这就是所谓常数形变能量理论。即常数1937年，A. Nadai对Mises准则作了另一解释：材料开始屈服时其八面体剪应力为一常数。即常数Mises准则的另一常用表述形式为：材料进入屈服时，等效应力等于单向拉伸屈服应力。即 (3-12)这就是.提出的应力强度一定理论。这一理论，将复杂的应力状态与单向拉伸这种简单的应力状态直接联系了起来。等效应力既可作为各种应力状态的一种可比指标，又可将其理解为材料在复杂应力状态下塑性变形的变形抵抗力。这就给我们研究复杂应力状态下，应力与应变之间的关系提供了很大的便利。3.3.2 各向异性屈服准则为简单起见，只考虑每一点上具有三个互相垂直的对称平面的各向异性体；这些平面的交线叫做各向异性体的主轴。在整个试件中，这些轴的方向可能变动；例如，如果一个圆管在内压力下均匀膨胀而发展出各向异性，那么，三根主轴必须位在经向、周向和轴向上。从冷轧薄板中心处切出的金属条则是一个方向均匀的各向异性体；它和预期的一样，三根主轴是位于轧制方向，薄板平面内的横断面方向以及垂直于薄板平面的方向，即厚度方向。在一给定的单元体中的主轴，在继续变形的过程中亦会产生相对于单元体本身的变动，如在简单剪切的情形。 考虑某一具有三个相互垂直的各向异性状态主轴的特殊单元体，并取各向异性主轴为直角坐标轴。对各向同性材料来说，Mises准则是能够近似地描述屈服的。因此，对各向异性材科来说，最简单的屈服准则应当在各向异性程度趋于零时归转为Mises准则。因此，如果假定屈服准则是应力分量的二次式，则必须有以下形式： (3-13)其中F，G，H，L，M，N是瞬时各向异性状态的特征参量。因为，正如各向同性塑性理论一样，假定没有Bauschinger效应，所以不包含一次项。由于对称的要求，任何剪应力出现为线性的二次项也都被去除。最后，如果假定迭加静水应力不会影响屈服，则只有正应力分量的差才会出现。应当注意，只有当各向异性主轴是参考坐标轴时，屈服准则才具有这种形式；否则，此形式要改变，其改变方式可以从转换应力分量得到。 如果X，Y，Z是在各向异性的主方向上的单向拉伸屈服应力，则不难证明 (3-14)显然，F，G，H之中只有一个可以为负，并且只有当各屈服应力相差很大时，这才有可能。同时，当而且只有这个时候，才有，此外，还有两个类似的不等式。如果R，S，T是相对于各向异性主轴的剪切屈服应力，那么 (3-15)由此可见，L，M，N是正的。 上述就是英国学者R.Hill所给出的各向异性屈服准则的一般形式。要完全描述个单元体中的各向异性状态，就需要知道各主轴的方位以及六个互相独立的屈服应力X，Y，Z，R，S，T的值。因为这一单元体以前是各向同性的，因此必须把屈服应力看成是机械处理和热处理的函数；般说来，它们还将随变形的继续发展而变化。迄今还不能定量地把屈服应力和微观结构，例如和择优方位的程度联系起来，因此必须假定它们已由实验决定。3.4 材料模型简介在复杂应力状态下材料的本构关系可归结为函数的关系或 (3-16)这种函数关系与材料性质和变形条件有关，而与应力状态无关。可以选择单向应力状态来建立这种函数关系，例如选择单向均匀拉伸、压缩及纯剪切等。这样建立的应力应变关系之间的函数关系是具有普遍意义的。单向均匀拉伸或压缩试验是反应材料力学行为的基本实验。材料开始塑性变形时的应力即为屈服应力。一般材料在进入塑性状态之后，继续变形时会产生强化，这样屈服应力不断变化，不断更新的屈服应力即为后继屈服应力，这样可通过单向试验所记录的后继流动应力应变的规律来获得各种复杂变形条件下的应力应变规律。实验所获得真实应力-应变曲线一般都不是简单的函数关系。在解决实际塑性成形问题时，将试验所得的真实应力-应变曲线表达成一下几种简化形式。1、考虑材料的硬化（1）弹塑性硬化模型图3-5 弹塑性硬化模型（2）刚塑性硬化模型图3-6 刚塑性硬化模型2、不考虑材料的硬化（1）理想弹塑性模型图3-7 理想弹塑性模型（2）理想刚塑性模型图3-8理想刚塑性模型在考虑材料的硬化行为时，对屈服后的曲线可以选择不同的硬化曲线描述，为了便于使用函数描述这段曲线形式，通常可以简化为几种函数形式，如幂指数函数形式，线性硬化曲线，无硬化曲线等。3.5 应力应变关系3.5.1 塑性应力应变关系与屈服准则的相关性一般应力状态下塑性变形的发生、发展，可以理解为一系列弹性极限状态初始屈服曲面与继续屈服曲面（加载或强化曲面）的连续突破。所以，塑性应力应变关系与屈服准则之间必然直接相关。例如，Levy-Mises方程，实际上就包含了Mises屈服准则，是与Mises准则相关联的流动规律。D.Drucker从加工硬化材料加载时必须完成正功（）的前提出发，假定应力增量与应变增量成比例，用严密的数学推导，得出了加工硬化材料与屈服准则（加载函数）相关联的一般性流动规律 (3-17) 式中 塑性应变增量；加载函数（屈服准则）；与应力、应变、变形历史有关的常数因子，由试验确定。式（3-17）的几何意义是明显的。为加载曲面法向的方向数。与成比例，表示应变增量与法向一致或者说与加载曲面垂直。利用式（3-18），可以推得与不同屈服准则相关联的流动规则。为简单起见，下面在主轴坐标下进行讨论。3.5.2 各向同性流动理论假定材料服从Mises准则 (3-18)则有 同理 代入式（3-17）可得 (3-19) 或 不难证明结果即为Levy-Mises方程。如果材料服从Tresca准则十分明显，代入式（3-17）可得 ， (3-20)以上结果表明：与Tresca相关联得流动规律（或塑性应力应变关系），其形式完全不同于与Mises准则相关联的形式。这就意味着每一种屈服准则都有一个与之相适应的流动规律。这一点往往被人们所忽略。在分析计算一些具体问题时，常常将Tresca准则与Levy-Mises流动规律同时应用，这种做法虽然所得结果是可以接受的，但是却没有理论上的根据。由于Tresca准则的线性性质，与之相关联的流动规律形式简单，使用方便，但在屈服曲面的棱角处，塑性应变增量的确定比较复杂，需视具体问题的约束条件而定。3.5.3 各向异性流动理论设各向异性体的各向异性主轴为x、y、z。在同一坐标系中，其应力状态为 ，其中 (3-21)其应变增量为 ， 其中 (3-22)且应变增量与位移增量之间满足如下几何方程 (3-23) 如果材料服从R.Hill的各向异性屈服准则式（3-14），则有代入式（3-17）得 (3-24)注意，是一个恒等式（体积不变条件），并且如果应力反向的话，应变增量也就反向，另外，如果应力主轴和各向异性主轴重合，那么应变增量主轴也和各向异性主轴重合，否则，应力和应变增量主轴一般来说是不重合的。要想用实验来确定各向异性的状态，那就要求在足够大的体积内，各向异性的分布是均匀的，使能在其中的任意方向上切取拉伸试件。于是，如果有一单向拉应力X作用在沿平行与各向异性x主轴所切取的一个长条或圆柱试件上时，其应变增量的比例是可见，在每一横断面方向上的应变是收缩的，除非屈服应力的差是如此之大，以致于G或H有一个是负的。如果，也即如果，则在y方向的收缩是较大的；因此，在屈服应力较大的方向上应变较小。同样，在y和z方向上的拉伸试验给出比值F/H和G/F。在理论可以应用的情形下，在沿着x和y方向切取的拉伸试件上量度应变比值，并借助于方程（3-15）这就是一个决定三个拉伸屈服应力比值的间接方法；如果屈服现象不够鲜明确切，这样做要比直接方法更好。对于薄板材料，这样来决定厚度方向上的屈服应力特别方便。为了确定式（3-24）中的比例系数值，必须设法将它与单向拉伸应力应变曲线联系起来。与各向同性塑性理论的处理方法相仿，对于一般应力状态下的各向异性材料也要定义一个与单向拉伸等效的等效应力和等效应变。等效应力的定义方法如下：一方面，等效应力是一个决定材料塑性流动是否发生的量，所以可以假定加载函数与等效应力之间有以下关系式中p、q均为常数，用以下方法确定。从另一方面看，等效应力又可作为一个可比指标，将一般应力状态等效地简化为单向拉伸中的应力。单向拉伸时，设x轴为拉伸方向，则，这时，则因可得显然有， 同理，取，这时，可得，取，这时，可得，可得，所以，等效应力为 (3-25)定义等效应变增量，可从单位体积的塑性功dW出发。一方面塑性功dW为另一方面塑性功dW又可表示为所以，等效应变增量为可以证明 所以其中dc可由式（3-24）按如下方法推得。将式（3-24）的前三式作如下处理将该三式和式（3-24）的后三式等号两边取平方再乘以相应的各向异性参数，使其等号右侧的应力分量平方项与等效应力定义式（3-25）的对应项相同，即将上述六式中的前三式除以后再将该六式相加，并应用式（3-25），可得由此得到等效应变增量的定义式为 (3-26)进而得到的表达式为 (3-27)代入式（3-24）则得 (3-28)当时，各向异性流动理论完全退化为各向同性塑性理论中的Levy-Mises塑性流动方程，即 (3-29)其中 (3-30) (3-31)3.5.4 面内同性厚向异性薄板的平面应力问题1.屈服准则 设为板材的面内单向拉伸屈服应力；为板材的厚度方向单向拉伸屈服应力；为板材的面内剪切屈服应力。因为面内同性，即，所以，另外有，。将平面应力条件和面内同性条件代入式（3-14），得 (3-32) 由式（3-32）和式（3-15）可得令 （3-33）称之为板厚方向性指数，或简称为厚向异性系数。因为，所以 (3-34)在主轴坐标下 (3-35)此外，因为 ，所以 ，即 (3-36) 或 (3-37)该式表明：值虽然由应变比定义引入，但它本质上反映的是面内同性厚向异性板材面内屈服应力与厚向屈服应力的差异。当时，为各向同性材料。又因为 ，所以 ，即 (3-38)可见，对于平面应力状态下的面内同性厚向异性薄板成形问题，不仅屈服准则大大简化，而且四个试验参数X、Y、Z、T减少为两个板材性能参数和，它们均可通过一个单向拉伸试验获得，避免了试验确定和所遇到的困难。当时为各向同性板材，此时，。图3-9 厚向异性对薄板屈服轨迹的影响式（3-34）和（3-35）给出了平面应力条件下面内同性厚向异性薄板的屈服准则。图3-9所示为在主轴坐标下按式（3-35）作出的厚向异性薄板的屈服轨迹椭圆族，明显地表示出了厚向异性对于材料屈服的影响：材料的厚向异性系数愈大，椭圆的长轴愈长，短轴愈短，所以值大的材料不仅具有较强的变薄抵抗力，而且同号应力状态下变形抵抗力大，所以拉深时危险断面的强度高，而异号应力状态下变形抵抗力小，宜于剪切或拉深法兰区的变形。经过变换，式（3-35）也可以用参数角表示为式中为厚向异性参数角，。参数角可用以表示板面内的主应力状态。例如在的象限内：当时，为双向等拉应力状态；当时，为平面变形应力状态；当时，为单向拉伸应力状态；当时，为纯剪应力状态。其余象限可仿此类推。总之，如以AB为分界线，板材的应力状态在AB的右上方，当时，就绝对值而言，拉应力大于压应力，应力状态以拉为主，板材的变形特点是厚度减薄；在AB的右上方，当时，就绝对值而言，拉应力小于压应力，应力状态以压为主，板材的变形特点是厚度增厚。2.应力应变关系 面内同性厚向异性薄板平面应力问题的应力应变关系可采用类似于本章第3节的方法获得。因为，由式（3-32）可知其加载函数为其中，为一材料常数。设厚向异性薄板的加载函数与等效应力之间有以下关系 沿x方向单向拉伸时，则；沿y方向单向拉伸时，则。所以，等效应力可定义为 (3-39) 利用厚向异性薄板的屈服准则，由式（3-17）可得应变增量各分量为 (3-40) 式中可根据等比定理按如下方法推得。由式（3-40）有因为又因为所以因为单位体积内的塑性变形功可以表示为，所以而 因此可得 (3-41) 亦即，将此关系代入式（3-40），得 (3-42) 简单加载时，全量应变与应变增量主轴重合且方向不变，可对上式积分，得到用全量应变表示的应力应变关系如下 (3-43)其中 (3-44) 如果将平面应力条件和面内同性条件以及直接代入式（3-25）和（3-26），则有 (3-39a) (3-41a)将上述条件和关系式代入式（3-28），结果与式（3-42）完全相同。 应特别指出，等效应力和等效应变增量的两种定义式是不同的，式（3-39a）和（3-41a）也不直接等于单向拉伸时的应力和应变增量，各自相差一个关于值某种组合的系数。但是，它们所给出的单位体积塑性变形功增量相同，所以，最终给出的应力应变关系式相同。鉴于此，板材成形塑性理论中均采用式（3-39）至（3-44），可以直接引入单向拉伸时应力应变的关系给出。 利用式（3-42）和式（3-43），可以立即得到以下几点结论： 1） 单向拉伸时，如果取l、b、t分别为拉伸试件的长度方向、宽度方向和厚度方向，则有，。由式（3-43）可知，即厚向异性系数恰为试件宽向与厚向应变之比，这是厚向异性应力应变关系决定的。 2）复杂应力状态时，由式（3-42）可知，因为，所以，值愈大，则愈小，即厚度方向的变形愈小。3）复杂应力状态时，由上式可知，如果，则；如果，则。即如果面内绝对值大的正应力为拉应力，则板坯减薄；如果面内绝对值大的正应力为压应力，则板坯增厚。3.6 塑性变形的基本方程1.几何方程小变形几何方程描述了变形场内质点的位移与质点间线素的变化之间的关系。 （i=1,2,3）2.平衡方程其中 为微元体所受的体力分量。 （i=1,2,3）3.能量方程 凡是物体几何约束所允许的位移就成为可能位移，取其任意微小的变化量就是虚位移，也就是几何上可能位移的变分，根据能量守恒定律，外力在虚位移上所做的功（虚功）必等于物体内部应力在虚应变上所做的功，这就是虚功原理。4.屈服函数5.一般塑性本构关系D.Drucker从加工硬化材料加载时必须完成正功（）的前提出发，假定应力增量与应变增量成比例，得出了加工硬化材料与屈服准则（加载函数）相关联的一般性流动规律3.7 板材失稳理论拉断和起皱是板料成形的两个缺陷，分别称为拉伸失稳和压缩失稳。3.7.1 单向拉伸失稳理论3.7.1.1 载荷失稳 设一理想均匀板条，其原始长度为、原始宽度为、原始厚度为，在拉力作用下产生塑性变形，变形后板条的尺寸为。设材料面内同性，厚向异性，厚向异性系数为，从试件的承载能力看，当后，材料已经作出了最大的贡献，外载荷不可能再有所增加，通常把这种现象称为载荷失稳，如图3-10所示，此时有 (3-45)其中，。载荷失稳条件如下 （3-46)载荷失稳时的应变 (3-47)实际试样理想试样理想试样实际试样图3-10 单向拉伸曲线3.7.1.2 变形失稳加载失稳以前，理想均匀板条和实际板条的变形行为基本一致。但从板条形状变化的角度看，理想均匀板条遵循宏观塑性力学的规律，理应保持均匀变形：沿着板条，轴向伸长与剖面收缩完全一致。而实际板条则不能保持均匀伸长，呈现颈缩，变形局限在颈缩区内发展，曲线段较短。从变形的角度看这也是一种失稳现象。（1）分散性失稳Diffuse necking 加载失稳以后，颈缩在板条的较大一个区间内扩展，称为分散性失稳。根据试验观察，板条单向拉伸时，外载荷的加载失稳点和变形的分散性失稳点基本上同时发生。所以，单向拉伸的分散性失稳条件也是式(3-46)，或写成下式（Swift 失稳理论） (3-48)式(3-48)的涵义可解释如下：因为，所以材料的强化率恰好等于断面的减缩率。故分散性失稳又可称为宽向失稳。 （2）集中性失稳Localized necking 分散性失稳的颈缩扩散发展到一定程度以后，变形集中在某一狭窄条带内（与板厚为同一数量级），发展成为沟槽，称为集中性失稳。集中性失稳开始以后，沟槽加深，外载急剧下降，板条最后分离为二。集中性失稳产生的条件是：材料的强化率与其厚度的减缩率恰好相等。这就是R. Hill 的集中性失稳理论 (3-49)故集中性失稳也可称为厚向失稳。 因为，所以可求得单向拉伸集中颈缩开始发生时的应变为 (3-50)(3)集中颈缩的方位 分散性失稳发展到一定阶段，实际板条的最薄弱环节开始集中在某一狭窄条带内，发展成为沟槽。沟槽的发生、发展主要是依靠板料的局部变薄，而沿沟槽没有长度的变化，即，如图3-11所示，所以有单向拉伸时，因为，所以有，故此可得 (3-51)2y12图3-11 集中颈缩示意图 对于各向同性材料，。材料的单向拉伸试验已证实了该结论。 单向拉伸失稳理论是讨论板材在双向受力而以拉为主的变形方式下变形失稳问题的基础。但是还有许多问题有待深入研究。由于几何尺寸与材料性质不均，实际板条加载失稳时产生分散性颈缩，其起始部位具有随机性。颈缩区内因应变速率与应变比的变化产生的强化效应，可获得颈缩区内亚稳定流动条件，决定了分散颈缩的范围大小与集中颈缩的出现时刻。3.7.2 双向拉伸失稳理论3.7.2.1 基本方程根据R.Hill 的各向异性塑性理论，仅考虑厚向异性时有 (3-52)其中 (3-53) (3-54) ， (3-55) 则 (3-56) (3-57a) (3-57b) (3-57c)由式(3-53)可得 利用式(3-57a、b)除以上式，再用式(3-56)除以上式，注意到，则有 (3-58)另一方面，设材料的应力应变关系符合幂次式 (3-59) 则很显然有下述关系 (3-60)上述各式即为推导失稳应变的基本关系式。3.7.2.2 平板双拉的载荷失稳平板受双向拉伸如图3-12所示。P2P2P1P1abt图3-12平板双拉示意图由应力、应变的定义可知 (3-61) (3-62)1.Dorn 准则 由式(3-61)可推得 (3-63)将式(3-63)待入式(3-58)和式(3-60)，注意到，且在简单加载时，化简则有 (3-64)2.Swift 准则 由式(3-61)和(3-62)可将此准则表达为 (3-65) 将式(3-65)代入式(3-58)和式(3-60)化简可得 (3-66)此乃Swift理论给出的产生分散性失稳时的等效应变。3.7.2.3 平板双拉的集中性失稳双向拉应力状态下的板料，其应变状态也有两种可能，如图3-13所示拉压状态：拉拉状态：o图3-13 双向拉应力对应的应变范围在拉拉应变区不存在应变零线，失去了产生集中性失稳的前提，Hill的集中性失稳理论失效。1967年，波兰学者马辛尼克（Z. Morciniak）、库祖斯基（K. Kuczyski）为了解决准则与实际之间的分歧，提出了一种凹槽假说，文献中称为MK理论，但此理论尚不完善。在拉压应变区，集中性失稳产生的条件是：板面内必须存在一条应变零线，在这种条件下，板料厚度的减薄率（软化因素）恰好可由板料的强化率得到补偿，沟槽乃得以产生、发展。设沟槽的方位是y，类似于式(3-51)的推导则有 (3-67)由式(3-57)可得 (3-68) 显然，平面应变状态时（，或），槽与1轴垂直。如果或，即超过平面应变的双拉状态，式(3-67)无解。 当应力状态在单向拉伸和平面应变之间时（，），板面内有应变零线存在。当板料达到某一变形程度时，材料的强化率与厚度的减薄率恰好相等，沟槽集中性失稳开始发生（Hill理论），此时 (3-69)将式(3-57c)和式(3-60)代入式(3-69)，即可得到产生集中性失稳时的等效应变 (3-70)3.7.3 理论成形极限图简单加载条件下，式(3-57)变为 (3-71a) (3-71b) (3-71c) 在拉拉应变区，采用Swift理论导出的结果。将式(3-66)代入式(3-71a,b)得 (3-72) 在拉压应变区，采用Hill 理论导出的结果。将式(3-70)代入式(3-71a,b)得 (3-73)在上两式中消去则有 (3-74)这是一个直线方程。理论成形极限图如图3-14所示。-0.500.51.00.51.01.5图3-14 理论成形极限图3.8 轴对称薄板自由胀形解析3.8.1 轴对称薄板自由胀形的几何和力学特点图3-15 轴对称薄板自由胀形示意图纵观塑性理论的研究历史，试验研究或实验验证的方法除单向拉伸、单向压缩外，多是采用薄壁管拉扭复合加载和薄板自由胀形，而对于复杂应力状态下的塑性理论问题，必须采用后两种试验方法。如图3-15所示，轴对称薄板自由胀形具有下列明显的特点： 1）由于是轴对称问题，胀形前毛坯又是平板，所以仅用一个径向坐标就可完整地描述质点的几何位置。 2）胀形开始后，平板毛坯变为空间壳体，但由于是轴对称问题，胀形轮廓和质点的运动轨迹均可表示在一个子午剖面内，如图3-13所示。质点的位置可用瞬时坐标和表示，也可用和表示，还可用和表示。后两种均为间接表示。胀形极点高度是时间的单值函数，因此可作为胀形时间的间接度量参数。 3）薄板胀形时表面积的增加靠板厚的不均匀变薄来补偿，变形区是确定的。即为直径为的原始毛坯。板面内是双向伸长应变，板厚方向是压缩应变。应变主轴的方向是随胀形过程的进行而不断变化的。但由于是轴对称问题且受力状态简单（见后述），应变主轴的方向与胀形轮廓的变化有明确的关系，即质点所在位置胀形轮廓子午剖面的切线方向、法