振动与波概论

第四章机械振动 广义振动 任一物理量 如位移 电流等 在某一数值附近反复变化 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 4 1简谐振动的动力学特征 简谐振动 一个作往复运动的物体 如果其偏离平衡位置的位移x 或角位移 随时间t按余弦 或正弦 规律变化的振动 一 弹簧振子模型 弹簧振子 弹簧 物体系统 平衡位置 弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧 质量忽略不计 形变满足胡克定律 物体 可看作质点 简谐振动微分方程 令 得 解 结论 单摆的小角度摆动振动是简谐振动 角频率 振动的周期分别为 当时 摆球对C点的力矩 二 微振动的简谐近似 其通解为 一 简谐振动的运动学方程 4 2简谐振动的运动学 简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程 速度 加速度 x t v t a t三种曲线 二 简谐振动的特征量 A 振幅 单位 m T 周期 单位 s 圆频率 单位 rad s 相位 它是反映质点在t时刻振动状态的物理量 单位 rad 初相 t 0时刻的位相 谐振动的曲线表示法 说明 1 x t曲线不是质点运动的轨迹 2 质点在a c两时刻的运动状态 位移 速度 相同 因此 a c时间间隔是一个周期 3 一个周期内没有相同的运动状态 质点的运动状态如相同 则对应的位相之间必相差2 或2 的整数倍 即 得 由t 0时 x x0 v v0 初始条件 常数A和的确定 例1 劲度系数为k1和k2的两根弹簧 与质量为m的木块按下图两种方式连接 试证明它们的振动均为谐振动 并分别求出它们的振动周期 证 A 10cmT 12s t 0 v0 0 例2 一谐振动的余弦曲线如图 求A 和 例3 说明 X2与X1的位相差 在位相上 X2比X1超前 在时间上 X2比X1超前 三 简谐振动的旋转矢量表示法 1 2象限 投影点P v 0 3 4象限 投影点P v 0 P 用旋转矢量表示相位关系 同相 反相 比超前 va 0 旋转矢量a如图红线所示 0 2 3 例4 已知如图所示的简谐振动曲线 试写出振动方程 at 0 bt 1s x 则 做旋转矢量图 vb 0 旋转矢量b如图蓝线所示 t 0 5 3 求振动方程 解题思路 作旋转矢量图 例5 符合 符合 符合 符合 只要符合以下条件中任意一条 质点即作简谐振动 以弹簧振子为例 谐振动系统的能量 系统的动能Ek 系统的势能Ep 某一时刻 谐振子速度为v 位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 4 3简谐振动的能量 动能 势能 情况同动能 机械能 简谐振动系统机械能守恒 由起始能量求振幅 实际振动系统 系统沿x轴振动 势能函数为Ep x 势能曲线存在极小值 该位置就是系统的稳定平衡位置 在该位置 取x 0 附近将势能函数作级数展开 微振动系统一般可以当作谐振动处理 图示为双原子分子的势能曲线Ep r是两原子之间的距离 设其中一个原子静止于0点 r0处曲线斜率为零 两原子相互作用力为零 r0为分子内两原子间的平衡距离 此时Ep最低 分子在r0附近做微振动 此振动可以近似看做谐振动 双原子分子微振动势能曲线 例1 一单摆的悬线长l 1 5m 在顶端固定点的铅直下方0 45m处有一小钉 如图 设两方摆动均较小 问单摆的左右两方振幅之比A 为多少 解 左右摆长分别为l 1 5 0 45 1 05m l2 1 5m 将单摆的摆动近似看作简谐振动 摆动过程中总机械能守恒 一 同方向 同频率谐振动的合成 合振动是简谐振动 其频率仍为 质点同时参与同方向同频率的谐振动 合振动 4 4简谐振动的合成 振动的频谱分析 如A1 A2 则A 0 两分振动相互加强 两分振动相互减弱 分析 合振动不是简谐振动 合振动可看作振幅缓变的简谐振动 二 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动 当 2 1时 拍合振动忽强忽弱的现象 拍频 单位时间内强弱变化的次数 2 1 三 振动的频谱分析 振动的分解 把一个振动分解为若干个简谐振动 谐振分析 将任一周期性振动分解为各个谐振动之和 若周期振动的频率为 0 则各分振动的频率为 0 2 0 3 0 基频 二次谐频 三次谐频 按傅里叶级数展开 方波的分解 一 阻尼振动 阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动 摩擦阻尼 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用 系统的动能转化为热能 辐射阻尼 振动以波的形式向外传波 使振动能量向周围辐射出去 4 5阻尼振动受迫振动共振 阻尼振动的振动方程 系统受到弱介质阻力而衰减 振子动力学方程 振子受阻力 系统固有角频率 阻尼系数 弱介质阻力是指振子运动速度较低时 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数 弱阻尼 每一周期内损失的能量越小 振幅衰减越慢 阻尼振动的准周期越接近于谐振动的固有周期 阻尼振动的准周期 振幅按指数衰减 临界阻尼 系统不作往复运动 而是较快地回到平衡位置并停下来 过阻尼 系统不作往复运动 而是非常缓慢地回到平衡位置 二 受迫振动 受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动 弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程 令 周期性外力 策动力 稳定解 1 频率 等于策动力的频率p 2 振幅 3 初相 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 三 共振 在一定条件下 振幅出现极大值 振动剧烈的现象 1 位移共振 1 共振频率 2 共振振幅 2 速度共振 能量共振 一定条件下 速度振幅极大的现象 速度共振时 速度与策动力同相 一周期内策动力总作正功 此时向系统输入的能量最大 不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动 1 内在的非线性因素 发生非线性振动的原因 振动系统内部出现非线性回复力 振动系统的参量不能保持常数 如漏摆 荡秋千 4 6非线性振动简介 一 非线性振动概述 单摆 或复摆 的回复力矩 自激振动 1 外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 策动力为位移或速度的非线性函数 如 如 线性振动与非线性振动的最大区别 线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理 近似简化 图解 计算机处理 研究方法 微扰法 二 非线性振动研究的方法及意义 相平面法 声波 水波 电磁波都是物理学中常见的波 波既可以是运动状态的传递而非物质的自身运动 也可以是物质本身的运动结果 甚至把波直接看作一种粒子 第五章机械波 各种类型的波有其特殊性 但也有普遍的共性 例如 声波需要介质才能传播 电磁波却可在真空中传播 至于光波有时可以直接把它看作粒子 光子的运动 光的波粒二相性 5 1机械波的产生和传播 一 机械波产生的条件 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力 则称为弹性波 1 有作机械振动的物体 即波源 2 有连续的介质 波动是振动状态的传播 是能量的传播 而不是质点的传播 后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同 只是位相上有一个落后 二 横波和纵波 横波 振动方向与传播方向垂直 如电磁波 纵波 振动方向与传播方向相同 如声波 横波在介质中传播时 介质中产生切变 只能在固体中传播 纵波在介质中传播时 介质中产生容变 能在固体 液体 气体中传播 结论 机械波向外传播的是波源 及各质点 的振动状态和能量 三 波线和波面 波场 波传播到的空间 波面 波场中同一时刻振动位相相同的点的曲面 波前 波阵面 某时刻波源最初的振动状态传到的波面 波线 波射线 代表波的传播方向的射线 平面波 球面波 波线 1 波长 同一时刻 两个相邻的相位差为2 的振动质点间的距离 波源完成一次全振动 波传播的距离等于一个波长 3 频率n 单位时间内质点振动的次数 2 波的周期T 波传过一个波长的时间 也就是波源完成一次全振动所需的时间 五 波长 波的周期和频率波速 在波动过程中 某一振动状态在单位时间内传播的距离 4 波速 一 平面简谐波的波动方程 平面简谐波简谐波的波面是平面 可当作一维简谐波研究 5 2平面简谐波的波动方程 一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播 x轴即为某一波线 设原点振动表达式 y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标 p点的振动方程 t时刻p处质点的振动状态重复 时刻O处质点的振动状态 O点振动状态传到p点需用 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程 沿着波传播方向 各质点的振动依次落后于波源振动 为p点的振动落后与原点振动的时间 沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程 若波源 原点 振动初位相不为零 则 波矢 表示在2 长度内所具有的完整波的数目 二 波动方程的物理意义 1 如果给定x 即x x0 x0处质点的振动初相为 为x0处质点落后于原点的位相 若x0 则x0处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志 2 如果给定t 即t t0则y y x 表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布 即给定了t0时刻的波形 同一波线上任意两点的振动位相差 同一质点在相邻两时刻的振动位相差 T是波在时间上的周期性的标志 3 如x t均变化y y x t 包含了不同时刻的波形 t时刻的波形方程 t t时刻的波形方程 t时刻 x处的某个振动状态经过 t 传播了 x的距离 在时间 t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离 x 行波 讨论各质点在给定时刻的振动方向 例1 沿X轴正方向传播的平面简谐波 在t 0时刻的波形如图 问 1 原点O的初相及P点的初相各为多大 2 已知A及 写出波动方程 解题思路 思考 1 求O P两点之间的位相差 2 若上图为t 2s时刻的波形图 重新讨论上面各问题 思考 1 求O P两点之间的位相差 2 若上图为t 2s时刻的波形图 重新讨论上面各问题 例2 一平面简谐波某时刻的波形图如下 则OP之间的距离为多少厘米 解题思路 设波向右传播 P点落后于O点 O点位相 P点位相 例3 如图 已知P点的振动方程 写出波动方程 例4 如图 已知P点的振动方程 写出波动方程 例5 一平面简谐波以波速u 0 5m s沿x轴负方向传播 t 2s时刻的波形如图所示 求波动方程 解 设波动方程为 由图可得 2m A 0 5m 2 2 u 2 v 0 三 平面波的波动微分方程 沿x方向传播的平面波动微分方程 求t的二阶导数 求x的二阶导数 一 波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播 而且也是伴随着振动能量的传播 有一平面简谐波 质量为 在x处取一体积元 质点的振动速度 5 3波的能量 声强 体积元内媒质质点动能为 体积元内媒质质点的弹性势能为 体积元内媒质质点的总能量为 1 在波动的传播过程中 任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同 这不同于孤立振动系统 说明 2 在波传动过程中 任意体积元的能量dE在做周期性变化 波动的过程实际上也是能量传播的过程 能量极小 能量极大 能量密度单位体积介质中所具有的波的能量 平均能量密度一个周期内能量密度的平均值 此式适用于各种弹性波 能流 单位时间内通过介质中某一截面的能量 二 波的能流和能流密度 平均能流 在一个周期内能流的平均值 如果S是任意的截面 此时上式应改为 也适用于球面波单位 W 能流密度 波的强度I 通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流 波强是矢量 其方向与波速方向相同 波强是与振幅的平方成正比 其单位是W m2 例 如图 某一点波源发射功率为40瓦 求球面波上单位面积通过的平均能流 解 1 在均匀不吸收能量的介质中传播的平面波在行进方向上振幅不变 证明 因为所以在单位时间内通过和面的能量应该相等 所以平面波振幅相等 平面波和球面波的振幅 设距波源单位距离的振幅为A 则距波源r处的振幅为 2 球面波振幅与它离波源的距离成反比 三 波的吸收 波在实际介质中 由于波动能量总有一部分会被介质吸收 波的机械能不断减少 波强亦逐渐减弱 波强的衰减规律 四 声压 声强和声强级 声压 介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的压差 平面简谐波 声压振幅为 引起人听觉的声波有频率范围和声强范围 声强级 人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定 声强 声波的能流密度 频率越高越容易获得较大的声压和声强 一 惠更斯原理 波阵面上的每一点 都是发射子波的新波源 其后任意时刻 这些子波的包络面就是新的波阵面 用惠更斯原理解释波的传播行为 5 4惠更斯原理波的叠加和干涉 惠更斯原理解释波的衍射 如你家在大山后 听广播和看电视哪个更容易 若广播台 电视台都在山前侧 狭缝 障碍 线度越接近波的波长衍射现象越明显 二 波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性 频率 波长 振动方向 传播方向等 不变 与各波单独传播时一样 而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成 波传播的独立性原理或波的叠加原理 说明 振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上 能分辨不同的声音正是这个原因 能分辨不同的声音正是这个原因 叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合 两列波若频率相同 振动方向相同 在相遇点的位相相同或位相差恒定 则合成波场中会出现某些点的振动始终加强 另一点的振动始终减弱 或完全抵消 这种现象称为波的干涉 相干条件 恒定的相位差 振动方向相同 两波源具有 满足相干条件的波源称为相干波源 三 波的干涉 相同的频率 传播到p点引起的振动分别为 在p点的振动为同方向同频率振动的合成 设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇 合成振动为 其中 由于波的强度正比于振幅的平方 所以合振动的强度为 对空间不同的位置 都有恒定的 因而合强度在空间形成稳定的分布 即有干涉现象 其中 相长干涉的条件 相消干涉的条件 当两相干波源为同相波源时 相干条件写为 相长干涉 相消干涉 称为波程差 波的非相干叠加 产生相干波源的一种方法 例位于A B两点的两个波源 振幅相等 频率都是100赫兹 相位差为 其A B相距30米 波速为400米 秒 求 A B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置 解 如图所示 取A点为坐标原点 A B联线为X轴 因为两波同频率 同振幅 同方向振动 所以相干为静止的点满足 因为 5 5驻波 一 驻波方程 驻波是两列振幅 频率相同 但传播方向相反的简谐波的叠加 函数不满足 它不是行波 它表示各点都在作简谐振动 各点振动的频率相同 是原来波的频率 但各点振幅随位置的不同而不同 驻波的特点 不是振动的传播 而是媒质中各质点都作稳定的振动 驻波的形成 1 波腹与波节驻波振幅分布特点 二 驻波的特点 相邻波腹间的距离为 相邻波节间的距离为 相邻波腹与波节间的距离为 因此可用测量波腹间的距离 来确定波长 2 驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的x是相同的 而空间变化带来的相位是不同的 在波节两侧点的振动相位相反 同时达到反向最大或同时达到反向最小 速度方向相反 两个波节之间的点其振动相位相同 同时达到最大或同时达到最小 速度方向相同 当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时 有半波损失 形成的驻波在界面处是波节 三 半波损失 入射波在反射时发生反相位的现象称为半波损失 折射率较大的媒质称为波密媒质 折射率较小的媒质称为波疏媒质 无半波损失 当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时 无半波损失 界面处出现波腹 在绳长为l的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件 四 简正模式 或本征振动 即弦线上形成的驻波波长 频率均不连续 这些频率称为弦振动的本征频率 对应的振动方式称为该系统的简正模式 Normalmode 对应k 2 3 的频率为谐频 产生的音称为谐音 泛音