2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用章末归纳整合课件 新人教A版必修1

章末归纳整合 数与形是数学中两个最古老的 也是最基本的研究对象 它们在一定条件下相互转化 借助背景图形的性质可使那些抽象的概念 复杂的数量关系变得直观 以便于探求解题思路或找到问题的结论 数形结合 不仅是一种重要的解题方法 而且也是一种重要的思维方法 因此它在中学数学中占有重要地位 本章对于数形结合思想的应用主要体现在 一是读图识图 二是利用图象研究函数与方程问题 数形结合思想 例1 向高为h的水瓶中注水 若注满为止 注水量v与水深h的函数关系图象如图所示 那么水瓶的形状是 分析 解决这道函数应用题 不可能列出v与h的精确解析式 需要对图形整体把握 取特殊情况加以分析 或通过观察已知图象的特征 取模型函数判断 点评 该题是一道综合性较强的题目 意在考查学生整体观察 直觉思维 取特殊值验证等多方面的能力 根据方法一 方法二的分析 亦可画出a c d三个图形中的水瓶的容量v与高度h的函数关系曲线的草图分别如下图所示 现实世界丰富多彩 同一问题存在各种不同的方面 那么就需要对同一问题的不同方面分类分别研究 函数中常常涉及关于参数的问题 有的参数在不同的取值范围内的值会引起函数性质的不同变化 如对数函数 指数函数的底数 二次函数的二次项系数等 分类讨论思想 例2 试讨论函数f x x2 2 x 1 a a r 的零点的个数 分析 函数f x 的零点的个数即为方程x2 2 x 1 a 0的根的个数 当a 2或a 1时 g x 的图象与直线h x 有两个交点 即函数f x 有两个零点 当 2 1时 函数f x 有两个零点 当 2 a 1时 函数f x 有四个零点 当a 1时 函数f x 有三个零点 点评 分类讨论的一般步骤 1 明确讨论对象 确定讨论范围 2 确定分类标准 进行合理分类 3 逐类讨论 获得阶段性成果 4 归纳总结 得到结论 转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程 化归是将待解决的问题通过某种转化的过程 归结为一类已解决或比较容易解决的问题 在解决函数问题时 常进行数与形或数与数的转化 从而达到解决问题的目的 转化与划归思想 例3 当a为何值时 函数y 7x2 a 13 x a2 a 2的一个零点在区间 0 1 内 另一个零点在区间 1 2 内 分析 将问题转化为方程的两根分别在 0 1 和 1 2 内 建立关于a的不等关系求解 解析 已知函数对应的方程为7x2 a 13 x a2 a 2 0 函数的大致图象如图所示 根据方程的根与函数的零点的关系 方程的根一个在 0 1 内 3 已知关于x的方程ax2 2 a 1 x a 1 0 试问当a为何值时 方程的两根都大于1 从近几年的高考情况来看 本章高考呈现以下特点 1 函数的零点与方程的解 函数的图象等问题密切相关 高考对本部分的考查主要有以下四个方面 1 函数零点所在的区间 2 函数零点个数的判断 3 函数零点近似值的求解 4 由函数零点所在的范围或零点的个数求解参数的取值范围等 此类问题往往以选择题填空题的形式出现 2 函数模型的应用主要考查以下三种类型 1 利用给定的函数模型解决实际问题 2 建立确定性函数模型解决实际问题 3 建立拟合函数模型解决实际问题 题型以解答题的形式为主 难度以中等难度为主 考查学生分析问题 解决问题的能力 答案 c 3 2016年四川 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 a 2018年b 2019年c 2020年d 2021年 答案 b 答案 4 8 1 当x在什么范围内时 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 2 求该地上班族s的人均通勤时间g x 的表达式 讨论g x 的单调性 并说明其实际意义 当0 x 32 5时 g x 单调递减 当32 5 x 100时 g x