北师大版九年级数学+++猜想、证明与拓广(二).ppt

课题学习 猜想 证明与拓广 吉安县指阳中学初三数学备课组 任意给定一个矩形 是否一定存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 你准备怎么去做 猜想 证明与拓广 挑战 自我 小明认为 这个结论是正确的 理由是 既然任意给定一个矩形 必然存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时 加倍 那么 原矩形自然满足新矩形的 减半 要求 即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半 猜想 证明与拓广 小明认为 这个结论是正确的 理由是 既然任意给定一个矩形 必然存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时 加倍 那么 原矩形自然满足新矩形的 减半 要求 即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半 挑战 自我 如果矩形的长和宽分别仍为2和1 那么是否存在一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半 如果已知矩形的长和宽分别为3和1 是否还有相同的结论 如果已知矩形的长和宽分别为4和1 5和1 n和1呢 挑战 自我 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 所求矩形的周长和面积应分别为3和1 设所求矩形的长为x 那么它宽为1 5 x 其面积为x 1 5 x 根据题意 得x 1 5 x 1 即2x2 3x 2 0 如果这个方程有解 则说明这样的矩形存在 由b2 4ac 32 4 2 2 7 0 知道这个方程没有实数根 挑战 自我 由特殊到一般 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么不存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 解 当如果矩形的长和宽分别为3和1 4和1 5和1时 设所求矩形的长为x 根据题意所得的方程均有没有实数根解 则说明这样的矩形不存在 挑战 自我 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 3和1 4和1 5和1时 都不存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 由特殊到一般 挑战 自我 由特殊到一般 我们已经知道 如果矩形的长和宽分别为2和1 3和1 4和1 5和1时 都不存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 这个结论是否具有一般性 如果这个结论不具有一般性 那么当矩形的长和宽满足什么条件时 才存在一个新的矩形 它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半 你能再找出这样的一个例子吗 挑战 自我 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为6和1 那么其周长和面积分别为14和6 所求矩形的周长和面积应分别为7和3 设所求矩形的长为x 那么它宽为3 5 x 其面积为x 3 5 x 根据题意 得x 3 5 x 3 即2x2 7x 6 0 由b2 4ac 72 4 2 6 1 0 知道这个方程有实数根 结论 如果矩形的长和宽分别为6和1时 存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 挑战 自我 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为m和n 那么其周长和面积分别为2 m n 和mn 所求矩形的周长和面积应分别为m n和mn 2 设所求矩形的长为x 那么它宽为 m n 2 x 其面积为x m n 2 x 根据题意 得x m n 2 x mn 2 即2x2 m n x mn 0 由 b2 4ac m n 2 4 2 mn m2 n2 6mn 知道只有当m2 n2 6mn时 这个方程才有实数根 结论 如果矩形的长和宽满足m2 n2 6mn时 才存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 超越自我 已知等边 ABC和点P 设点P到 ABC三边AB AC BC的距离分别为h1 h2 h3 ABC的高为h 若点P在一边BC上如图 1 此时h3 0 可得结论 h1 h2 h3 h 请直接应用上述信息解决下列问题 当点P在 ABC内 如图 2 点P在 ABC外 如图 3 这两种情况时 上述结论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 h1 h2 h3与h又有怎样的关系 请写出你的猜想 并证明你的猜想 N Q 证明 过P作NQ BC交AB AC AM分别为N Q K 由题意得 h1 h2 AK K NQ BC PF BC AM BC KPF MFP KMF 900 四边形KMFP是矩形 KM PF h3 AK AM KM h1 h2 h h3即h1 h2 h3 h 图3又有怎样的关系呢 解 如图2 当点P在 ABC内部时 结论 h1 h2 h3 h 仍然成立 证明 设等边 ABC的边长为a 连结PA PB PC S PAB S PAC S PBC S ABC 对于图3 又有怎样的关系 又如何证明 总结反思 拓展升华 思考 对于图1 为什么会成立 对于图2呢 对于图2 证明如下 挑战 自我 神奇的反比例函数 同学们 我们已经知道用反比例函数可以解答世界数学难题 化圆为方 倍立方体 今天我们再来 读一读 P153反比例函数的又一个杰作 换一个角度看 数学真奇妙 知识的升华 P155习题3 4题