2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）设集合或，或，则是AB，C，D2（4分）设复数，则的虚部是ABCD3（4分）对于两条不同的直线，和两个不同的平面，以下结论正确的是A若，是异面直线，则，相交B若，则C若，共面于，则D若，不平行，则，为异面直线4（4分）关于周期函数，下列说法错误的是A函数不是周期函数B函数不是周期函数C函数不是周期函数D函数的最小正周期为5（4分）的展开式的常数项是A5BCD6（4分）若变量，满足约束条件，且的最小值为7，则的值为A1B2CD不确定7（4分）已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为ABC0D8（4分）已知的外接圆半径为2，为该圆上一点，且，则的面积的最大值为A3B4CD9（4分）在直三棱柱中，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为A，B，C，D，10（4分）已知点在双曲线上，点满足，且，则的最大值为ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11（6分）已知函数，则，若，则的取值范围为12（6分）某几何体的三视图（单位：如图所示，则此几何体的所有棱长之和为 ，体积为 13（6分）已知随机变量的概率分布列为：012则 ， 14（6分）已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则 ； 15（4分）函数，的定义域都是，直线，与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于0的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设，且，为区间的“平行曲线”， （1），在区间上的零点唯一，则的取值范围是 16（4分）若函数对任意实数，在闭区间，上总存在两实数，使得成立，则实数的最小值为17（4分）定义域为，的函数满足，2，且（1），（4），成等比数列，若（1），则满足条件的不同函数的个数为 三、解答题（共5小题，满分74分）18（14分）在中，分别是角，的对边，且满足（）求角和边的大小；（）求面积的最大值19（15分）在边长为3的正三角形中，、分别是、边上的点，满足（如图（1）将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图（2）（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值20（15分）设函数为常数，是自然对数的底数）（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围21（15分）如图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由22（15分）已知在数列中，（1）求证：；（2）求证：；（3）求证：2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）设集合或，或，则是AB，C，D【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】求出，由此能求出【解答】解：集合或，或，故选：【点评】本题考查补集、交集的求法，考查运算求解能力，考查转化化归思想，是基础题2（4分）设复数，则的虚部是ABCD【考点】：复数的运算【专题】35：转化思想；49：综合法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数，则的虚部是故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（4分）对于两条不同的直线，和两个不同的平面，以下结论正确的是A若，是异面直线，则，相交B若，则C若，共面于，则D若，不平行，则，为异面直线【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可【解答】解：时，是异面直线，可以成立，故错误，若，则，因为，则或，故错误，利用线面平行的性质定理，可得正确，若，不平行，则，为异面直线或相交直线，故不正确，故选：【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理4（4分）关于周期函数，下列说法错误的是A函数不是周期函数B函数不是周期函数C函数不是周期函数D函数的最小正周期为【考点】：三角函数的周期性【专题】35：转化思想；：转化法【分析】根据三角函数的性质，依次判断即可【解答】解：对于：函数，令，则不是周期函数对对于：函数，令，则，不是周期函数，对对于：函数是函数把有部分图象关于轴对称所得，不是周期函数，对对于：函数的最小正周期为不对故选：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题5（4分）的展开式的常数项是A5BCD【考点】：二项式定理【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：二项式定理【分析】由于的通项为，可得的展开式的常数项【解答】解：由于的通项为，故的展开式的常数项是，故选：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题6（4分）若变量，满足约束条件，且的最小值为7，则的值为A1B2CD不确定【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；32：分类讨论；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用；：不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得，化目标函数为当时，由图可知，当直线过或时，直线在轴上的截距最小，有最小值若过，则，解得；若过，则，解得不合题意当时，由图可知，当直线过或时，直线在轴上的截距最小，有最小值若过，则，解得，不合题意；若过，则，解得，不合题意的值为2故选：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题7（4分）已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为ABC0D【考点】：函数单调性的性质与判断；85：等差数列的前项和【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】由函数的图象关于轴对称，平移可得的图象关于对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：函数在上单调，且函数的图象关于对称，可得的图象关于对称，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，又是等差数列，所以，则的前100项的和为故选：【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题8（4分）已知的外接圆半径为2，为该圆上一点，且，则的面积的最大值为A3B4CD【考点】：平面向量的基本定理；：数量积表示两个向量的夹角【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：平面向量及应用【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可【解答】解：由 知， 为平行四边形，又， 四点共圆， 为矩形，即 为圆的直径， 当 时， 的面积取得最大值故选：【点评】本题考查向量的几何中的应用，考查转化思想以及计算能力9（4分）在直三棱柱中，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为A，B，C，D，【考点】：多面体和旋转体表面上的最短距离问题【专题】11：计算题；：空间位置关系与距离【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决建立如图所示的空间直角坐标系，设出、的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，1，0，0，由于，所以当时，线段长度的最小值是当时，线段长度的最大值是 1而不包括端点，故不能取；故选：【点评】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力属于基础题10（4分）已知点在双曲线上，点满足，且，则的最大值为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】34：方程思想；49：综合法；：向量与圆锥曲线【分析】由已知可得，且有，将点代入双曲线中得，由得，即得，【解答】解：，且，将点代入双曲线中得：，由得，故选：【点评】本题考查了向量与双曲线，方程思想、转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11（6分）已知函数，则0，若，则的取值范围为【考点】：函数的值【专题】32：分类讨论；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】由分段函数的表达式，利用代入法即可求第一问，讨论的取值范围，解不等式即可求第二问【解答】解：由分段函数的表达式得，（2），故，若，由得得，则，得，则，此时若，由得，即，若得，则或，此时或，若，得，得，得，此时无解，综上或，或故答案为：0，或或【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式分别利用代入法和分类讨论的思想是解决本题的关键12（6分）某几何体的三视图（单位：如图所示，则此几何体的所有棱长之和为，体积为 【考点】：由三视图求面积、体积【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，画出其直观图，进而根据棱柱和棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，如下图所示：故此几何体的所有棱长之和为，该几何体的体积故答案为：，20【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，由已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键13（6分）已知随机变量的概率分布列为：012则1， 【考点】：离散型随机变量及其分布列【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：概率与统计【分析】利用随机变量的概率分布列的性质能求出和【解答】解：由随机变量的概率分布列，知：，故答案为：1，【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，解题时要要认真审题，注意随机变量的概率分布列的性质的合理运用，是基础题14（6分）已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则； 【考点】：直线和圆的方程的应用【专题】11：计算题；35：转化思想；：直线与圆【分析】由题意直线过圆心，从而得到利用勾股定理求出【解答】解：圆上存在两点关于直线对称，直线过圆心，解得圆，可化为，圆心，半径，经过点作圆的切线，切点为，故答案为：；3【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查勾股定理的运用，正确运用圆的对称性是关键15（4分）函数，的定义域都是，直线，与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于0的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设，且，为区间的“平行曲线”， （1），在区间上的零点唯一，则的取值范围是，【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】23：新定义；35：转化思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】由题意可得对恒为常数，且不为0令求得常数再由题意可得在上有一个零点，运用导数和构造函数，转化为方程有唯一解，即可得到的范围【解答】解：由题意可得对恒为常数，且不为0令，可得（1）可令在，由在区间上的零点唯一，可得：在有唯一解，由的导数，而在递增，且，则在递增，则，故答案为：，【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数零点问题的解法，考查转化思想的运用，注意运用导数，判断单调性，同时考查构造法的运用，属于中档题16（4分）若函数对任意实数，在闭区间，上总存在两实数，使得成立，则实数的最小值为8【考点】：函数恒成立问题【专题】51：函数的性质及应用【分析】结合二次函数的图象可知，当且仅当区间，的中点是对称轴时，只要满足，上总存在两实数，使得成立，则对其它任何情况必成立【解答】解：因为，所以二次函数的图象开口向上在闭区间，上总存在两实数，使得成立，只需时，即，即，将代入得所以的最小值为8故答案为8【点评】本题考查了利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键17（4分）定义域为，的函数满足，2，且（1），（4），成等比数列，若（1），则满足条件的不同函数的个数为176【考点】：函数的值；：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用；：排列组合【分析】根据题意，由分析可得必有在和中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得（4），进而分2种情况讨论，、若（4），分析可得在中，都成立，在中，有1个，7个成立，、若（4），在中，有1个成立，2个成立，在中，有3个，5个成立；由乘法原理计算可得每种情况的函数数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，若，则和中，必须且只能有1个成立，若（1），且（1），（4），成等比数列，则（4），分2种情况讨论：、若（4），在中，都成立，在中，有1个，7个成立，则有种情况，即有8个不同函数；、若（4），在中，有1个成立，2个成立，有种情况，在中，有3个，5个成立，有种情况，则有种情况，即有168个不同函数；则一共有个满足条件的不同函数；故答案为：176【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题三、解答题（共5小题，满分74分）18（14分）在中，分别是角，的对边，且满足（）求角和边的大小；（）求面积的最大值【考点】：三角形中的几何计算【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；58：解三角形【分析】（）根据同角的三角函数的关系以及诱导公式和两角和的正弦公式即可求出，再根据正弦定理即可求出的值，（）根据余弦定理和基本不等式即可求出最大值【解答】解：（）可得，由正弦定理可得，；（）由余弦定理可得，当且仅当时取等号，故面积的最大值为【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的恒等变换，属于中档题19（15分）在边长为3的正三角形中，、分别是、边上的点，满足（如图（1）将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图（2）（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】15：综合题；38：对应思想；44：数形结合法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）在图（1）中，取的中点，连结，由已知可得为正三角形进一步得到在图（2）中，可得，即为二面角的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，可得平面；（2）分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，然后分别求出面与面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值得答案【解答】（1）证明：在图（1）中，取的中点，连结，而，为正三角形又，在图（2）中，为二面角的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，平面；（2）解：分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，0，0，0，设面的法向量为，则，取，得，；设面的法向量为，则，取，得，1，二面角的大小的余弦值为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，训练了利用空间向量求二面角的平面角，关键是注意折叠问题中折叠前后的变量与不变量，是中档题20（15分）设函数为常数，是自然对数的底数）（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围【考点】：利用导数研究函数的单调性；：函数在某点取得极值的条件【专题】53：导数的综合应用【分析】（）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（）函数在内存在两个极值点，等价于它的导函数在内有两个不同的零点【解答】解：（）的定义域为，当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，的单调递减区间为，单调递增区间为（）由（）知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，当时，当时，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，函数单调递减，时，函数单调递增，函数的最小值为函数在内存在两个极值点当且仅当解得：综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想是一道导数的综合应用题属于中档题21（15分）如图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点