2442圆锥的侧面积和全面积--

掌握圆锥的有关概念 会推导其侧面积计算公式 并能运用公式解决简单的实际问题 理解圆锥的侧面展开图为扇形 弄清圆锥的母线 底面圆周长与扇形的半径 弧长之间的对应关系 按照扇形面积公式计算 圆锥的侧面积与全面积的计算 例1 6分 如图所示 一个机器零件 图1 表面涂上防锈漆 图2是其轴切面 尺寸单位 mm 因工作需要 请你帮助计算一下这个零件的表面积 结果保留3个有效数字 解题导引 零件的表面积就是其全面积 由三部分构成 圆锥侧面 圆柱侧面 底面圆 分别计算各部分面积再求和 规范解答 如图 过点P作PE AD 垂足为E 则AE DE 40mm 在Rt APE中 由勾股定理可得AP 50 mm 2分 S圆锥侧 rl 40 50 2000 mm2 S圆柱侧 80 100 8000 mm2 S底 402 1600 mm2 5分 S表面积 S圆柱侧 S圆锥侧 S圆柱底 8000 2000 1600 11600 3 64 104 mm2 6分 计算表面积时漏掉底面圆的面积而造成错误 与圆锥侧面积有关的几何体的表面积的计算 其关键 一是分析清楚几何体表面的构成 二是弄清圆锥与其侧面展开图扇形各元素之间的对应关系 对结果取近似值时 注意中间过程中一般取准确值 在最后结果时再取近似值 1 2010 衢州中考 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面 接缝忽略不计 如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm 那么这张扇形纸板的面积是 A 120 cm2 B 240 cm2 C 260 cm2 D 480 cm2 解析 选B 由题意知 扇形的面积为 rl 24 10 240 cm2 2 2010 眉山中考 已知圆锥的底面半径为4cm 高为3cm 则这个圆锥的侧面积为 cm2 解析 圆锥的母线长为 5cm 所以侧面积为 4 5 20 cm2 答案 20 在利用公式求圆锥侧面积时 应注意扇形的半径指的是母线的长 并不是圆锥底面圆的半径 同时在计算时要仔细认真 牢记圆锥与其侧面展开扇形中各元素的对应关系 不要代错数据 与圆锥侧面展开图有关的计算 例2 2010 潍坊中考 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9 圆心角为120 的扇形 则该圆锥的底面的半径等于 A 9 B 27 C 3 D 10 思路点拨 自主解答 选C 扇形的弧长为 所以2 r 6 解得r 3 准确把握圆锥的有关概念 弄清圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长 3 2010 宜宾中考 将半径为5的圆 如图1 剪去一个圆心角为n 的扇形后围成如图2所示的圆锥 则n的值等于 解析 圆锥底面圆的周长为2 3 6 设围成圆锥的扇形的圆心角的度数为m 则扇形的弧长为解得m 216 所以剪去的扇形的圆心角度数为 360 216 144 答案 144 4 已知圆锥的侧面展开图的圆心角为90 则该圆锥的底面圆半径与母线长的比为 解析 设圆锥的底面圆的半径为r 母线长为l 所以答案 5 一个圆锥形的零件 经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4的等边三角形 那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为 解析 由题意知 圆锥的母线长为4 底面圆的半径为2 所以扇形的弧长为4 4 解得n 180 答案 180 圆锥的母线长l 高h及底面圆的半径r 构成直角三角形 有l2 h2 r2 已知l h r中任意两个量都可以求出第三个量 1 2010 昆明中考 如图 已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65 cm2 扇形的弧长为10 cm 则圆锥母线长是 A 5cm B 10cm C 12cm D 13cm 解析 选D 由扇形面积公式l 10 65 解得母线长为13cm 2 2010 湖州中考 如图 在Rt ABC中 BAC 90 AB 3 BC 5 若把Rt ABC绕直线AC旋转一周 则所得圆锥的侧面积等于 A 6 B 9 C 12 D 15 解析 选D 由题知r 3 l 5 S侧 rl 3 5 15 3 2010 德化中考 已知圆锥的底面半径是3cm 母线长为6cm 则侧面积为 cm2 结果保留 解析 由公式得 S rl 3 6 18 cm2 答案 18 4 如图 是一个废弃的扇形统计图 小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥 则这个圆锥的底面半径是 解析 阴影部分扇形的弧长为 7 2 设圆锥的底面半径为r 则2 r 7 2 r 3 6 答案 3 6 5 已知扇形的圆心角为120 面积为300 cm2 1 求扇形的弧长 2 若把此扇形卷成一个圆锥 则这个圆锥的全面积是多少 解析 1 2 2 r l 则r 10cm S底 r2 100 cm2 S全 S侧 S底 400 cm2 一 选择题 每小题4分 共12分 1 2010 莱芜中考 已知圆锥的底面半径长为5 侧面展开后得到一个半圆 则该圆锥的母线长为 A 2 5 B 5 C 10 D 15 解析 选C 由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长得 2 5 得l 10 2 已知 如图所示 在正方形的铁皮上剪下一个圆形和扇形 使之恰好围成一个圆锥模型 设圆的半径为r 扇形的半径为R 则圆的半径与扇形的半径之间的关系为 A R 2r B R r C R 3r D R 4r 解析 选D 由题意可知 圆的周长应等于扇形的弧长 即2 r 2 R 故R 4r 3 2010 孝感中考 如图 圆锥的底面半径为5 母线长为20 一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 解析 选D 设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n 则 2 5 解得n 90 如图所示 最短路程即为线段AB的长 由勾股定理可得AB 二 填空题 每小题4分 共12分 4 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍 这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 解析 设圆锥的底面半径为r 圆锥的母线长为l 圆锥的侧面展开图的圆心角为n 则 解得 n 120 答案 120 5 已知 O中 AB 4 AC是 O的直径 AC BD于E A 30 若用阴影部分扇形OBD围成一个圆锥的侧面 则围成的圆锥的底面圆的半径是 解析 A 30 AC BD BE AB 2 AE 6 又 BOC 2 BAC 60 OBE 30 2OE OB 2OE OE 6 OE 2 OB 4 设圆锥的底面圆的半径为r 则2 r r 答案 6 2010 凉山中考 如图 如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形 将留下的扇形围成一个圆锥 接缝处不重叠 那么这个圆锥的体积是 解析 设圆锥的底面圆的半径为r 高为h 由题意知 2 r 解得r 2cm 所以h 所以圆锥的体积为 答案 三 解答题 共26分 7 8分 2010 自贡中考 如图 有一直径是1米的圆形铁皮 要从中剪出一个圆心角是120 的扇形ABC 求 1 被剪掉阴影部分的面积 2 若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥 该圆锥底面圆的半径是多少 解析 1 设O为圆心 连接OA OB OC OA OC OB AB AC ABO ACO SSS 又 BAC 120 BAO CAO 60 ABO为等边三角形 AB 米 S扇形ABC 2 米 2 S阴影 2 米 2 2 在扇形ABC中 的长为 米 设底面圆的半径为r米 则2 r r 米 8 8分 如图所示是一纸杯 它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥 该圆锥的侧面展开图是扇形OAB 经测量 纸杯上开口圆的直径为6cm 下底面直径为4cm 母线长EF 8cm 求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积 面积计算结果用 表示 解析 由题意可知 6 4 设 AOB n AO R 则CO R 8 由弧长公式得 解方程组故扇形OAB的圆心角是45 OC R 8 16 cm 所以S扇形OCD 4 16 32 cm2 S扇形OAB 6 24 72 cm2 S纸杯侧面积 S扇形OAB S扇形OCD 40 cm2 S纸杯底面积 22 4 cm2 S纸杯表面积 40 4 44 cm2 归纳整合 解决实际问题的关键是在理解题意的基础上 抽象出符合题意的数学模型 在实际问题中 纸杯的表面积不包含上底面圆的面积 侧面积为两扇形的面积之差 也可以类比扇形面积的求解方法 可把其理解为曲边梯形的面积 即S l l d 拓展延伸 9 10分 某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20cm 高为40cm的圆锥形漏斗如图 1 要求只能有一条接缝 接缝忽略不计 现有两种方案 如图 2 为方案一 图 3 为方案二 那么 为了节省材料应选哪个方案 解析 应选方案二 理由如下 由题意知母线l的长 2 20 n 120 根据题