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3 4 1基本不等式的证明 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 a b 1 正方形ABCD的面积S 四个直角三角形的面积和S S与S 有什么样的不等关系 探究 结论 重要不等式 文字叙述为 两数的平方和不小于积的2倍 若a b R 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 取 号 那么a2 b2 2ab 那么a b 2 当且仅当a b时 取 号 若a R b R 若a 0b 0 如果a 0 b 0 我们用去替换a b 能得到什么结论 探究 当且仅当a b时 取 号 结论 基本不等式 探究3 A B C D E 1 如图 AB是圆的直径 C是AB上与A B不重合的一点 AC a CB b 过点C作垂直于AB的弦DE 连AD BD 则CD 半径 你能用这个图形得出基本不等式几何解释吗 a b 半弦不大于半径 我们把叫做a b的算术平均数 把叫做a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 因此也叫均值不等式 从形的角度来看 基本不等式具有特定的几何意义 从数的角度来看 基本不等式揭示了 和 与 积 这两种结构间的不等关系 正用 逆用 注意成立的条件 a b是两个正数 当且仅当a b时 号成立 剖析公式 推广 证 以上三式相加 当且仅当a b c时等号成立 练习 证明 当且仅当a b c时等号成立 练习 证明 例1 若x 0 求的最小值 变式 若x 3 求的最小值 构造条件 利用不等式求最值问题 一正 二定 三相等 必须有自变量的值能使函数取到 号 函数式中相关项必须为正 所求函数式中 含变数的各项和或积必须为定值 利用均值不等式求函数最值应注意 例3 1 用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 1 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用篱笆最短 最短篱笆是40m 由 Ex1 已知直角三角形的面积等于50 两条直角边各为多少时 两条直角边的和最小 最小值是多少 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 20 例3 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 等号当且仅当x y 即x y 9时 等号成立 解 2 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xy 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81 由 Ex 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形 应当怎样折 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 课堂小结 1 本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用 2 注意公式的正向 逆向使用的条件以及 成立的条件 若a b
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