北师大版中考复习专题讲义与习题：第一专题数与式.docx

北师大版中考复习专题讲义与习题：第一专题数与式第一专题数与式本专题包括：有理数（七上第二章） 用字母表示数（七上第三章） 整式（七下第一章） 实数（八上第二章） 因式分解（八下第二章） 分式（八下第三章） 有理数与实数：一、实数的分类：1、有理数：任何一个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征。2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001；特定意义的数，如、等。3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=02、倒数：（1）实数a（a0）的倒数是；（2）a和b 互为倒数；（3）注意0没有倒数3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。4、n次方根（1）平方根，算术平方根：设a0，称叫a的平方根，叫a的算术平方根。算术根的性质：;（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（3）立方根：叫实数a的立方根。（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。注：每一个有理数都可以用数轴上的唯一的点来表示，但与数轴上的点不是一一对应的关系。四、实数大小的比较1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。开方运算法则：(a0,b0);(a0,b0)6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。六、非负数的三种表示形式：a2、|a|、(a0)；若若干个非负数的和为零，则这些非负数同时为零。代数式一、代数式与整式1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。3、代数式相关概念：（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都变号。 4、幂的运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。零指数：=1（a0）；整指数：=1/（a0,p是正整数）5、整式的运算（1）整式的加减：整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式的乘除： 单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式：；完全平方公式：，二、因式分解 1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。因式分解与整式乘法互为逆运算。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法： （2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式三、分式 1、分式定义：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B0时，分式有意义。 （2）分式的值为0：A=0，B0时，分式的值等于0。 （3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。 （4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。 （5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 2、分式的基本性质： （1）；（2） （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算： （1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。 （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。（4） 乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。1有理数的意义 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. 实数的相反数为_. 若，互为相反数，则= . 非零实数的倒数为_. 若，互为倒数，则= . 绝对值 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中110的数，n是整数. 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字2.数的开方 任何正数都有_个平方根,它们互为_.其中正的平方根叫_. 没有平方根，0的算术平方根为_. 任何一个实数都有立方根，记为 . .3. 实数的分类 和 统称实数.4. 数的乘方 ，其中叫做 ，n叫做 . （其中 0 且是 ） （其中 0）5. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行.6. 实数大小的比较 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大. 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值.3. 整式（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .(3) 整式： 与 统称整式.4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 _.5. 幂的运算性质: aman= ； (am)n= ； aman_； (ab)n= .6. 乘法公式： (1) ； （2）（ab）(ab) ； (3) (ab)2 ；(4)(ab)2 .7. 整式的除法 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止2. 因式分解的方法： ， ， ， .3. 提公因式法：_ _.4. 公式法: ， .5. 十字相乘法： 6因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有 ，那么称 为分式若 ，则 有意义；若 ，则 无意义；若 ，则 0. 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.5分式的运算 加减法法则： 同分母的分式相加减： . 异分母的分式相加减： . 乘法法则： .乘方法则： . 除法法则： .1二次根式的有关概念 式子 叫做二次根式注意被开方数只能是 并且根式. 简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式 (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式2二次根式的性质 0； （0） ； （）； （）.3二次根式的运算 (1) 二次根式的加减：先把各个二次根式化成 ； 再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变.（5）实数的概念1把分别填入下面的括号中：有理数集合： 正实数集合： 无理数集合： 负实数集合： 31.7的相反数是_，绝对值是_4. 计算， _，下列说法正确的是（ ） A近似数39103精确到十分位 B按科学计数法表示的数804105其原数是80400 C把数50430保留2个有效数字得50104. D用四舍五入得到的近似数81780精确到0001 5.5的立方根是_；4的平方根是_；的平方根是 ；的立方根为_ _6若x，y满足(2x1）2+y+2=0，那么x+y=_7绝对值不小于3但小于6的负整数有_个，他们分别是_ _8已知9y216=0，且y是正数，则_9如果实数a与b互为相反数，则a、b一定满足（ ）Aab = 1 Bab =1 Ca + b = 0 Dab = 010有下列说法：有理数和数轴上的点一一对应；不带根号的数一定是有理数；负数没有立方根；是17的平方根其中正确的有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个11下列说法错误的是（ ）A相反数与本身相等的数只有0 B倒数与本身相等的数只有1和1C平方与本身相等的数只有0和1 D立方与本身相等的数只有0和112点A在数轴上距原点5个单位长度，将A点先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，此时A点所表示的数是（ ）A1 B9 C 1或9 D 1或913当a0时，化简的结果是（ ）A2 B2 C1 D014下列结论正确的是（ ）. A B C D15若实数x与它的绝对值的和等于0，则x是（ ）A 非正数 B 非负数 C 非零实数 D 负数16下列说法不正确的是 ( ) A没有最大的有理数 B没有最小的有理数 C有最小的正有理数 D有绝对值最小的有理数19当1x3时，化简20试说明不论x、y是什么实数，总是非负数21已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，且x=3，求2x（abcd）+ab+3的值22若m2=（5）2，n3=（2）3，求m+n的值23已知2x+1的平方根为5，求5x+4的立方根24.已知实数a满足，求a20042的值实数的运算2比较大小：.3写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个数是 5.已知a=2，=3，且ab0，则ab= 6如果，则_0，_0，_7用“偶数”或“奇数”填：当为_时，；当为_时，9蜗牛前进的速度每秒只有1.5毫米，恰好是某人步行速度的1000分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（ ） A9千米 B5.4千米 C900米 D540米10如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）A B1.4 C D 11若a+b0，且abbc Bacb Ccba D bca13在数轴上，位于2的左边，b位于2的右边，则与的大小关系是（ ）A B C D无法比较大小14实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）Anm Bn2m2 Cn0m0 D| n | m |15若0a1，则之间的大小关系为 （ ） A B C D不能确定16. 计算：（1）； （2）；（3）； (4) .（5） （6）18小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150m2，最后结算工钱时，有以下几种方案：方案一：按工算，每个工30元；（1个工人干1天时一个工）方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；方案三：按粉刷面积算，每平米付工钱12元.请你帮小红家出主意，选择方案 付钱最合算（最省）.整式与因式分解2单项式的系数是 ，次数是 3若为三次二项式，则 4若与是同类项，则 56计算： (1) ；（2） ；(3) ；(4) ；7多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）8若m，n满足，分解因式 9若，则 ， 10如果，则 11如果，则的值为（ ） A6 B1 C5 D812下列因式分解中正确的是（ ）. A4x21= (4x+1) (4x1) Bm2+9 = (m+3) (m3) Ca2b24 = (ab+2) (ab2) Dx28= (x+2) (x4)13下列计算正确的是（ ）A BC D14下列各式中，可以用平方差公式的是（ ）.A(a+b)(ab) B(a2b)(a2+b) C(3x2+b)(3x2+b) D(3x2)(2x+3)15已知的值为3，则代数式的值为（ ）A0 B7 C9 D316n个学生按五人一组，分成若干组，其中有一组少1人，则共有组数为（ ）A B C D不能确定17若，则a+b的所有可能值是（）A0B10C0或10D0或10或1018化简得（ ） A B C D19把下列各式因式分解： 24m2x+16nx28x 4a3b+4a2b2+ab3 3m312mn2 (x1)(x3)+1 （5）a2b22a+1 （6）（x+2）（x+3）+x2420已知a、b、m是实数，求的值21给出三个多项式：请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.22.计算： （1）； （2）；（3）.23.某玩具厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有（0）个成品，且每个车间每天都生产（0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检查其中两个车间原有和这两天生产的所有成品，然后星期三至星期五检查另两个车间原有的和本周生产的所有成品假定每个检验员每天检查的成品数相同（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含、的代数式表示）（2）试求用表示的关系式；（3）若1名质检员1天能检验个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？分式与二次根式1某种型号的拖拉机，原来平均每小时耗油x升，经技术改造后，现在平均每小时耗油减少2升，那么容量为m升的油箱装满油后，比原来多工作 小时2当x_时，有意义，当x_时，的值为零3.当x_时，的值为正，当x_时，的值为零4若4x3y = 0， 则.5要使有意义，则x应满足的条件是（ ）.A B C D6若有意义，则x的取值范围是（ ）.A B C D 且7不论x取什么值时，下列分式一定有意义的是 （ ）A B C D8在下列各组根式中，在加法运算中能够合并的二次根式是（ ）A B C D9下列各式成立的有（ ）个A 3 B 2 C 1 D 010下列各式正确的是（ ）. A B C D11计算的结果（ ）A m+2 B m2 C D 12如果把中的x和y都扩大两倍，那么这个代数式的值为 （ ） A扩大两倍 B不变 C缩小两倍 D以上都不对13有一程序如下：当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，某同学输入后，把屏幕输出的结果再次输入，则屏幕最后输出的结果是（ ） A 6 B 8 C 37 D 3514.计算： 15化简：； ；1 .16阅读下列题目的计算过程： 上述计算过程，从哪一步开始出现错误？请你写出该步的代号 ；错误的原因是 ；本题目正确的结论是 代数式化简求值2.若x = ，y = ， 则.3.若，则= .4.若 ，则.5.若，则.6.已知，化简.7实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式a的结果是（ ）A2a+b B2a Ca Db8.代数式的值为9，则的值为（ ）.A B C D9当x=2，y=3时，代数式4x32y2的值是（ ）.A14 B50 C14 D5010若x29=0， 则的值为（ ）. A 0或6 B 0 C 6 D 无意义11已知实数a、b、c（在数轴上的位置如图所示）化简：.12 .若，求的值13已知x2+y2=7，xy=2 求5x23xy4y211xy7x2+2y2的值14 已知，求的值15化简求值：，其中16已知，求的值17请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值18.规定一种新运算：ab= ab+ab， 求 ab+(ba)b19化简求值 x+1 ，其中x = . 20先化简，再求值： 2x，其中x = 3， y = 1.5.21先化简，再求值：，其中a2+2a1 = 0 . 22已知a26a+9与互为相反数，求的值 23已知：3x4yz = 0， 2x+y8z = 0，求的值探索数与式规律1 如图所示，图中共有_个三角形、_个正方形2按规律填数：1，14，2，15，3，16，（ ），（ ）3若ab=4a2b+ab，则=_ 4如果1234567927=333333333，那么123456799=_5.用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有abb2+1例如，7442+117，那么53 ；当m为实数时，m(m2) 618，75，90，120，150这些角中，不能用一幅三角板拼出来的是_7某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售已知卖出的苹果重量x与售价y的关系如下表：x（千克）12345y（元）2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5试写出用x表示y的关系式 8观察下列等式：918，16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的某种规律设n表示自然数，试用关于n的等式表示