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一 协方差二 相关系数 4 3协方差和相关系数 对于随机变量 X Y 而言 E X E Y 反映分量X Y各自的平均值D X D Y 反映分量X Y各自的平均偏离程度 并未反映X Y之间的相互关系 定义 一 协方差 称E X E X Y E Y 为X与Y的协方差 记为Cov X Y 即 Cov X Y E X E X Y E Y 若X取值比较大 X E X Y也较大 Y E Y 若X取值比较小 X E X Y也较小 Y E Y 若X取值较小 Y取值较大或若X取值较大 Y取值较小 这时Cov X Y 0 这时Cov X Y 0 则Cov X Y 0 协方差可了解两个变量之间之间的关系 变化趋势在平均意义上而言 正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或同时取较小值 负的协方差反映两个随机变量有相反方向变化的趋势 Cov X Y 连续型随机变量的协方差 Cov X Y 离散型随机变量的协方差 协方差的性质 1 Cov X X D X Cov Y Y D Y 2 Cov X Y Cov Y X 3 Cov a1X b1 a2Y b2 a1a2Cov X Y 其中a1 a2 b1 b2为常数 4 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 5 Cov X Y E XY E X E Y 若X与Y独立 则Cov X Y 0 还可推得 D X Y D X D Y 2Cov X Y 6 Cov X Y 2 D X D Y 用下述定理证明 9 定理2 柯西 许瓦兹不等式 设 X Y 是一个二维随机变量 又 则有 证 考虑一个二次函数 10 证明 性质6 Cov X Y 2 D X D Y 证 由柯西 许瓦兹不等式可得 即 Cov X Y 2 D X D Y 二 相关系数 定义 若D X 0 D Y 0 则称 为X Y的相关系数或标准协方差 记为 XY 即 2 相关系数就是标准化的随机变量 相关系数的性质 当且仅当X与Y之间有线性关系时 等号成立 即 XY 1 a b 使P Y aX b 1 说明 XY刻划X Y之间的线性相关程度 XY 1 则X Y越接近线性关系 XY 1 则X Y存在线性关系 XY 1 当 XY 0时 称X与Y不相关 则X Y没有线性关系 注 不相关与相互独立 X与Y独立 Cov X Y 0 XY 0 X与Y不相关 但反之不成立 若 X Y 正态分布 则X与Y不相关等价于X Y相互独立 XY 例1设 X Y 的概率密度为 求Cov X Y XY
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