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第五节 一 被积函数含参变量的积分 二 积分限含参变量的积分 含参变量的积分 第十章 1 一 含参变量积分的连续性 2 证 设和是上的两点 则 这里变量在积分过程中是一个常量 通常称它为参变量 3 就有 于是由 1 式有 4 所以在上连续 定理得证 右端积分式函数先对后对的二次积分 5 定理1表明 定义在闭矩形域上的连续函数 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的 同理可证 续 则含参变量的积分 由连续性定理易得下述可积性定理 6 公式 2 也可写成 7 下面考虑由积分 确定的函数的微分问题 8 为了求 先利用公式 1 作出增量之比 由拉格朗日中值定理 以及的一致连续性 我们有 9 这就是说 综上所述有 令取上式的极限 即得公式 5 此定理说明 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时 求导与求积运算是可以交换顺序的 10 我们在实际中还会遇到对于参变量的不同的值 积分限也不同的情形 这时积分限也是参变量的函数 这样 积分 也是参变量的函数 下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质 11 证 设和是上的两点 则 12 当时 上式右端最后一个积分的积分限不变 13 根据证明定理1时同样的理由 这个积分趋于零 又 其中是在矩形上的最大值 根据与在上连续的假定 由以上两式可见 当时 4 式右端的前两个积分都趋于零 于是 当时 所以函数在上连续 定理得证 14 三 莱布尼茨公式 15 证 由 4 式有 当时 上式右端的第一个积分的积分限不变 则 16 对于 8 右端的第二项 应用积分中值定理得 其中在与之间 当时 17 类似地可证 当时 因此 令 取 8 式的极限便得公式 7 公式 7 称为莱布尼茨公式 于是 18 应用莱布尼茨公式 得 解 19 例2求 解 20 例3计算定积分 考虑含参变量的积分所确定的函数 显然 根据公式 5 得 解 21 把被积函数分解为部分分式 得到 于是 22 上式在上对积分 得到 即 从而 23 例4 分小时 函数 的n阶导数存在 且 证 令 在原点的某个闭矩形邻域内连续 由定理5可得 24 即 同理 于是 25 1 含参变量的积分所确定的函数的定义 四 小结 2 含参变量的积分所确定的函数的连续性 3
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