函数的平均变化率(上课用)PPT课件.ppt

函数的平均变化率 1 突变 与 渐变 美国康乃大学曾经做过一个有名的 青蛙试验 90 的水烫不死青蛙 不到70 的水反而烫死了青蛙 这是为什么呢 试验人员把一只青蛙投入90 的热水盆中 这只青蛙遇到高温刺激 迅速做出反应 嗖 的一声蹦出了水盆 结果安然无恙 试验人员又把该青蛙投入30 的冷水盆中 然后开始慢慢加热 当水温还没有达到70 时 这只青蛙就被烫死了 变化有快有慢之分 有些变化不被人们所察觉 有些变化却让人感叹和惊讶 2 北京市某年3月和4月某天日最高气温记载如下表所示 实例分析1 问题1 从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日 哪一段时间气温变化得更 大 问题2 从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日 哪一段时间气温变化得更 快 问题3 如何量化温度变化的 快 与 慢 3 3月18日为第一天 实例分析1 温度随时间变化的图象如图所示 问题4 图中哪一段曲线更为 陡峭 4 甲和乙两人做生意 甲用5年时间挣到10万元 乙用6个月时间挣到2万元 甲 乙两人谁的经营成果更好 乙的经营成果更好 甲和乙两人做生意 甲挣了10万元 乙挣了2万元 你能否判断甲 乙两人谁的经营成果更好 实例分析2 5 如何用数学知识来反映山势的平缓与陡峭程度 6 H A B C D E Xk Xk 1 X0 X1 X2 y O 例 如图 是一座山的剖面示意图 A是登山者的出发点 H是山顶 登山路线用y f x 表示 其中自变量x表示登山者的水平位置 函数值y表示登山者所在高度 想想陡峭程度应怎样表示 登山问题 x 7 选取平直山路AB放大研究 若 自变量的改变量 函数值的改变量 直线AB的斜率 8 D1 X3 O y x x0 x1 y0 y1 A x0 y0 B x1 y1 O y x x2 x3 y2 y3 C x2 y2 D1 x3 y3 直线AB的斜率 直线CD1的斜率 x 9 竖直位移与水平位移之比的绝对值越大 即高度的平均变化量越大 山坡越陡 反之 山坡越平缓 现在摆在我们面前的问题是 山路是弯曲的 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段 每一小段的山坡可视为平直的 可以近似地刻画 举例 地球表面与平面 微分思想 也就是说 线段 所在直线的斜率的绝对值越大 山坡越陡 10 注意各小段的是不尽相同的 但不管是哪一小段山坡 高度的平均变化都可以用起点 终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量 由此我们引出函数平均变化率的概念 11 平均变化率的概念 一般地 已知函数y f x x0 x1是其定义域内不同的两点 记 x x1 x0 y y1 y0 f x1 f x0 f x0 x f x0 则当 x 0时 商称作函数y f x 在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 12 观察函数f x 的图象平均变化率几何意义是什么 O A B x y Y f x x0 x1 f x1 f x2 x1 x0 x f x1 f x0 y 割线AB的斜率 13 思考 1 x y的符号是怎样的 2 该两变量应如何对应 理解 2 若函数f x 为常函数时 y 0 3对应性 若 14 例1 求函数y x2在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 解 函数y x2在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率为 1 当取定值 取不同数值时 该函数的平均变化率也不一样 2 x0取正值 并不断增大时 该函数的平均变化率也不断地增大 曲线变得越来越陡峭 15 思考 一次函数y kx b在区间 m n 上的平均变化率有什么特点 求函数f x 2x 1在区间 3 1 上的平均变化率 变题 求函数g x 2x在区间 3 1 上的平均变化率 感知 体会 16 练习 求函数在到之间的平均变化率 17 例2 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 3 x 18 例3 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 试分别计算下列体重的平均变化率 1 从出生到第3个月 解 从出生到第3个月 婴儿体重的平均变化率为 从第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率为 反思 两个不同的平均变化率的实际意义是什么 2 第6个月到第12个月 数学应用 19 W O t 标准 A 1 20 B 1 12 C 8 5 问题1 哪个企业的治污效果好一些 问题2 在区间 t0 t1 上 哪一个企业的排污平均变化率大一些 20 对比与发现 曲线越陡峭 平均变化率越大 气温升高越快 陡峭程度 平均变化率的绝对值 越大 越小 越小 越大 曲线越陡峭 平均变化率越小 企业治污效果越好 实际问题 21 t o 路程 甲 乙 练习 1 甲乙二人跑步路程与时间的关系如图 1 所示 问甲乙二人哪一个跑得快 1 2 2 甲乙二人百米赛路程与时间的关系如图 2 所示 问快到终点时甲乙二人谁跑得比较快 t y o 甲 乙 22 练习题 1 设函数y f x 当自变量x由x0改变到x0 x时 函数的改变量为 A f x0 x B f x0 xC f x0 xD f x0 x f x0 D 2 一质点运动的方程为s 1 2t2 则在一段时间 1 2 内的平均速度为