4二元关系和函数

4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 1 4 1笛卡儿积与二元关系 在现实社会中有许多事物是成对出现的 而且其中的两个事物是有一定次序的 例如一双鞋子有左右只 影剧院的坐号的表示 排号 平面上点的表示 等 概括起来 数学上用两个有次序的元素组成一个称之为序偶的结构就可以表示现实世界中那种成对出现而且有一定次序关系的事物 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 2 两个具有固定次序的客体组成的集合 记作 序偶 1 序偶可看作是具有两个元素组成的集合 即 x x y 2 序偶刻画了两个客体间的次序 它并不表示由两个元素组成的集合 x y y x 3 序偶中的元素分别称为的第一客体与第二客体4 序偶只有当其两个客体相同且次序相同时才相等5 序偶的元素可分别来自两个集合 它们可以代表不同类型的事物 但次序确定 4 1笛卡儿积与二元关系 序偶 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 3 例1A 1 2 24 B 1 2 60 对a A b B 则为一序偶 表示几点几分 有序对不是由两个元素组成的集合 x y 例2在笛卡儿坐标系中 平面上点的坐标 x y 就是有序对 1 2 2 1 代表不同的点 1 1 2 2 代表点 允许x y 4 1笛卡儿积与二元关系 序偶 例3A为操作码集合 B为指令码集合 对a A b B 则为一序偶 表示一条地址指令 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 4 三元组是一个序偶 其第一元素本身也是一个序偶 可形式化表示为 z 三元组 1 不是一个三元组 只是一个序偶2 四 五元组类似定义3 n元组n元组是一个序偶 其第一元素为 n 1 元组可形式化表示为 4 1笛卡儿积与二元关系 序偶 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 5 设A和B是任意两个集合 若序偶的第一成员是A的元素 第二成员是B的元素 所有这样序偶的集合 称为集合A与B的笛卡尔积 直积 记作 笛卡尔积 4 1笛卡儿积与二元关系 笛卡尔积 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 6 例一天内的时间可用 时 分表示 它们的全体可用笛卡儿乘积表示 例上面例3所有指令的集合构成一个操作码与指令码集合的笛卡儿积A B 例平面上直角坐标中的所有点可用笛卡儿乘积表示 其中 R为实数集 直积不具有交换率 例设 试求A B和B A 由此得 4 1笛卡儿积与二元关系 笛卡尔积 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 7 多重直积 例A 1 2 B a b C 4 1笛卡儿积与二元关系 笛卡尔积 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 8 其中 例计算机内的字是由固定的n个有序二进位所组成 它的全体可以表示成n重有序组形式 4 1笛卡儿积与二元关系 笛卡尔积 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 9 定理设A B C为任意三个集合 则有a A B C A B A C b A B C A B A C c A B C A C B C d A B C A C B C 4 1笛卡儿积与二元关系 笛卡尔积 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 10 关系在日常生活中无处不在 我们熟知的一些常见的关系刻划着事物的结构 例设一旅馆有n个房间 每个房间可住两个旅客 所以一共可住2n个旅客 在旅馆内 旅客与房间有一定的关系 我们讨论关系 某旅客住在某房间 用R表示这种关系 设n 3旅客分别为a b c d e f旅客住房间用表示 a与1间存在关系R记aR1b与1间存在关系R记bR1 c与2间存在关系R记cR2d与2间存在关系R记dR2 e与3间存在关系R记eR3e与3间存在关系R记eR3 4 2关系及运算 关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 11 4 2关系及运算 关系 满足的关系可看成是一个有序偶 p q 如aR1可写成有序偶 a 1 满足R的所有关系可看成是一个有序偶的集合 这个集叫R 即 这种关系称为二元关系 它只涉及两个客体间的关系 若则A B的任何子集都定义了一个二元关系 关系在现实社会中处处可见如看电影对号入座关系型数据库里的关系 成绩单 等 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 12 若一个集合的元素都是有序对 则称这个集合是一个二元关系 简称关系 记为R 在R中的任一序偶 可记为 R或xRy 关系 即设有任意两个集合X和Y X Y的子集R称作X到Y的 二元 关系 当X Y时 称R为X上的二元关系 4 2关系及运算 关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 13 例实数集R上小于等于的关系为 注意前一个 为关系 后一个 为不等号 例设A a b 是2A上的包含于关系 求 解 4 2关系及运算 关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 14 前域设二元关系R 由R中的所有x组成的集合 称为R的前域 记作domR 即domR x y R 值域设二元关系R 由R中的所有y组成的集合 称为R的值域 记作ranR 即ranR x x R 域R的前域和值域一起称作R的域 记为FLDR domR ranR 例令A a b c B 1 2 3 R 则domR a b ranR 1 2 3 FLDR a b 1 2 3 关系也可以用图表来表示 如右 4 2关系及运算 关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 15 三种特殊关系 全域关系X Y的平凡子集X Y称为X到Y的全域关系 空关系X Y的平凡子集 称为X到Y的空关系 例H f m s d 写出成员关系 不相识关系 长幼关系恒等关系设Ix是X上的二元关系 且满足条件Ix x X 则称Ix是X上的恒等关系 例 4 2关系及运算 关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 16 设两个有限集合 R为X到Y的一个二元关系 对应于关系R有一个关系矩阵 关系矩阵 其中 4 2关系及运算 关系表示法 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 17 设两个有限集合 R为X到Y的一个二元关系 关系图 4 2关系及运算 关系表示法 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 18 解D x y A x y 例设A 2 3 6 8 12 32 试写出A上的整除关系D 当元素与自身够成关系时 用一个闭合的有向弧表示 关系图为 关系表为 矩阵形式为 4 2关系及运算 关系表示法 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 19 例设有六个程序 它们之间有一定的调用关系 这个关系是集合上的关系 有 关系图为 矩阵形为 4 2关系及运算 关系表示法 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 20 定理若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系 则Z S的并 交 补 差仍是X到Y的关系 例设 X从Y到的关系 则有 是从X到Y的一个新关系 有关集合的运算公式 在关系中也同样适合 4 2关系及运算 关系表示法 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 21 设R为X到Y的关系 S为从Y到Z的关系 则R S称为R和S的复合关系 即R S x X z Z y y Y R S 复合关系 例设某a与某b有 表兄妹 关系R b与c有 父子 关系S 则a与c有新关系 舅甥 关系P 是由R与S复合而成的 称关系P是关系R与关系S的复合关系 复合关系是一个从到的关系即X到Y的关系为Y到Z的关系为则复合关系为 关系是集合 可进行集合的并 交 补运算 产生新的关系 除此之外 还有其特殊的运算 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 22 例设 则 例设 从X到Y的关系 从Y到z的关系 由此得从X到Z的关系 复合关系可以用图表示如右 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 23 复合运算不满足交换律 但复合运算满足结合律 即设R是从X到Y的关系 S是从Y到Z的关系 P是从Z到W的关系 则有 R S P R S P 于是R本身所组成的复合关系可写成 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 24 复合关系可用矩阵运算表示 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 25 关系是序偶的集合 由于序偶的有序性 交换次序后将得到一个新的关系 逆关系 设R为X到Y的二元关系 如将R中每一序偶的元素顺序互换 所得到的集合称为R的逆关系 记作 即 例如父子关系的逆关系是子亲关系 关系的逆关系是 关系 也有些关系的逆关系是相等的 例如朋友关系 实数的相等关系 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 26 Rc的关系图是由R的关系图通过将其中的所有的有向弧的方向逆转得到 Rc的关系矩阵MRC可由R的关系矩阵转置得出 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 27 定理设R R1和R2都是从X到Y的二元关系 则下列各式成立 定理设T为从X到Y的关系 S为从Y到Z的关系 则 定理设R为X上的二元关系 则R是对称的 仅当R是反对称的 仅当 4 2关系及运算 运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 28 设R为X上的二元关系 如果对于x X必有xRx 称R为X上的自反关系 自反关系 即 x x X xRx 为真 例在实数R上的关系 是自反的 实数集R上小于等于的关系为 对任意x R 有x x 例平面几何上三角形的相似关系为自反的设相似三角型的集合为A 相似关系为 对任意x A 有 4 3关系及运算 性质 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 29 例在实数域上的关系 是反自反的 实数集R上小于的关系为 不是自反的未必就一定是反自反的 例在集合 上的关系 此关系既不是自反的亦不是反自反的 一个关系的自反性与非自反性可能都不存在 一个关系的自反性在图形表示法中相当于一个关系图中的每一一个结点均有环出现 而一个关系的非自反性相当于一个关系图中的每个结点均无环出现 4 3关系及运算 性质 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 30 例全集上的互补集A和是对称关系 即补集是互为的 4 3关系及运算 性质 设R为X上的二元关系 如果对于每个x y X 每当xRy 就有yRx 则称R是X上的对称关系 对称关系 例一个班级的全体学员构成的集合 朋友关系是对称的 即朋友是互为的 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 31 反对称关系 设R为X上的二元关系 对于每一个x y X 每当xRy和yRx 必有x y 则称R是X上的反对称关系 例父子关系是反对称的例包含关系是反对称的例小于等于关系是反对称的 即除了自身 别的元素没有交换关系对称关系也非必具其一 例在集合上的关系这些关系既不是对称的亦不是非对称的 关系的对称图形表示中相当于关系图中两个结点间如有边相连则一定有方向相反的两条有向边连接 一个关系的非对称图形相当于关系图中两个结点间如有有向边相连则一定只有一条边 4 3关系及运算 性质 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 32 设R为X上的二元关系 如果对任意x y z X 每当xRy yRz时必有xRz 称R是X上的传递关系 传递关系 即 为真 例实数域上的 关系是传递的 因为若x y y z则x z 例集合上的包含关系是传递的 因为若 因为若 例设A a b c R 为A上的一个传递关系 如果你感到大惑不解的话 你可以自问一下 关系R是否真的不符合定义 问题出现了 归根结底还是一种对蕴含形式给出的命题P Q的不正确的理解 P Q为真 要求的是对假设前提为真时 结论Q一定为真 除此之外 它并不理会别的什么 反过来说 你要证实P Q不是真的 只能通过举一个反例的方法才成 即找出一种情况 这时P成立 为真 而Q不成立 为假 那么 在此例中 R 你能找到这样的三个元素x A y A z A 使得xRy yRz都成立吗 不能 这就是说既然你举不出一种假设前提为真的情况 你又如何去论证P Q为假呢 于是又回到过去讲过的 善意推断 4 3关系及运算 性质 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 33 4 4关系的闭包运算 前面介绍的关系的运算 都是构成新关系的一种途径 闭包运算是通过对其进行扩充序偶来构成一种新的关系 闭包 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 34 例设A a b c R r R 若在添加得R 虽然也是自反的 但却不是最小的了s R t R 例集合上的 关系 它的自反闭包对称闭包传递闭包都是自身 自反闭包 对称闭包 传递闭包分别是包含原关系的最小自反关系 对称关系 传递关系 如何寻找闭包呢 下面给出了寻找它们的法则 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 35 定理设R是X上的二元关系 那么R是自反的 当且仅当r R RR是对称的 当且仅当s R RR是传递的 当且仅当t R R 例R 则r R RR 则S R RR 则t R R 此定理用于判断 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 36 定理设R是集合X上的二元关系 则r R R Ix例设A a b c d 则Ix R Ix r R 自反闭包的构造 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 37 定理设R是集合X上的二元关系 则S R R Rc例设R 则Rc s R R Rc 对称闭包的构造 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 38 定理设R是集合X上的二元关系 则 定理设X是含有n个元素的集合 R是X上的二元关系 则存在一个正整数k n 使得 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 39 例设A a b c d R 求t R 解R2 R3 R4 故t R 用矩阵形式表示 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 40 当有限集X元素太多时 运算较麻烦 这是有如下算法 传递闭包R 的Warshall算法 1 置新矩阵A M 2 置i 1 3 对所有j 如果A j i 1 则对k 1 2 n 有A j k A j k A i k 4 i加1 5 如果i n 则转到步骤 3 否则停止 例P124 3 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 41 4 4关系的闭包运算 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 42 4 5等价关系和偏序关系 覆盖与划分 若把一个集合A分成若干个叫做分块的非空子集 使得A中每个元素至少属于一个分块 这些分块的全体叫做A的一个覆盖 即设A为非空集合 覆盖 则集合S称作集合A的覆盖 例学校运动员全体人员组成的集合为A 每个运动队为一Si 则所有的运动队组成了A的一个覆盖 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 43 划分 设S为A的一个覆盖 若A中的每个元素属于且仅属于S的一个分块 那末S称作是A的一个划分 即若S是集合A的覆盖 且满足Si Sj 这里 i j 则称S是A的划分 例如人群中的同姓关系 性别关系 年龄段关系等 都是人群的划分 覆盖是可以重叠的 而划分是不能重叠的 4 5等价关系和偏序关系 覆盖与划分 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 44 4 5等价关系和偏序关系 覆盖与划分 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 45 例如两个色子投掷点数的集合 如何划分 如何加细 4 5等价关系和偏序关系 覆盖与划分 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 46 4 5等价关系和偏序关系 覆盖与划分 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 47 等价关系 设R为定义在集合A上的一个关系 若R是自反的 对称的和传递的 则R称为A上的等价关系 例人群所组成的的集合上的 同姓 关系是等价关系例所有三角形所组成的集合上的 相似 关系是等价例在坐的所有人 同学 关系是等价的 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 48 例X是整数集 X上的关系R 此关系是等价关系 m为任意正整数既 满足这个关系R的x和y 用m除所有相同的余数这个关系也叫同余关系或称以m为模的同余关系 一般将xRy写成叫做x与y对模m是同余的的 这种式子称为同余式用上例方法可证 同余关系是一个等价关系 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 49 等价类 设R为集合A上的等价关系 对任何a A 集合 a R x x A aRx 称为元素a形成的R等价类 例两个人同姓 这个关系为等价关系所有同姓的人构成一个等价类 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 50 等价类的性质 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 51 集合X上的等价关系R所够成的类 它们两两互不相交且覆盖整个集合X 故它们构成X的一个划分 而每个类是这个划分的快 由此得 商集 即商集是由等价类为元素构成的集合 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 52 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 53 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 54 定理设给定集合A上等价关系R 对于a b A 有aRb iff a R b R 定理集合A上有一个等价关系R 决定了A的一个划分 该划分就是商集A R 定理集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系 利用关系式很容易判断等价关系和等价类 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 55 其关系图为 从图中知 此关系满足自反性 对称性 传递性 即为等价关系R的等价类有3类 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 56 例设集合上的关系R为 关系图为 由图知R为等价关系 等价类 4 5等价关系和偏序关系 等价关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 57 偏序集 设A是一个集合 如果A上的一个关系R 满足自反性 反对称性和传递性 则称R是A上的一个偏序关系 并记为 序偶称为偏序集 例由集合A所组成的幂集2A上的关系是自反的 非对称的 传递的 故他是编序的 例奇数集I上的 是偏序关系 例一个单位里 部门的隶属关系是偏序 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 58 例证明集合A 2 3 6 8 12 16 24 32 上的 整除 关系R x y y x 整数 是偏序的 证明1 因为每一个非零整数都可以整除它自己 所以R是自反的 2 任取两个整数x y A 并设 则有x py pqx 即pq 1p 1 q 1故x y 即R非对称 3 任取两个整数x y z A 并设 则有z py pqx pq为整数 故 即R可传递 故R为一偏序 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 59 偏序关系因为反对称 所以关系图中是单向箭头 盖住关系 从关系图中看 就是把间隔的关系去掉 如上例 8为2的盖住 16为8的盖住 32为16的盖住等 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 60 哈斯图 链设是一个偏序集合 在A的一个子集中 如果每两个元素都是有关系的 则称这个子集为链 例如上例中B1 3 6 12 24 B2 2 6 24 B3 2 8 32 B4 2 16 都是链 虽然从哈斯图上看 很多链都是由一条折线上的所有点组成 但这不是必须的 如上例的链B2 B3 B4就是如此 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 61 反链设是一个偏序集合 在A的一个子集中 如果每两个元素都是无关系的 则称这个子集为反链 若A的子集只有单个元素 则这个子集既是链又是反链 例C1 3 C2 6 8 C3 8 12 都是反链 从哈斯图上看到 每个链中总可以从最高节点出发 沿着盖住方向遍历该链中所有节点 每个反链中任何两个节点间均无连线 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 62 全序集 设为一个偏序集 若A是一个链 则称是全序集或线序集 在这种情况下 二元关系称为全序关系或线序关系 例如上例中B1 3 6 12 24 构成的集合 集合A本身由链构成 形如线型 例自然数N构成的集合 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 63 极大元 设是一个偏序集合 且B是A的子集 对于B中一个元素b 如果B中没有任何元素x 满足b x 且bx 则称b为B的极大元 极小元 设是一个偏序集合 且B是A的子集 对于B中一个元素b 如果B中没有任何元素x 满足b x 且xb 则称b为B的极小元 例P99 4 16 极大元和极小元不是唯一的极大元之间没有关系 极小元既是极大元在哈斯图的顶部 极小元相反 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 64 最大元 设是一个偏序集合 且B是A的子集 对于B中某个元素b 如果对B中每个元素x 都有xb 则称b为的最大元 最小元 设是一个偏序集合 且B是A的子集 对于B中某个元素b 如果对B中每个元素x 都有bx 则称b为的最小元 极大元和最大元是有区别的 最大元是唯一的 极大元却不 极大元含有不可比元素 例P99 4 16 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 65 上界 最小上界 上确界 下界 最大下界 下确界 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 66 上界与最大元是有区别的 B的最大元必须属于B 而上界不一定属于B 但要属于A最大元如果存在 则唯一 上下界则不是唯一的 例在本节的范例中子集B 2 3 6 B没有最小元 也没有下界B有最大元6 6也是上界且为上确界另外还有上界12 24 这两上界属于A B 即使有多个上界存在 上确界也不一定存在 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 67 上下确界若存在则是唯一的 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 68 任一偏序集合 假如它的每一个非空子集存在最小元素 这种偏序集称为良序集 定理每一个良序集合 一定是全序集合 定理每一个有限的全序集合 一定是良序集 良序集 4 5等价关系和偏序关系 偏序关系 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 69 序偶 笛卡尔积 关系 前域 值域 域 1 三种表示法2 复合与逆关系 三种表示法 3 自反 对称 传递及其闭包与生成4 等价关系与等价类 划分与商集5 偏序集 盖住 哈斯图 链与反链 全序集 极小 大 最小 大 上下界与上下确界接P118 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 70 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 71 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 72 从集合X到Y的关系成为函数要满足两个条件 X的每个元素都要有象 存在性条件 X的每个元素都只有一个象 唯一性条件 当用矩阵表示X到Y的函数f时 矩阵的每一行必须有且只有一个值为1的项 例如上图函数的矩阵是 用集合表示为 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 73 一些术语如 变换 映像 映射 运算 等都是函数的同义词 符号f X Y 或XY用来表示f是X到Y的函数 下面是一些函数的例子 1 设X a b 1 2 Y 3 5 7 f 显然 等等 2 设X Y R 实数集 显然f对应一条在x轴上方顶点在原点的折线 3 设 P Q R表示命题演算的一个合式公式 对每一个命题变元都能且只能以V F T 中的两元素之一代入 其结果对应一张真值表 于是合式公式表示一个从的函数 实际上 我们早在第二章里就用过命题函数这个名词 定义一个函数 只是规定一种将集合X中每一元素变换成另一集合Y 允许Y X 中确定的一个元素的规则 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 74 函数相等 即定义域和对应关系相同的函数相等 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 75 函数集合 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 76 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 77 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 78 三类特殊的映射 单射 不同的x函数值不同满射 B为A的值域双射 一一对应 或入射 4 6函数的概念 注意f A 与f x 的区别f A 为A在f下的像集f x 为x在f下的像 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 79 4 6函数的概念 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 80 4 7逆函数和复合函数 逆函数 一 逆函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 81 以上分析说明了双射是函数有逆函数的必要条件 还容易证明双射也是函数可逆的充分条件 这是说 一个建立在X到Y上的双射 则f作为二元关系 它的逆关系也一定是一个函数 且也是双射 定理一个函数可逆的充分必要条件为函数是双射 并且逆函数也是双射 由逆函数的定义可知 若函数f可逆 则必有 4 7逆函数和复合函数 逆函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 82 二 复合函数 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 83 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 84 例求上图中给出的g在f左复合所得复合函数 解关系的任何普遍成立的性质 函数亦同样具有 所以现在用矩阵的布尔乘法来计算该复合函数 故 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 85 函数复合的结合性 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 86 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 87 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 88 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun northeasternUniv 89 4 7逆函数和复合函数 复合函数 4 15 20204 15AM liuqun n