第六章一次函数讲学案.doc

第六章 一次函数单元解读单元学习目标：1、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展同学们的抽象思维能力；经历一次函数的图象及性质的探索过程，在合作与交流活动中发展同学们的合作意识和能力.2、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展同学们的数学应用能力；经历函数图象信息的识别应用过程，发展同学们的形象思维能力.3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系.4、能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并列用它们解决简单的实际问题.单元整体感知本章节第一小节通过生活中的实例，确定出两个变量之间的关系，从而引出函数的概念，为后续章节的学习做好准备。第二小节学习一种特殊的函数一次函数，并通过生活中的实例利用一次函数来解决问题。第三小节，对一次函数进行进一步的研究一次函数的图象，并对一次函数的图象性质进行研究，并试着通过在直角坐标系中描点、连线，得出一次函数的图象。第四小节，通过待定系数法，设出一次函数的表达式，并通过将已知点的坐标代入，求得一次函数的表达式。第五小节，应用一次函数解决实际问题。通过练习，掌握一次函数在生活中应用的广泛及重要性。引起学生的重视。单元知识结构框图：6.1：函数目标导学:1.掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。2.会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。3.通过观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。预习导学：1什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？2.一般地，在某个中，有两个变量x和y,并且对于变量x的_值，变量y都有_的值与它对应，我们就称y是x的函数，其中_是自变量，_是因变量。3.表示函数的方法一般有：_、_和_。探究导学：问题1.同学们，你们坐过摩天轮吗？如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度又是如何变化的？（1）当我们坐在这个摩天轮上时，我们离开地面的高度有没有规律？（2）根据图6-1(图略)（课本144页）填写表格并回答以下问题：t/分0123456h/米对于给定的时间t，相应的高度h确定吗在这个问题中，我们研究的对象有几个？分别是什么？这种呈现变量的方式是什么？问题2.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表：问题3.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273，则气体的压强为零.因此，物理学把-273作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t()之间有如下数量关系：T=t+273,T0.（1）当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？（2）给定一个大于-273 的t值，你能求出相应的T值吗？总结：思考以上三个问题：1.在上面的问题中，都有_个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应的就确定了_（因变量）的值.2.一般地，在某个中，有两个变量x和y,并且对于变量x的_值，变量y都有_的值与它对应，我们就称y是x的函数，其中_是自变量，_是因变量。3点明函数概念中的两个关键词：(1)两个变量(2)一个x值确定一个y值，它们是判断函数关系的关键。4.表示函数的方法一般有：_、_和_。指出下列关系式中的变量与常量：（1）球的表面积S（cm2）与球半径R（cm)的关系式是 R2（2）以固定的速度V0（米秒）向上抛一个球，小球的高度（米）与小球运动的时间（秒）之间的关系式是V0t-4.9t2.对标训练：1、指出下列关系式中的变量与常量：（1）球的表面积S（cm2）与球半径R（cm)的关系式是 R2（2）以固定的速度V0（米秒）向上抛一个球，小球的高度（米）与小球运动的时间（秒）之间的关系式是V0t-4.9t2.2、在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式,其中V表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）计算当速度为50，60，100时，相应的滑行距离S是多少？给定一个V值，你能求出相应的S值吗？3、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x 10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？堂堂清1.购买单价为50元的篮球，所购买的总数n（个）与总价m（元）的函数关系式为_，其中_是自变量，_是因变量.2.某商贩购进一批苹果，到市场零售，已知卖出的苹果数x与售价y(元)的关系如下表：x /千克12345y/元2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5 (1)售价y(元)与卖出的苹果数x的函数关系可以表示为 ；(2) 卖出苹果数150千克时，得到苹果货款多少元？(3) 卖出苹果数多少千克时，得到苹果货款210元？3.判断：如图所示，y是x的函数吗？为什么？ xyo图(1)xyo图(2)yxo图（3）6.2：一次函数目标导学:1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。2.能应用概念解决相关问题。能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。预习导学：根据题意列出函数关系式：1.圆周长y(cm)与它的半径x(cm)之间的函数关系式为 2.某种汽油4.50元/L，加油x(L),应付费y（元），那么y与x之间的函数关系式为 。如果加油前，汽车的油箱内还剩6L汽油，已知加油枪的流量为10L/min，那么加油过程中，油箱中的油量y(L)与加油时间x(min)之间的函数关系式为 。3.一颗小树现在高50cm，据介绍这种树平均每个月长高2cm，则这棵树的高y（cm）与时间x（月）之间的函数关系式 。4.电信公司推出无线市话服务，收费标准为月租费25元，本地网通话费为每分钟0.1元。如果用(y)元表示每月应缴费用，用x（min）表示通话时间（不足1min按1min计算），那么y与x之间的函数关系式为 。思考：上述函数关系式有什么共同点？探究导学：1.一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示成_，那么称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地， ，称y是x的正比例函数。则正比例函数 （填“是”或“不是”）一次函数。2.注意：（1）、自变量的指数为一次（2）、含自变量的式子为整式（3）、k 03.思考：一次函数与正比例函数的一般形式是什么？它们有什么区别与联系？对标训练：1. 下列变化过程中，变量y是变量x的一次函数吗？是正比例函数吗？（1）正方形面积y与边长x之间的函数关系；（2）正方形周长y与边长x之间的函数关系；（3）长方形的长为常量a时，面积y与宽x之间的函数关系式；（4）高速列车以200km/h的速度驶离A站，在行驶过程中，这列火车离开A站的路程y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系；（5）AB两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系；2.下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）y=x-6；y=；y=；y=7-xA、 B、 C、 D、拓展延伸1.已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时， y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？联系: （1）一次函数需要满足哪些条件？ (2)正比例函数需要满足哪些条件？2.变式：设函数y=（m-3）x3-m+m+2.(1当m为何值时，它是一次函数。(2)当m为何值时，它是正比例函数。堂堂清1、下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）2、小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已有20元，从现在开始，每周存入5元，那么小明的存款y与从现在开始的周数x的关系为 是 函数 。 3、已知函数y=(m24)x4n(m2)，当m 且n 时，它是一次函数；当m 且n 时它是正比例函数4、已知a1(b2)2=0,则函数y=(b3)xab28b16是什么函数？当x= 时函数值y是多少？6.3：一次函数的图象（1）目标导学:能用两点法画出正比例函数的图象，并归纳出正比例函数图象的性质预习导学1、下列哪些函数是正比例函数？（1）y=-3x (2) y=x+3 (3) y=4x (4) y=x22.画函数图象的步骤：_ _ _探究导学：函数图象的概念把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的 和 ，在直角坐标系内描出它的 ，所有这些点组成的图形叫做该函数的 .注：由此概念，函数图象的每一个点的坐标都满足函数表达式。活动一：探究正比例函数图象-要求用描点法画出正比例函数y=2x和y=x的图象1、 y=2x 2、 y=x解：（1）列表得： 解：（1）列表得：x-2-1012y=2x x -3-2-1012y=-2x 活动二：观察与猜想：观察所画图象，填写你发现的规律：（1） 两个函数的图象是经过原点的 _（图象形状），（2） 两个函数的图象经过第_象限，从左到右_，即y随x的增大而_；（3） 函数（)的图象是一条经过原点的 ，图象经过第_象限，从左到右_，即y随x的增大而_；活动三：探究正比例函数图象-要求用描点法画出正比例函数y=2x和y=1.5x的图象1、 y=2x 2、 y=1.5x解：（1）列表得： 解：（1）列表得：x-2-1012y=2x x -3-2-1012y=-2x 活动四：观察与猜想：观察所画图象，填写你发现的规律：（4） 两个函数的图象是经过原点的 _.（5） 两个函数的图象经过第_象限，从左到右呈_趋势，即y随x的增大而_；（6） 函数（)的图象是一条经过原点的 ，经过第_象限，从左到右呈_趋势，即y随x的增大而_；（7） 正比例函数y=kx（k0）也可称它为直线y=kx。活动五、两点法画正比例函数的图像试一试：用最简单的方法在同一平面直角坐标系画出下列函数的图像 y=2x ； y=-2x； y=x ； y=x ； y=x ； y= x你发现了什么？在小组内交流。于是我发现正比例函数的图像具有下列性质（1）正比例函数y=kx(k是常数，k0)是一条经过 的 。我们称之它为直线y=kx.（2）当k 0时，直线y=kx经过_象限，从左向右_,y随着x的增大而_.当k 0时，直线y=kx经过_象限，从左向右_,y随着x的增大而_.（3）因为过_点只有一条直线，所以我们在画正比例函数图像时，只需要确定两个点通常是（ ， ）和（ ， ）对标训练：1.总结归纳 完成下表 正比例函数y=kx（k0）的图象和性质k的符号图象性质k0经过第 象限y的值随x的值增大而 ，（ 趋势）k0y经过第 象限y的值随x的值增大而 ，（ 趋势）2、（1）. 正比例函数y=（m1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（ ）A. m =1 B. m1 C. m1 D. m1（2）正比例函数y=(3-k)x,如果随着x的增大y反而减小，k的取值范围是_.（3）函数y=3x的图象经过第 象限,经过点(0, )与点(1, ),y随x的增大而 （4）函数的图象经过第 象限,经过点(0, )与点(1, ),y随x的增大而 (5)如果函数 y= - kx 的图象经过一、三象限,那么y = kx 的图象经过 _象限。 3、已知正比例函数y=(1-2a)x(1)若函数的图像经过第一、三象限，试求a的取值范围；(2)若点A (x1,y1)和点B(x2,y2) 为函数图像上的两点，x1y2，试求a的取值范围。堂堂清1 正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是 ( ) A.m=1 B.m1 C.m1 D.m12. 正比例函数y=（m1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（ ）A. m=1 B. m1 C. m1 D. m13.已知点（-2,6）经过函数y=kx的图像，则k的值是（ ）A.-3 B.-2 C.3 D.24. 正比例函数y=(3-k) x,如果随着x的增大y反而减 小，则k的取值范围是 _.5.正比例 函数 y=-4x的图像是经过（ ）和（ ）两点的一条直线， y随x的_6.下列函数(1)y=5x,(2)y=-3x,(3)y=1/2x,(4)y=-1/3x中，y随x的增大而减小的是_7.已知A(x，y) B(x，y)在直线y=3x上，如果x x;则y_y8. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像经过二、四象限，求a的取值范围9. 已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的图像经过第几象限？10. 如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：谁走得快？求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围当t = 4时，甲、乙两人行程相差多少？6.3：一次函数的图象（2）目标导学:1、理解函数图象的概念。2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。4、能较熟练作出一次函数的图象。预习导学把一个函数的 与对应的 的值分别作为点的 和 ，在 内描出它的对应点， 组成的图形叫做该函数的图象。假设在代数表达式y=2x中，自变量x取1时，对应的因变量y= ，则我们可在直角坐标系内描出表示 的点，再给x的另一个值，对应又一个y，又可知道直角坐标系内描出另一个点，所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象，由此看来，函数图象是满足函数表达式的所有点的集合。探究导学：1.作一次函数的图象例1：作出一次函数y=2x+1的图象解：列表：x-2-1012y=2x+1描点：连线：小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1） （2） （3） 2.做一做（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。解：列表：xy=-2x+5描点：连线:3.议一议（1）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？ 4.小结： 一次函数y=kx+b的图象是_，因为两点确定一条_，因此作一次函数y=kx+b的图象时，只要确定_个点，再过这_个点作直线就可以了。一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。对标训练：分别作出一次函数和y=-3x+9的图象。 x y=x x y=-3x+9（选取适当的单位长度作图）堂堂清用两点法作出下列一次函数的图象：（1）、y=4x-2 （2）、【中考链接】设函数（1）、m为何值时，它是一次函数，并求出m的值.（2）、画出此时函数的图象.6.3：一次函数的图象（3）目标导学:1.理解一次函数及其图象的有关性质及应用，进一步培养学生数形结合的意识和能力。2.理解一次函数与正比例函数图像的关系预习导学（1）一次函数的图象是_，由直线的公理：_确定一条直线可知，作一次函数的图象时，只要确定_个点，再过这两个点作直线就可以了。（2）一次函数y=kx+b（k0）与x轴的交点是（ ）与y轴的交点是( ).（3）一次函数y=kx+b（k0）的图象是一条经过（0，_）,(_,0)的直线正比例函数y=kx（k0）的图像是一条经过_的直线。探究导学：（一）阅读课本p157页做一做：（1）完成作图（2）解决“议一议”中的问题小结：一次函数y=kx+b的图象经过（0，b）.当k0时，y的值随着x的增大而增大；当k0时，y的值随着x的增大而减小。(二) xy在同一坐标系中画出y=2x , y=2x+4, y=2x-4的图像1.小组讨论：观察图像，这三条直线有怎样的位置关系？2.归纳：一次函数y=kx+b（k0）的图象可以由正比例函数y=kx（k0）_得到,当b0 时_;b0，b0 B. k0，b0，b0 D. k0 已知一次函数y=(m1)x+1的图象上两点A（x1，y1），B（x2， y2），当x1x2时，有y10 B. m1 D. m13.若一次函数的图象经过一、二、三象限,则应满足的条件是:（ ）A. B. C. D.4.一次函数y=2x3的图象可以看作是函数y=2x的图象向_平移_个单位长度得到的，它的图象经_象限，y随x的增大而_.5.已知一次函数y=(2m+4)x+(3n).当m、n是什么数时，y随x的增大而增大？当m、n是什么数时，函数图象经过原点？若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围6.4：确定一次函数的表达式目标导学:1.了解一个条件确定一个正比例函数，两个条件确定一个一次函数。2.会用待定系数法求出一次函数和正比例函数表达式。预习导学1、正比例函数的图象有什么特点？小明画了如图所示的一条直线，你能知道他画的直线的表达式是什么吗？一次函数还有其他的表示方法吗？2、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： 问题1：在物体下滑的过程中，时间和速度都是变量，速度与时间的这种关系与我们学过的哪种函数类似？问题2：如果想知道每个时刻物体的速度，通过图象能否确定？例如下落0.2秒的速度？问题3：如图，观察图象，你能得到哪些信息？问题4：请写出 v 与 t 的关系式； 问题5：下滑3秒时物体的速度是多少？想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？探究导学：1、若一次函数 y = 2x + b 的图象经过点A(-1，4），则 b=；该函数图象经过点B(1，）和点C（，0）。2、假如又有同学画了如下一条直线，你能知道该函数的表达式吗？想一想：确定一次函数的表达式需要几个条件？ （2题图）例1、下表中，y是x的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表。x-3-2-101y64 例2 、在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出 y 与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。（你应该怎样做？）例3、已知点A(3，0)、B(0,-3)、C（1，m）在同一条直线上，求m的值。总结：确定一次函数表达式的步骤：、设：_、代:_、求:_、写:_对标训练：1、根据条件确定一次函数的表达式：y是x的正比例函数，当x=2时，y=6，求y与x之间的关系式。2、直线 l 是一次函数y=kx+b的图象，（1）k=，b=。（2）当x=30时，y=。（3）当y=30时, x=。3、若直线 y = kx + b 经过点（0，2），且与坐标轴围成等腰 直角三角形，试求该直线的函数表达式。拓展延伸某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如下图所示：写出y与x之间的函数关系式；旅客最多可免费携带多少千克行李？堂堂清1、已知，一次函数的图象与直线y=2x平行，且过点（-1，1），试求这个一次函数的表达式。2、若函数 y=kx+b 的图象经过点（0,-1），（-3,2），求k，b的值及函数表达式。3、若一次函数y=kx+b的图象经过（-3,2）和（1,6）两点, 你能确定该函数的表达式吗？6.5：一次函数的应用（1）目标导学:1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识预习导学一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.(1)农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前 与 之间的关系(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?探究导学：1、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱持续时间t（天）与蓄水量V（万米3）的关系如下图所示，回答下列问题：水库干旱前的蓄水量是多少？干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报。干旱多少天后将发出严重干旱警报？按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？（请大家根据图象回答问题，有困难的同学，请与同伴互相交流。）2、某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x (千米)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？对标训练：1、看图填空（1）当y=0时，x=_；（2）直线对应的函数表达式是_。2、某汽车行驶时间t(时)与该汽车对于某城市的距离y(千米)之间的关系式为 ，其图象如图所示：(1)在1时至3时之间，汽车行驶的路程是多少？(2)你能确定k的值吗？这里k的具体含义是什么？拓展延伸1、议一议一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？2、图象如图所示，根倨图象回答下列问题：（1）当y=0时，x值是多少？（2）x为何值时，y 0？堂堂清在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回设汽车从甲地出发（h）时，汽车与甲地的距离为（km），与的函数关系如图所示根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中与之间的函数表达式；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离分析：通过图像提供的信息，收集处理信息，并且解决实际问题，是近几年中考的热点之一，既考查了数学思想方法（数形结合思想），又考查了阅读、观察、比较、分析和处理信息的综合能力。6.5：一次函数的应用（2）目标导学:1、进一步训练学生的识图能力2、能利用函数图象解决简单的实际问题。预习导学如图，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L 2反映了该公司产品的销售量的关系，根据图象填空。当销售量为2吨时，销售收入=_元，销售成本=_元；当销售量为6吨时，销售收入=_元，销售成本=_元；当销售量等于_时，销售收入等于销售成本；当销售量_时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_时，该公亏损（收入小于成本）；L1对应的函数表达式是_；L2对应的函数表达式是_。探究导学：1、某公司准备与汽车租赁公司签证租车合同，以每月用车路程xkm计算，甲汽车租赁公司的月租费是y1元，乙公司租赁公司的月租费是y2元。如果y1、 y2与x之间的关系如图所示，那么：（1