2019高考数学二轮复习专题五函数与导数、不等式第5讲导数与函数零点、不等式问题课件

第5讲导数与函数零点 不等式问题 高考定位在高考压轴题中 函数与方程 不等式的交汇是考查的热点 常以含指数函数 对数函数为载体考查函数的零点 方程的根 比较大小 不等式证明 不等式恒成立与能成立问题 真题感悟 因为x1 x2 所以x1x2 256 所以g x 在 256 上单调递增 故g x1x2 g 256 8 8ln2 即f x1 f x2 8 8ln2 1 利用导数研究函数的零点函数的零点 方程的实根 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的变化趋势 数形结合求解 2 三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下 由于当x 时 函数值也趋向 只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可 存在两个极值点x1 x2且x1 x2的函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的零点分布情况如下 考点整合 3 利用导数解决不等式问题 1 利用导数证明不等式 若证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果能证明f x 在 a b 上的最大值小于0 即可证明f x g x x a b 2 利用导数解决不等式的 恒成立 与 存在性 问题 f x g x 对一切x i恒成立 i是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x i x i 使f x g x 成立 i与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x i 对 x1 x2 i使得f x1 g x2 f x max g x min 对 x1 i x2 i使得f x1 g x2 f x min g x min 温馨提醒解决方程 不等式相关问题 要认真分析题目的结构特点和已知条件 恰当构造函数并借助导数研究性质 这是解题的关键 探究提高1 三步求解函数零点 方程根 的个数问题 第一步 将问题转化为函数的零点问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点问题 第二步 利用导数研究该函数在该区间上单调性 极值 最值 端点值等性质 进而画出其图象 第三步 结合图象求解 2 根据函数零点情况求参数范围 1 要注意端点的取舍 2 选择恰当的分类标准进行讨论 训练1 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b f 0 c f 0 b 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y bx c 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c f x 3x2 8x 4 2 证明由 1 知 f x 存在两个极值点时 当且仅当a 2 由于f x 的两个极值点x1 x2满足x2 ax 1 0 x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 故 x 在x 1处取得极小值 也是最小值 x min 1 0 综上 当a 1时 f x min 1 a 当x 1 a 时 f x 0 f x 为减函数 当x a e 时 f x 0 f x 为增函数 当1 a e时 f x min a a 1 lna 1 所以f x min f a a a 1 lna 1 f x min f e e a 1 又g x 1 ex x 2 由题意知 f x x e e2 的最小值小于g x x 2 0 的最小值 由 1 知f x 在 e e2 上单调递增 探究提高1 1 涉及不等式证明或恒成立问题 常依据题目特征 恰当构建函数 利用导数研究函数性质 转化为求函数的最值 极值问题 在转化过程中 一定要注意等价性 2 对于含参数的不等式 如果易分离参数 可先分离参数 构造函数 直接转化为求函数的最值 否则应进行分类讨论 在解题过程中 必要时 可作出函数图象草图 借助几何图形直观分析转化 2 恒成立 与 存在性 问题的求解是 互补 关系 即f x g a 对于x d恒成立 应求f x 的最小值 若存在x d 使得f x g a 成立 应求f x 的最大值 应特别关注等号是否取到 注意端点的取舍 训练2 2018 全国 卷 已知函数f x ex ax2 1 若a 1 证明 当x 0时 f x 1 2 若f x 在 0 只有一个零点 求a 1 证明当a 1时 f x 1等价于 x2 1 e x 1 0 2 解设函数h x 1 ax2e x 当a 0时 h x 0 h x 没有零点 当a 0时 h x ax x 2 e x 当x 0 2 时 h x 0 所以h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 f x 在 0 只有一个零点当且仅当h x 在 0 只有一个零点 1 重视转化思想在研究函数零点中的应用 如方程的解 两函数图象的交点均可转化为函数零点 充分利用函数的图象与性质 借助导数求解 2 对于存在一个极大值和一个极小值的函数 其图象与x轴交点的个数 除了受两个极值大小的制约外 还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约 在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件 3 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h x 0 其中找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 4 不等式恒成立 能成立问题常用解法 1 分离参数后转化为最值 不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下 采用分离参数转化为函数的