2-1导数的概念.doc

章节题目 导数的概念内容提要1、 第一章回顾-三个方面（函数、极限、连续）2、 问题的引出-两个引例（切线斜率、瞬时速度）3、导数的定义-函数增量与自变量增量比值的极限（函数变化率）4、定义求导法-三个步骤（求增量、算比值、取极限）5、导数几何意义-切线的斜率（切线、法线方程）重点分析 1、 导数定义-建立导数概念与极限思想之间的联系，理解导数本质 就是函数变化率，这是在实际应用问题中熟练引入导数的基础。2、 定义求导法-运用相关极限的运算方法求增量比的极限，这是推导 基本初等函数求导公式的基本方法。3、 导数几何意义-将求导的数量结果与几何图形相结合，为后续利用导 数研究函数图形及相关性质奠定基础。难点分析1、 导数定义-如何深刻理解导数实质就是函数变化率问题的思想， 怎样将工程技术及经济问题中的函数变化率问题转化为数学中求导问题。2、 定义求导法-求增量比值的极限关键是熟练运用极限运算方法尤其 是未定型极限的运算方法，这是上一章的重点也是难点所在。习题布置 P86 2 ；P87 10、13备注参考教材：同济大学数学系编高等数学第六版 ，高等教育出版社授课时间：45分钟教 学 内 容第一章内容回顾 第一章主要讨论了与一元函数微积分密切相关的三个内容：函数、极限、连续。函数-微积分的研究对象极限-微积分的理论基础和研究工具连续-微积分研究对象的一般要求第二章将在此基础上研究一元函数的导数与微分，本节首先介绍导数的概念。一、问题的引出两个引例1.切线斜率 已知曲线C: y=f(x), 为曲线C在点处的切线. 求切线的斜率yf(x0+x)f(x0)xx0+xx0My=f(x)TN基本思想：将切线看成是割线的极限状态，通过求割线的斜率从而求出切线的斜率。割线的斜率为：当时，切线的斜率为：2.变速直线运动物体的瞬时速度已知物体作变速直线运动，运动方程为，求物体在时刻的瞬时速度。 t0+tt00S=S(t)在时刻给自变量以增量，则在时间段内物体运动的平均速度，当时，故 两个问题的共性：所求量均为函数增量与自变量增量之比的极限。 由此我们抽象出导数的定义：二、导数的定义设函数在内有定义，当自变量在处取得增量，使得时，相应函数的增量为，若函数增量与自变量增量比值的极限存在，则称函数在点处可导，称此极限为在点处的导数，记为，即：也可表示为：，1导数本质是描述函数变化率，反映因变量随自变量变化而变化的快慢程度由定义，引例1及引例2所讨论的问题均为导数：斜率，反映切线上在点处纵坐标y随横坐标x变化而变化的快慢程度。速度，反映在时刻位移S随时间t变化而变化的快慢程度。类似描述函数变化率的问题还有：1） 加速度反映速度随时间变化而变化的快慢程度：2） 电流强度反映电量随时间变化而变化的快慢程度：3） 线密度反映质量随长度变化而变化的快慢程度：由定义求导数的步骤: 1）求增量2）算比值 3）取极限 例1求函数在处的导数（黑板版书）解： 2导函数 若存在，则称函数在开区间可导，称为函数的导函数，记为，。 一般情况下所指函数的导数均为导函数。思考题1（课堂提问）函数在某点处的导数与导函数有什么区别与联系？区别：一个是数值，另一个是函数是一个具体的数值，是定义在上的一个新函数。联系：在某点处的导数是导函数在处的函数值即：=注意：三、导数的几何意义 (多媒体课件演示)表示过曲线上已知点所作切线的斜率。即：=（为切线与轴正向夹角）。切线方程为： 法线方程为：例2求曲线在点处的切线和法线方程 （黑板版书计算过程，多媒体课件演示图形）解：由导数的几何意义, 求切线斜率（先求导函数再求导函数值，与例1直接求某一点的导数相比较，加深对导数和导函数的认识）故切线斜率为：切线方程为法线方程为四、小结1、两个引例：切线斜率问题，瞬时速度问题；由其共性引出导数的基本思想。2、导数的定义：增量比值的极限，本