二重积分的概念及计算PPT课件.ppt

1 第10章重积分 10 1二重积分 一 引例 二 二重积分的定义及可积性 三 二重积分的性质 四 曲顶柱体体积的计算 五 利用直角坐标计算二重积分 六 利用极坐标计算二重积分 七 二重积分换元法 Page2 解法 类似定积分解决问题的思想 一 引例 1 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底 xoy面上的闭区域D 顶 连续曲面 侧面 以D的边界为准线 母线平行于z轴的柱面 求其体积 大化小 常代变 近似和 求极限 Page3 1 大化小 用任意曲线网分D为n个区域 以它们为底把曲顶柱体分为n个 2 常代变 在每个 3 近似和 则 中任取一点 小曲顶柱体 Page4 4 取极限 令 Page5 2 平面薄片的质量 有一个平面薄片 在xoy平面上占有区域D 计算该薄片的质量M 度为 设D的面积为 则 若 非常数 仍可用 其面密 大化小 常代变 近似和 求极限 解决 1 大化小 用任意曲线网分D为n个小区域 相应把薄片也分为小区域 Page6 2 常代变 中任取一点 3 近似和 4 取极限 则第k小块的质量 Page7 两个问题的共性 1 解决问题的步骤相同 2 所求量的结构式相同 大化小 常代变 近似和 取极限 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 Page8 二 二重积分的定义及可积性 定义 将区域D任意分成n个小区域 任取一点 若存在一个常数I 使 可积 在D上的二重积分 积分和 是定义在有界区域D上的有界函数 Page9 引例1中曲顶柱体体积 引例2中平面薄板的质量 如果在D上可积 也常 二重积分记作 这时 分区域D 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 Page10 二重积分存在定理 若函数 定理2 证明略 定理1 在D上可积 限个点或有限个光滑曲线外都连续 积 在有界闭区域D上连续 则 若有界函数 在有界闭区域D上除去有 例如 在D 上二重积分存在 在D上 二重积分不存在 Page11 三 二重积分的性质 k为常数 为D的面积 则 Page12 特别 由于 则 5 若在D上 6 设 D的面积为 则有 Page13 7 二重积分的中值定理 证 由性质6可知 由连续函数介值定理 至少有一点 在闭区域D上 为D的面积 则至少存在一点 使 使 连续 因此 Page14 例1 比较下列积分的大小 其中 解 积分域D的边界为圆周 它与x轴交于点 1 0 而域D位 从而 于直线的上方 故在D上 Page15 例2 判断积分 的正负号 解 分积分域为 则 原式 猜想结果为负但不好估计 舍去此项 Page16 例3 判断 的正负 解 当 时 故 又当 时 于是 Page17 例4 估计下列积分之值 解 D的面积为 由于 积分性质5 即 1 96 I 2 Page18 例5 估计 的值 其中D为 解 被积函数 D的面积 的最大值 的最小值 Page19 8 设函数 D位于x轴上方的部分为D1 当区域关于y轴对称 函数关于变量x有奇偶性时 仍 在D上 在闭区域上连续 域D关于x轴对称 则 则 有类似结果 在第一象限部分 则有 Page20 四 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 Page21 同样 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 Page22 例6 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 Page23 内容小结 1 二重积分的定义 2 二重积分的性质 与定积分性质相似 3 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 Page24 被积函数相同 且非负 思考与练习 解 由它们的积分域范围可知 1 比较下列积分值的大小关系 Page25 2 设D是第二象限的一个有界闭域 且0 y 1 则 的大小顺序为 提示 因0 y 1 故 故在D上有 Page26 3 计算 解 Page27 4 证明 其中D为 解 利用题中x y位置的对称性 有 又D的面积为1 故结论成立 Page28 五 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 Page29 当被积函数 均非负 在D上变号时 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 由于 Page30 说明 1 若积分区域既是X 型区域又是Y 型区域 为计算方便 可选择积分序 必要时还可以交换积分序 则有 2 若积分域较复杂 可将它分成若干 X 型域或Y 型域 则 Page31 例7 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 Page32 例8 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 Page33 例9 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 Page34 例10 交换下列积分顺序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 Page35 例11 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 Page36 解 原式 例12 给定 改变积分的次序 Page37 对应有 六 利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下 用同心圆r 常数 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积 在 内取点 及射线 常数 分划区域D为 Page38 即 Page39 设 则 特别 对 Page40 若f 1则可求得D的面积 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试 答 问 的变化范围是什么 1 2 Page41 例13 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 Page42 注 利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上 当D为R2时 利用例7的结果 得 故 式成立 Page43 例14 求球体 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解 设 由对称性可知 Page44 例15 计算 其中D为由圆 所围成的 及直线 解 平面闭区域 Page45 定积分换元法 七 二重积分换元法 满足 一阶偏导数连续 雅可比行列式 3 变换 则 定理 变换 是一一对应的 Page46 证 根据定理条件 2 3 可知变换T可逆 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形 其顶点为 通过变换T 在xoy面上得到一个四边 形 其对应顶点为 则 Page47 同理得 当h k充分小时 曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四 边形 故其面积近似为 Page48 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式 例如 直角坐标转化为极坐标时 Page49 例16 计算 其中D是x轴y轴和直线 所围成的闭域 解 令 则 Page50 例17 计算由 所围成的闭区域D的面积S 解 令 则 Page51 例18 试计算椭球体 解 由对称性 令 则D的原象为 的体积V Page52 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 Page53 则 2 一般换元公式 且 则 极坐标系情形 若积分区域为 在变换 下 Page54 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标