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第3讲平面向量 高考定位1 以选择题 填空题的形式考查向量的线性运算 多以熟知的平面图形为背景 难度中低档 2 以选择题 填空题的形式考查平面向量的数量积 多考查角 模等问题 难度中低档 3 向量作为工具常与三角函数 解三角形 不等式 解析几何等结合 以解答题形式出现 1 2018 全国 卷 已知向量a b满足 a 1 a b 1 则a 2a b a 4b 3c 2d 0 解析a 2a b 2a2 a b 2 1 3 故选b 真题感悟 答案b 答案a 4 2016 浙江卷 已知向量a b a 1 b 2 若对任意单位向量e 均有 a e b e 则a b的最大值是 1 平面向量的两个重要定理 1 向量共线定理 向量a a 0 与b共线当且仅当存在唯一一个实数 使b a 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中e1 e2是一组基底 2 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 则 1 a b a b x1y2 x2y1 0 2 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 考点整合 答案 1 a 2 2 探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底 并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合 再通过对比已知等式求解 答案 1 1 2 a 探究提高若向量以坐标形式呈现时 则用向量的坐标形式运算 若向量不是以坐标形式呈现 则可建系将之转化为坐标形式 再用向量的坐标运算求解更简捷 考法3 平面向量数量积的运算 答案 1 c 2 11 探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支 内容繁杂 且平面向量与三角函数交汇点较多 向量的平行 垂直 夹角 数量积等知识都可以与三角函数进行交汇 不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题 都会出现交汇问题中的难点 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件 脱去外衣 转化为三角函数中的 数量关系 再利用三角函数的相关知识进行求解 1 平面向量的数量积的运算有两种形式 1 依据模和夹角计算 要注意确定这两个向量的夹角 如夹角不易求或者不可求 可通过选择易求夹角和模的基底进行转化 2 利用坐标来计算 向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式 从而应用方程思想解决问题 化形为数 使向量问题数量化 2 根据平行四边形法则 对于非零向量a b 当 a b a b 时 平行四边形的两条对角线长度相等 此时平行四边形是矩形 条件 a b a b 等价于向量a b互相垂直 3 两个向量夹角的范围是 0 在使用平面向量解决问题
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