高考数学一轮单元复习 第31讲 平面向量的概念及其线性运算课件

第31讲 平面向量的概念及其线性运算 第31讲平面向量的概念及其线性运算 1 向量的有关概念 1 向量的定义 既有又有的量叫做向量 2 表示方法 用有向线段来表示向量 有向线段的表示向量的大小 用表示向量的方向 用字母a b 或用 表示 3 模 向量的叫向量的模 记作 a 或 4 零向量 长度为的向量叫做零向量 记作0 零向量的方向不确定 第31讲 知识梳理 大小 方向 箭头所指的方向 长度 长度 零 5 单位向量 长度为的向量叫做单位向量 6 共线向量 的向量叫共线向量 共线向量也叫平行向量 规定零向量与任何向量共线 7 相等的向量 向量叫相等的向量 2 向量的加法 1 定义 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 2 法则 三角形法则 平行四边形法则 3 运算律 a b b a a b c a b c 第31讲 知识梳理 1个长度单位 方向相同或相反 长度相等且方向相同的 3 向量的减法 1 定义 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 2 法则 三角形法则 平行四边形法则 4 实数与向量的积 1 定义 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 规定 a a 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a与a平行 2 运算律 a a a a a a b a b 5 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数 使得b a 即b ab a a 0 第31讲 知识梳理 相同 相反 探究点1向量的有关概念 第31讲 要点探究 例1判断下列各命题是否正确 1 零向量没有方向 2 若 a b 则a b 3 单位向量都相等 4 向量就是有向线段 5 两相等向量若共起点 则终点也相同 6 若a b b c则a c 7 若a b b c 则a c 第31讲 要点探究 8 若四边形ABCD是平行四边形 则 9 a b的充要条件是 a b 且a b 思路 正确理解向量的有关概念 以概念为判断依据 或通过举反例说明 解答 1 不正确 零向量方向任意 2 不正确 只能说明模相等 还有方向 3 不正确 单位向量的模为1 方向很多 4 不正确 有向线段是向量的一种表示形式 5 正确 6 正确 向量相等有传递性 7 不正确 因若b 0 则对不共线的向量a c也有a 0 0 c 8 不正确 如图 9 不正确 当a b 且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 第31讲 要点探究 点评 对于有关向量基本概念的考查 可以从概念的含义入手 也可以通过举出反例来排除或否定相关命题 探究点2向量的线性运算 第31讲 要点探究 例2 2009 湖南卷 如图31 1所示 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则 思路 利用相等向量和三角形法则进行计算 第31讲 要点探究 点评 利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题关键 向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则 如下题 解析 A 得或故选A 第31讲 要点探究 变式题 2009 山东卷 设P是 ABC所在平面内的一点 则 思路 由图形可知 P为AC中点 解析 B因为所以点P为线段AC的中点 所以应该选B 探究点3共线向量定理的应用 第31讲 要点探究 例3设两个非零向量a与b不共线 1 若求证 A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 思路 1 可证共线 2 待定系数法求k 第31讲 要点探究 解答 1 证明 共线 又 它们有公共点B A B D三点共线 第31讲 要点探究 2 与共线 存在实数 使即 是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 点评 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点 若是两个不共线的非零向量 则的充要条件是 0 这一结论结合待定系数法应用非常广泛 第31讲 要点探究 变式题若是两个不共线的非零向量 与起点相同 则当t为何值时 三向量的终点在同一条直线上 思路 设出三向量的终点 利用条件列方程组 第31讲 要点探究 解答 设要使A B C三点共线 只需 R 即 有 当t 时 三向量终点在同一直线上 探究点4向量线性运算的综合问题 第31讲 要点探究 思路 数形结合 例4 2009 全国卷 设非零向量满足则 A 150 B 120 C 60 D 30 解析 B由向量加法的平行四边形法则 知可构成菱形的两条相邻边 且起点处的对角线长等于菱形的边长 故选择B 第31讲 要点探究 点评 向量的线性运算主要是利用三角形法则和平行四边形法则 数形结合是必不可少的 在进行运算时表示向量的字母顺序特点也要熟悉 如下题 变式题已知A B C P为平面内四点 求证 A B C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m n 使m n 且m n 1 思路 题设条件中向量表达式未涉及可以利用来转化 第31讲 要点探究 解答 充分性 由m n 1 得 A B C三点共线 必要性 由A B C三点共线知 存在常数 使得即取m 1 n m n 1 第31讲 规律总结 1 本讲内容概念较多 应加深理解 熟练掌握 1 向量的有关概念 向量 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2 向量加法与减法 三角形法则 平行四边形法则 运算律及运算性质 3 向量数乘的定义及其运算律 4 共线向量基本定理的内容及应用 第31讲 规律总结 2 数形结合思想是向量加法 减法运算的核心 向量是一个几何量 是有