3[1]12导数的概念

第三章导数及其应用 3 1 2导数的概念 平均变化率的定义 如果上述三个问题中的函数关系用f x 表示 那么问题中的变化率可用式子 上式称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 习惯上记 则平均变化率可表示为 x x2 x1 f f x2 f x1 则平均变化率为 x2 x1 x 另一种形式 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O A B x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 f x2 f x1 直线AB的斜率 练习1 求函数y 5x2 6在区间 2 2 x 内的平均变化率 y 5 2 x 2 6 5 22 6 20 x 5 x2 所以平均变化率为 1 平均变化率 一般的 函数在区间上的平均变化率为 一 复习回顾 2 求函数的平均变化率的步骤 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 3 计算平均变化率 2 平均变化率其几何意义是 表示曲线上两点连线 就是曲线的割线 的斜率 求 2时的瞬时速度 我们先考察 2附近的情况 任取一个时刻2 是时间改变量 可以是正值 也可以是负值 但不为0 当 0时 在2之前 当 0时 在2之后 二 新课学习 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 瞬时速度 在局部以平均速度代替瞬时速度 然后通过取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值 思考 如何求瞬时速度 lim是什么意思 在其下面的条件下求右面的极限值 运动员在某一时刻 0的瞬时速度如何表示 函数的平均变化率怎么表示 思考 导数的概念 注意 1 平均变化率与导数的关系 导数的作用 在例2中 高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度 在例1中 我们用的是平均膨胀率 那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 小结 由导数的定义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本步骤是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 即三步走 一差 二比 三极限 三 例题讲解 例2 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 解 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 所以 同理可得 f 6 5说明在第6h附近 原油温度大约以5 h的速度上升 f 2 3说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速度下降 小结 导数的意义 C 12 四 练习 由导数的定义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的步骤是 小结 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率的定义 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 1 求函数的增量 再见 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 4 求函数y x 1 x在x 2处的导数 三 典例分析 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 练习1 以初速度为v0 v0 0 作竖直上抛运动的物体 t秒时的高度为h t v0t gt2 求物体在时刻t0时的瞬时速度 12 所以物体在时刻t0处的瞬时速度为v0 gt0 2 质点按规律s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点在t 2时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 a 2 3 函数f x x 在点x0 0处是否有导数 若有 求出来若没有 请说明理由 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 三 典例分析 题型一 求函数在某处的导数 例1 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 三 典例分析 题型二 求函数在某处的导数 例1 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 三 典例分析 题型二 求函数在某处的导数 例2 1 求函数y x2在x 1处的导数 2 求函数y x 1 x在x 2处的导数 练习 思考 物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 分析 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 例2 质量为 kg的物体 按照s t 3t2 t 4的规律做直线运动 求运动开始后 s时物体的瞬时速度 求运动开始后 s时物体的动能 Thankyou 1 注意 这里的速度是指平均速度但运动员的平均速度不一定能反映物体在某一时刻的运动情况 2 定义 物体在某一时刻的速度为瞬时速度 自由落体运动中 物体在不同时刻的速度是不一样的 时间间隔很小很小 例1 自由落体运动的运动方程为s gt2 计算t从3s到3 1s 3 01s 3 001s各段时间内的平均速度 位移的单位为m 12 所以 同理 解 设在 2 9 3 内的平均速度为v4 则 t1 3 2 9 0 1 s s1 s 3 s 2 9 0 5g 32 0 5g 2 92 0 295g m 所以 设在 2 99 3 内的平均速度为v5 则 设在 2 999 3 内的平均速度为v6 则 由上表可看出 当 t 0时 物体的速度趋近于一个确定的值3g 各种情况的平均速度 即在t 3s这一时刻的瞬时速度等于在3s到 3 t s这段时间内的平均速度当 t 0的极限 让我们再来看一个例子 P 相切 相交 再来一次 例 P 再来一次 设曲线C是函数y f x 的图象 在曲线C上取一点P及P点邻近的任一点Q x0 x y0 y 过P Q两点作割线 则直线PQ的斜率为 上面我们研究了切线的斜率问题 可以将以上的过程概括如下 当直线PQ转动时 Q逐渐向P靠近 也即 x变小 当 x 0时 PQ无限靠近PT 因此 设物体的运动方程是s s t 物体在时刻t的瞬时速度为v 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时平均速度的极限 即 一般结论 注意 1 函数应在点的附近有定义 否则导数不存在 2 在定义导数的极限式中 x趋近于0可正 可负 但不为0 而 y可能为0 3 导数是一个局部概念 它只与函数在x0及其附近的函数值有关 与 x无关 4 若极限不存在 则称函数在点x0处不可导 5 导数的物理意义 物体的运动方程s s t 在t0处的导数即在t0处的瞬时速度vt0 6 导数的几何意义 函数y f x 在x0处的导数即曲线在x0处的切线斜率 7 导数可以描述任何事物的瞬时变化率 瞬时变化率除了瞬时速度 切线的斜率还有 点密度 国内生产总值 GD