《微积分一》边际分析与弹性分析PPT课件.ppt

4 8变化率及相对变化率在经济中的应用 二 函数变化率 边际 一 常用经济函数 三 函数的相对变化率 弹性 一 常用经济函数 1 需求函数与供给函数 含义 消费者对某种商品的需求量 通常降低商品的价格会使需求量增加 提高价格会使需求量减少 因此需求函数是单调递减函数 含义 生产商向市场提供的商品的数量 2 供给函数 通常降低商品的价格会使供给量增加 提高价格会使供给量减少 因此供给函数是单调递增函数 市场上需求量与供给量相等时的价格 此时的需求量与供给量称为均衡商品量 一般来说 市场上的商品价格是围绕均衡价格摆动的 例1 1 设某电子产品的月销售量是价格的线性函数 当价格为580元时 每月售出800件 当价格为680元时 每月售出600件 试求需求函数 2 该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性函数 当价格为580元时 每月提供800件 当价格为680元时 每月多提供100件 试求供给函数 解 解 例2 设某商品的需求函数为Q b aP a b 0 供给函数为Q cP d c d 0 求均衡价格P0 令b aP0 cP0 d 2 成本函数 收益函数 利润函数 总成本总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额 个单位产品时的平均成本为 平均成本平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本 求 当Q 10时的总成本及平均成本 解 当Q 10时 总成本为C 10 125 平均成本为 C 10 12 5 总收益函数为 销售100个商品时的总收益为 解 3 利润函数 总利润为 解 在点x x0处 当 x 1时 有 y dy f x0 x f x0 这说明 当x产生一个单位的改变时 y近似改变f x0 个单位 二 函数变化率 边际 边际函数设函数y f x 是可导的 则导函数f x 称为边际函数 分析 在应用问题中解释边际的具体意义时我们略去 近似 二字 边际函数设函数y f x 是可导的 则导函数f x 称为边际函数 例6 函数y x2 y 2x 在点x 10处的边际函数值y 10 20 它表示当x 10时 x改变一个单位 y 近似 改变20个单位 2 边际供给 边际分析 利用边际函数来进行分析 1 边际需求 表示销售第 q 1 个产品的收入 4 边际收益 表示生产第 q 1 个产品的成本 3 边际成本 5 边际利润 表示销售第 q 1 个产品所增加的利润 解 生产了50个产品后应该继续生产吗 最大利润原则设R Q 为收益函数 C Q 为成本函数 则 取得最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即R Q C Q 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边际成本的变化率 即R Q C Q 设总利润为L 则L L Q R Q C Q L Q R Q C Q L Q R Q C Q L Q 取得最大值的必要条件为 L Q 0 即R Q C Q 提示 L Q 取得最大值的充分条件为 L Q 0 即R Q C Q 设总利润为L 则L L Q R Q C Q L Q R Q C Q L Q R Q C Q 最大利润原则设R Q 为收益函数 C Q 为成本函数 则得取最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即R Q C Q 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边际成本的变化率 即R Q C Q 提示 解 例8 已知某产品的需求函数为P 10 0 2Q 成本函数为C 50 2Q 求产量为多少时总利润L最大 并验证是否符合最大利润原则 已知P Q 10 0 2Q C Q 50 2Q 则有 R Q 10 0 2Q2 L Q R Q C Q L Q 8 0 4Q 令L Q 0 得 Q 20 L 20 0 所以当Q 20时总利润L最大 此时 所以符合最大利润原则 有R 20 C 20 R 20 0 4 C 20 0 有R 20 C 20 R 20 2 C 20 2 8Q 0 2Q2 50 三 函数的相对变化率 弹性 问题思考 商品A的单位价格为10元 涨价1元 商品B的单位价格为1000元 也涨价1元 两种商品价格的绝对改变量都是1元 但各与原价相比 两种商品涨价的百分比大不相同 商品A涨了10 而商品B涨了0 1 哪种商品涨价后销售量会有较大波动 这种波动由什么因素决定 定义 绝对改变量与相对改变量 变量t从初值t0变到终值t1 则称 t t1 t0为变量t在t0处的绝对改变量 引例 已知y x2 则当x由10改变到12时 y由100改变到144 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为 x 2 y 44 此时 这表示在 10 12 内 从x 10开始 x改变1 时 y平均改变2 2 我们称它为从x 10到x 12 函数y x2的平均相对变化率 弧弹性 相对改变量分别为 定义4 5 函数的弹性 记为 说明 幅度的大小 在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 近似 二字 也就是f x 对x变化反应的强烈程度或灵敏度 说明 幅度的大小 也就是f x 对x变化反应的强烈程度或灵敏度 解 例9 求函数y 3 2x在x 3处的弹性 例10 定义4 6 需求弹性 说明当P 3时 价格上涨1 需求减少0 6 此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度 解 例11 设某商品需求函数为Q e 0 2P 求 1 需求弹性函数 2 P 3 P 5 P 6时的需求弹性 1 Q 0 2e 0 2P 3 0 6 1 说明当P 6时 价格上涨1 需求减少1 2 此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度 6 1 2 1 说明当P 5时 价格上涨1 需求减少1 此时价格与需求变动的幅度相同 5 1 6 0 2 6 1 2 5 0 2 5 1 2 3 0 2 3 0 6 需求弹性的分类 生活必需品 奢侈品 需求弹性与总收益的关系 解 例12 设某商品需求函数为Q f P 12 0 5P 1 求需求弹性函数 2 求P 6时的需求弹性 3 在P 6时 若价格上涨1 总收益增加还是减少 将变化百分之几 4 P为何值时 总收益最大 最大的总收益是多少 所以当P 6时 价格上涨1 总收益约增加0 67 解 例12 设某商品需求函数为Q f P 12 0 5P 1 求需求弹性函数 2 求P 6时的需求弹性 3 在P 6时 若价格上涨1 总收益增加还是减少 将变化百分之