山东省德州市中考数学复习第5章多边形与四边形第18讲特殊平行四边形课件.ppt

第五章多边形与四边形第18讲特殊平行四边形 考点梳理过关 考点1矩形6年3考 提示 1 矩形的对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形 2 矩形的判定思路 一般是四边形 平行四边形 矩形 考点2菱形6年3考 提示 1 菱形的对角线把菱形分成两对全等的直角三角形 2 菱形的判定思路 一般是四边形 平行四边形 菱形 3 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 其实 对角线垂直的四边形的面积也是如此 4 由于每条对角线所在的直线是菱形的对称轴 对角顶点是对称点 菱形和正方形常与求最短距离相结合 考点3正方形6年2考 提示 1 正方形是轴对称图形 对称轴有4条 正方形也是中心对称图形 2 正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 3 平行四边形与各种四边形的包含关系如图 典型例题运用 类型1矩形的性质与判定 例1 2017 日照中考 如图 已知BA AE DC AD EC CE AE 垂足为E 1 求证 DCA EAC 2 只需添加一个条件 即 可使四边形ABCD为矩形 请加以证明 解 1 证明 在 DCA和 EAC中 DCA EAC SSS 2 添加AD BC 可使四边形ABCD为矩形 理由如下 AB DC AD BC 四边形ABCD是平行四边形 CE AE E 90 由 1 得 DCA EAC D E 90 四边形ABCD为矩形 变式运用 2016 台州中考 如图 点P在矩形ABCD的对角线AC上 且不与点A C重合 过点P分别作边AB AD的平行线 交两组对边于点E F和点G H 1 求证 PHC CFP 2 证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形 并直接写出它们面积之间的关系 自主解答 证明 1 四边形ABCD是矩形 DC AB AD BC 又 EF AB AD GH EF CD BC GH PCH CPF CPH PCF CP PC PHC CFP 2 由 1 知 AB EF CD AD GH BC 四边形PEDH和四边形PGBF都是平行四边形 四边形ABCD是矩形 D B 90 四边形PEDH和四边形PGBF都是矩形 EF AB CPF CAB 在Rt AGP中 AGP 90 PG AG tan CAB 在Rt CFP中 CFP 90 CF PF tan CPF S矩形PEDH DE EP CF EP PF EP tan CPF S矩形PFBG PG PF AG PF tan CAB EP PF tan CAB tan CPF tan CAB S矩形PEDH S矩形PFBG S四边形PEDH S四边形PFBG 类型2菱形的性质与判定 例2 2017 滨州中考 如图 在 ABCD中 以点A为圆心 AB长为半径画弧交AD于点F 再分别以点B F为圆心 大于BF的相同长为半径画弧 两弧交于点P 连接AP并延长交BC于点E 连接EF 则所得四边形ABEF是菱形 1 根据以上尺规作图的过程 求证四边形ABEF是菱形 2 若菱形ABEF的周长为16 AE 4 求 C的大小 解 1 证明 由作图过程可知 AB AF AE平分 BAD BAE EAF 四边形ABCD为平行四边形 BC AD AEB EAF BAE AEB AB BE BE AF 四边形ABEF为平行四边形 四边形ABEF为菱形 2 连接BF 交AE于点O 四边形ABEF为菱形 BF与AE互相垂直平分 BAE FAE OA AE 2 菱形ABEF的周长为16 AF 4 cos OAF OAF 30 BAF 60 四边形ABCD为平行四边形 C BAD 60 变式运用 2017 岳阳中考 求证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 小红同学根据题意画出了图形 并写出了已知和求证的一部分 请你补全已知和求证 并写出证明过程 已知 如图 在 ABCD中 对角线AC BD交于点O 求证 解 已知 如图 在 ABCD中 对角线AC BD交于点O AC BD 求证 四边形ABCD是菱形 证明 四边形ABCD为平行四边形 BO DO AC BD AC垂直平分BD AB AD 四边形ABCD为菱形 类型3正方形的性质与判定 例3 2017 杭州中考 如图 在正方形ABCD中 点G在对角线BD上 不与点B D重合 GE DC于点E GF BC于点F 连接AG 1 写出线段AG GE GF长度之间的数量关系 并说明理由 2 若正方形ABCD的边长为1 AGF 105 求线段BG的长 解 1 结论 AG2 GE2 GF2 理由 连接CG 四边形ABCD是正方形 A C关于对角线BD对称 点G在BD上 GA GC GE DC于点E GF BC于点F GEC ECF CFG 90 四边形EGFC是矩形 CF GE 在Rt GFC中 CG2 GF2 CF2 AG2 GF2 GE2 2 作BN AG于点N 在BN上截取一点M 使得AM BM 设AN x AGF 105 FBG FGB ABG 45 AGB 60 GBN 30 ABM MAB 15 AMN 30 AM BM 2x MN x 在Rt ABN中 AB2 AN2 BN2 变式运用 2017 威海模拟 已知 正方形ABCD 点P为对角线AC上一点 1 如图1 Q为CD边上一点 且 BPQ 90 求证 PB PQ 2 如图2 若正方形ABCD的边长为2 E为BC中点 求PB PE的最小值 解 1 证明 如图1 连接PD 在正方形ABCD中 DAC BAC 在 APB与 APD中 APB APD PD PB ABP ADP ABC ADC 90 PBC PDC BPQ BCD 90 PBC PQC 180 PQD PQC 180 PQD PBC PDC PQD PD PQ PQ PB 2 如图2 连接ED交AC于点P 连接BP 则DE的长度即为PB PE的最小值 由题意 可证BP PD PB PE PD PE DE EC BC 1 BCD 90 DE PB PE的最小值为 六年真题全练 命题点1矩形 菱形或正方形综合题 1 2014 德州 如图 在一张矩形纸片ABCD中 AB 4 BC 8 点E F分别在AD BC上 将纸片ABCD沿直线EF折叠 点C落在AD上的一点H处 点D落在点G处 有以下四个结论 四边形CFHE是菱形 EC平分 DCH 线段BF的取值范围为3 BF 4 当点H与点A重合时 EF 2 以上结论中 你认为正确的有 C A 1个B 2个C 3个D 4个 C因为FH与CE EH与CF都是矩形ABCD的对边AD BC的一部分 易知FH CG EH CF 可得四边形CFHE是平行四边形 由翻折性质得CF FH 所以平行四边形CFHE是菱形 正确 已知 BCH ECH 所以只有当 DCE 30 时 EC平分 DCH 错误 点H与点A重合时 设BF x 则AF FC 8 x 在Rt ABF中 AB2 BF2 AF2 即42 x2 8 x 2 解得x 3 点E与点D重合时 CF CD 4 可得BF 4 所以线段BF的取值范围为3 BF 4 正确 当点H与点A重合时 如图 过点F作FM AD于M 则ME 8 3 3 2 在 EFM中 由勾股定理 得EF 2 正确 综上所述 正确的结论有 2 2013 德州 下列命题中 真命题是 D A 对角线相等的四边形是等腰梯形B 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C 对角线互相垂直的四边形是菱形D 四个角相等的四边形是矩形 D选项A 对角线相等的四边形也可能是矩形 故此选项错误 选项B 对角线互相垂直平分的四边形也可能是菱形 故此选项错误 选项C 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 故此选项错误 选项D 四个角相等的四边形是矩形 是真命题 故此选项正确 3 2017 德州 如图1 在矩形纸片ABCD中 AB 3cm AD 5cm 折叠纸片使B点落在边AD上的E处 折痕为PQ 过点E作EF AB交PQ于点F 连接BF 1 求证 四边形BFEP为菱形 2 当点E在AD边上移动时 折痕的端点P Q也随之移动 当点Q与点C重合时 如图2 求菱形BFEP的边长 若限定P Q分别在边BA BC上移动 求出点E在边AD上移动的最大距离 解 1 证明 折叠纸片使B点落在边AD上的E处 折痕为PQ 点B与点E关于PQ对称 PB PE BF EF BPF EPF 又 EF AB BPF EFP EPF EFP EP EF BP BF EF EP 四边形BFEP为菱形 2 四边形ABCD是矩形 BC AD 5cm CD AB 3cm A D 90 点B与点E关于PQ对称 CE BC 5cm 在Rt CDE中 DE 4cm AE AD DE 5 4 1 cm 在Rt APE中 AE 1 AP 3 PB 3 PE EP2 12 3 EP 2 解得EP cm 菱形BFEP的边长为cm 当点Q与点C重合时 点E离点A最近 由 知 此时AE 1cm 当点P与点A重合时 如图所示 点E离点A最远 此时四边形ABQE为正方形 AE AB 3cm 点E在边AD上移动的最大距离为2cm 2012 德州 如图所示 现有一张边长为4的正方形纸片ABCD 点P为正方形AD边上的一点 不与点A 点D重合 将正方形纸片折叠 使点B落在P处 点C落在G处 PG交DC于点H 折痕为EF 连接BP BH 1 求证 APB BPH 2 当点P在边AD上移动时 PDH的周长是否发生变化 并证明你的结论 3 设AP为x 四边形EFGP的面积为S 求出S与x的函数关系式 试问S是否存在最小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 解 1 证明 如图1 PE BE EBP EPB 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 PBC BPH 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD的周长不变为定值8 理由如下 如图2 过点B作BQ PH 垂足为Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP AB QB 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH PHD的周长为 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 如图3 过点F作FM AB 垂足为M 则FM BC AB 又 EF为折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM PBA 又 A EMF 90 EFM PBA EM AP x 在Rt APE中 4 BE 2 x2 BE2 解得BE 2 CF BE EM 2 x 又 四边形PEFG与四边形BEFC全等 S BE CF