2019-2020学年扬州大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省扬州大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由交集的定义，结合集合A,B，即可写出.【详解】因为，所以B中整数有0,1,2，又，所以，故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合交集的定义是解题的关键，属于简单题.2函数的定义域为（ ）ABCD【答案】D【解析】开偶次方根，被开方数要非负，求函数的定义域，只需要解不等式即可.【详解】要使函数有意义，只需，故选：D.【点睛】本题考查求已知函数的定义域，难度较易.常见函数求定义域需要注意：分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零、对数的真数大于零、中.3终边在直线上的角的取值集合是（ ）ABCD【答案】D【解析】在到内终边在直线上的角是，由终边相同的角的表示方法可得出终边在直线上的角的集合,可得解.【详解】当的终边在直线（）时， ，当的终边在直线（）时，所以角的取值集合是=，故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，掌握终边相同的角的表示是解题的关键，属于基础题.4已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）A48B24C12D6【答案】B【解析】因为扇形的弧长l3412，则面积S 12424，选B.5已知函数则的值是()A0B1CD【答案】C【解析】先确定函数自变量的取值范围再代入分段函数解析式求解.【详解】.，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6设为偶函数，且当时，则当时，（ ）ABCD【答案】A【解析】由为偶函数，则，结合已知，即可求出时函数的解析式.【详解】因为为偶函数，所以，因为时，所以时，故选：A.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式;(5)由函数的奇偶性，求分段函数的解析式.7给定函数：；，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）ABCD【答案】B【解析】，为幂函数，且的指数，在上为增函数；，为对数型函数，且底数，在上为减函数；，在上为减函数，为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.【详解】，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故不可选；，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故可选；，在上为减函数，在上为增函数，故可选；为指数型函数，底数在上为增函数，故不可选；综上所述，可选的序号为，故选B.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.8函数的零点所在区间是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间【详解】连续减函数，f（3）=2log230，f（4）=log240，函数的零点所在的区间是 （3，4），故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题9已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【解析】通过，得出和异号，观察图像可得结果.【详解】，和异号，由为奇函数如图可得：当，当，所以不等式的解集为：.故选：C.【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围10若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，则实数的取值范围是（ ）A（3，4）B（2，3）C（1，3）D（1，2）【答案】D【解析】根据二次函数图像列不等式，通过解一元二次不等式可解得结果.【详解】因为方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间（2，3）内，所以当时，；令，方程另一解为，不适合；令，方程另一解为，不适合.综上的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查根据二次函数零点分布求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.11已知函数，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】通过讨论和1的关系，即可去绝对值，再结合等式即可得到，代入即可求值.【详解】因为，若，所以，即，所以，故选：B.【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查函数的图像和单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）A10个B9个C8个D4个【答案】B【解析】由值域可求得所有可能的取值；则定义域中元素分别为个，个和个，列举出所有可能的结果即可求得个数.【详解】由得：；由得：所求“孪生函数”的定义域分别为：，共有个“孪生函数”故选：【点睛】本题考查新定义的问题，涉及到函数定义域的求解；易错点是将值域误认为是无限集，造成求解错误.二、填空题13的值为_.【答案】1【解析】直接利用对数指数运算法则得到答案.【详解】，故答案为：1.【点睛】本题考查了指数对数的计算，意在考查学生的计算能力.14幂函数的图象过点（4，2），则_.【答案】【解析】首先设出幂函数的解析式，代入点(4,2),进而求出解析式，即可求得结果.【详解】设，因为的图象过点（4，2），所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查函数的求值，形如的函数是幂函数，注意幂函数的系数为1，考查了运算求解能力.15当且时，函数的图象一定过点_.【答案】【解析】根据指数函数的性质可知，从而求得结果.【详解】因为，所以函数的图象一定过点.故答案为：.【点睛】本题考查指数函数的概念和性质，注意到是解本题的关键，属基础题.16若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，由函数的单调性的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】由题意得，因为函数在上单调递减，则.实数的取值范围是故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点两函数的单调性与整体保持一致.三、解答题17已知集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），或;（2）.【解析】(1)由补集的定义和集合，即可求出和；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可.【详解】（1）因为，所以，或 ；（2）因为，所以，因为，所以时，得；时，综上的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题.18已知函数.（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）解方程.【答案】（1）为奇函数;（2）【解析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于的不等式组，求解即可得函数的定义域关于原点对称，由函数的解析式和奇偶性的定义即可确定函数的奇偶性;（2） 根据题意结合对数函数的单调性,解方程进行求解，即可得出方程的解.【详解】（1）为奇函数.使函数有意义，只需，由，得，所以为奇函数.（2），检验知适合，所以原方程的解为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的相关知识，掌握对数函数真数大于零以及对数函数的单调性，考查了运算能力，属于中档题.19已知二次函数的最大值为-2，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上的最大值为-6，求实数的值.【答案】（1）;（2）或【解析】（1）由等式可得出函数的对称轴，设出二次函数的解析式，由最大值为-2，即可求得解析式；（2）由（1）的结论，讨论对称轴和a,a+1的关系，结合最大值为-6，即可求得实数a的值【详解】（1）由，可知函数的对称轴为，设，因为，所以，所以；（2）因为在区间上的最大值为-6，最大值没有在顶点处取到，所以时，在区间上递减，所以，（舍），得；时即时，在区间上递增，所以，（舍），得；时，不适合条件.综上或.【点睛】本题考查二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题20某市今年出现百年不遇的旱情，市自来水厂观察某蓄水池供水情况以制定未来12小时的供水措施.现发现某蓄水池中有水450吨，水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，小时内供水量为，假设蓄水池容量足够大，现在开始向水池注水并向居民小区供水.（1）请将蓄水池中存水量S表示为时间的函数；（2）根据蓄水池使用要求，当蓄水池水量低于60吨时，蓄水池必须停止供水.请你判断该居民小区是否会停水，阐述你的理由.【答案】(1)，其中.(2) 小区在要停水【解析】（1）设t小时候水池中存水量为S吨，利用题设条件能将S表示为时间t的函数；（2）令，解不等式，即可求出结果.【详解】（1）由开始时蓄水池中有水450吨，又水厂每小时可向蓄水池中注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，小时内供水量为，所以经过t小时蓄水池中存水量，其中.（2）由（1）令，又，所以，所以小区在要停水.【点睛】本题考查函数的应用，考查了建模能力和一元二次不等式的解法，属于中档题.21已知函数.（1）试判断并证明函数在区间上的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 函数在区间上是增函数(2) 【解析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得的取值范围.【详解】（1）函数在区间上是增函数.设，由，得，因为，所以，得，所以函数在区间上是增函数.（2）由（1）知在区间上是增函数,，又，所以为偶函数，所以在的值域为.因为对任意恒成立，令，所以不等式在恒成立，由在递减，所以，所以，故的取值范围为.【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论同时考查了二次函数的最值，解题的关键是确定函数的单调性，从而确定参数的范围，属于中档题22已知函数，若对于给定的正整数，在其定义域内存在实数，使得，则称此函数为“保值函数”.（1）若函数为“保1值函数”，求；（2）试判断函数是否是“保值函数”，若是，请求出；若不是，请说明理由；试判断函数是否是“保2值函数”，若是，求实数的取值范围；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）函数不是“保值函数”当时函数是“保2值函数”；当时函数不是“保2值函数”.【解析】（1函数为“保1值函数”，列方程即可求解；（2）由“保值函数”的定义，转化为二次函数是否有解问题，即可进行判断；由题意可得，再由，解不等式即可进行判断.【详解】(1)