苏州市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2015年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1命题 “ x 1， 1”的否定为 2已知复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|的值是 3四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有 种（用数字作答） 4若双曲线 的离心率为 2，则 a 等于 5 “a=1”是 “直线 ax+y+1=0， a+2） x 3y 2=0 垂直 ”的 条件（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”或 “既不充分也不必要 ”之一） 6函数 f（ x） =x（ e 是自然对数的底数）的图象在点（ 0， 1）处的切线方程是 7设某批产品正品率为 ，次品率为 ，现对该批产品进行测试，设第 X 次首次测到正品，则 P（ X=3）的值是 8求过两点 A（ 0， 4）， B（ 4， 6）且圆心在直线 x 2y 2=0 上的圆的标准方程 9若 f（ x） =（ x+1） 6（ x 1） 5 的展开式为 f（ x） =a0+ a1+ （用数字作答） 10设由 0， 1， 2， 3 组成的没有重复数字的三位数的集合为 A，从 A 中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是 11已知点 A（ 3， 2）在抛物线 C： 准线上，过点 A 的直线与抛物线 C 在第二象限相切于点 B，记抛物线 C 的焦点为 F，则直线 斜率是 12假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p（ 0 p 1），现有 4 次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 4 次投篮机会的概率是 ，则 p 的值是 13若函数 f（ x） =2（ a 为常数， e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数 14若实数 a， b 满足 a= +2 ，则 a 的最大值是 二、解答题 15一个不透明的口袋中装有 6 个大小和形状都相同的小球，其中 2 个白球， 4 个黑球 （ 1）从中取 1 个小球，求取到白球的概率； （ 2）从中取 2 个小球，记取到白球的个数为 X，求 X 的概率分布和数学期望 16正方体 ，点 F 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 第 2 页（共 23 页） 17如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是 圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为 8 米，圆柱的底面半径为 4 米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米 2 百元，制作圆锥侧面的造价为每平米 4 百元，设制作该存储设备的总费用为 y 百元 （ 1）按下列要求写出函数关系式： 设 h（米），将 y 表示成 h 的函数关系式； 设 （ 将 y 表示成 的函数关系式； （ 2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值 18在直三 棱柱 ， 0， C=， E、 F 分别是 （ 1）求直线 平面 成角的正弦值； （ 2）设 D 是边 的动点，当直线 成角最小时，求线段 长 19如图，已知椭圆 M： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且经过过点 P（ 2， 1） （ 1）求椭圆 M 的标准方程； 第 3 页（共 23 页） （ 2）设点 A（ B（ 椭圆 M 上异于顶点的任意两点，直线 斜率分别为 求 值； 设点 B 关于 x 轴的对称点为 C（点 C， A 不重合），试求直线 斜率 20已知函数 f（ x） =c（ c 为常数， e 是自然对数的底数）， f（ x）是函数 y=f（ x）的导函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）当 c 1 时，试求证： 对任意的 x 0，不等式 f（ x） f（ x）恒成立； 函数 y=f（ x）有两个相异的零点 请从以下 4 组中选做 2 组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分 选修 4何证明选讲 21如图，在 ， C， 外接圆是 O， D 是劣弧 上的一点，弦 C 的延长线相交于点 E，连结 延长到点 F，连结 （ 1）求证： 分 （ 2）求证： D 22如图， 两条高， 交于点 H， 延长线与 外接圆 O 相交于点 G， O 的直径 （ 1）求证： C=E； （ 2）求证： H 第 4 页（共 23 页） B 组 选修 4阵与变换 23已知矩阵 A= ， B= （ 1） 求 A 的逆矩阵 A 1； （ 2）求矩阵 C，使得 24已知矩阵 ，其中 a R，若点 P（ 1， 1）在矩阵 A 的变换下得到点 P（ 0， 3）， （ 1）求实数 a 的值； （ 2）求矩阵 A 的特征值及特征向量 C 组 选修 4标系与参数方程 25在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 极坐标方程为 =8 ），曲线 参数方程为 ，（ 为参数） （ 1）将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线 参数方程化为普通方程； （ 2）若 P 是曲线 的动点，求 P 到直线 l： ，（ t 为参数）的距离的最大值 26选修 4 4：坐标系与参数方程 曲线 参数方程为 （ 为参数），在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲 线 极坐标方程为 （ 1）求曲线 极坐标方程和曲线 直角坐标方程； （ 2）若射线 l： y=x 0）与曲线 交点分别为 A， B（ A， B 异于原点），当斜率 k （ 1， 时，求 |取值范围 D 组 选修 4等式选讲 27已知关于 x 的不等式 |1|+a|x 1| 1（ a 0） （ 1）当 a=1 时，求此不等式的解集； （ 2）若此不等式的解集是 R，求正实数 a 的取值范围 28已知 a， b， c 均为正实数，求证： （ 1） + ； （ 2） + + + + 第 5 页（共 23 页） 2015年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1命题 “ x 1， 1”的否定为 x1， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】 解：由于全称命题的否定是特称命题， 所以命题 “ x 1， 1”的否定为： x 1， 1 故答案为： x 1， 1 2已知复数 z= （ i 为虚数单位），则 |z|的值是 5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解 【解答】 解： z= = = |z|= =5 故答案为： 5 3四位男生和一位女生站成一排，则女生站 在中间的排法共有 24 种（用数字作答） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，分 2 步进行分析： 1、先安排女生，易得其有 1 种排法； 2、将 4 名男生全排列，安排在其他 4 个位置，由排列数公式可得学生的排法数目，由分步计数原理原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 2 步进行分析： 1、先安排女生，要求女生必须站在正中间，则其有 1 种排法； 2、将 4 名男生全排列，安排在其他 4 个位置，有 4 种排法； 则不同的排法有 1 24=24 种； 故答案为： 24 4若双曲线 的离心率为 2，则 a 等于 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先求出 ，再由离心率为 ，得到 a 的值 【解答】 解：由 =1 可知虚轴 b= ，而离心率 e= ， 第 6 页（共 23 页） 解得 a=1 故答案： 1 5 “a=1”是 “直线 ax+y+1=0， a+2） x 3y 2=0 垂直 ”的 充分不必要 条件（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”或 “既不充分也不必要 ”之一） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 先根据两直线垂直，求出 a 的值，即可判断 【解答】 解： 直线 ax+y+1=0 和 a+2） x 3y 2=0 垂直， a（ a+2） 3=0， 解得 a= 3，或 a=1， 故实数 “a=1”是 “直线 ax+y+1=0， a+2） x 3y 2=0 垂直的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 6函数 f（ x） =x（ e 是自然对 数的底数）的图象在点（ 0， 1）处的切线方程是 y=3x+1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程 【解答】 解：函数 f（ x） =x 的导数为 f（ x） =， 可得 f（ x）的图象在点（ 0， 1）处的切线斜率为 k=3， 即有图象在点（ 0， 1）处的切线方程为 y=3x+1 故答案为： y=3x+1 7设某批产品正品率为 ， 次品率为 ，现对该批产品进行测试，设第 X 次首次测到正品，则 P（ X=3）的值是 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 X=3 是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，由此能求出 P（ X=3） 【解答】 解： 某批产品正品率为 ，次品率为 ， 现对该批产品进行测试，设第 X 次首次测到 正品， X=3 是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品， P（ X=3） = = 故答案为： 8求过两点 A（ 0， 4）， B（ 4， 6）且圆心在直线 x 2y 2=0 上的圆的标准方程 （ x 4）2+（ y 1） 2=25 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由圆心在直线 x 2y 2=0 上，可设圆心坐标为（ 2b+2， b），再根据圆心到两点 A（ 0， 4）、 B（ 4， 6）的距离相等，求出 b 的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程 【解答】 解：由于圆心在直线 x 2y 2=0 上，可设圆心坐标为（ 2b+2， b）， 第 7 页（共 23 页） 再根据圆过两点 A（ 0， 4）， B（ 4， 6），可得 （ 2b+2） 02+（ b 4） 2=（ 2b+2） 42+（ b 6） 2， 解得 b=1，可得圆心为（ 4， 1），半径为 =5， 故所求的圆的方程为（ x 4） 2+（ y 1） 2=25， 故答案为：（ x 4） 2+（ y 1） 2=25 9若 f（ x） =（ x+1） 6（ x 1） 5 的展开式为 f（ x） =a0+ a1+61 （用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 令 x=0，求得 用二项展开式的通项公式求得 值；令 x=1 可得 a0+a1+a5+4，从而求得 a1+值 【解答】 解： f（ x） =（ x+1） 6（ x 1） 5 的展开式为 f（ x） =a0+ 令 x=0，可得 ，再根据 =1， 则令 x=1 可得 a0+a1+a5+4， a1+1， 故答案为： 61 10设由 0， 1， 2， 3 组成的没有重复数字的三位数的集合为 A，从 A 中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 数字 0 不能排在首位，末位是 0 时又是偶数，分情况讨论即可 【解答】 解：由 0， 1， 2， 3 组成的没有重复数字的三位数， 0 是一个比 较特殊的数字， 0 在末位和 0 不在末位结果不同， 0 在末位时，共有 =6 中结果， 0 不在末位时，共有 =12 种结果， 故共有 6+12=18 种结果， 设 “取到的数恰好为偶数：为事件 A， 在所给的数字中， 0 是一个比较特殊的数字， 0 在末位和 0 不在末位结果不同， 个位是 0 时，十位和百位从 1， 2， 3 这 3 个元素中选两个进行排列有 种结果， 当末位不是 0 时，个位只能是 2，百位从 1， 3 两个元素中选一个，十位从 0 和余下的元素中选 1 个 根据分类计数原理知共有 =4 种结果， 故偶数共有 6+4=10 中结果， P（ A） = = ， 故答案为： 第 8 页（共 23 页） 11已知点 A（ 3， 2）在抛物线 C： 准线上，过点 A 的直线与抛物线 C 在第二象限相切于点 B，记抛物线 C 的焦点为 F，则直线 斜率是 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意先求出准线方程 x= 2，再求出 p，从而得到抛物线方程，设出切点 B（ m，）（ m 0），对抛物线方程求导，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得 m，即有 B 的坐标，运用两点求斜率公式即可得到所求 直线 斜率 【解答】 解： 点 A（ 3， 2）在抛物线 C： 准线上， 即准线方程为： y= 2， p 0，则 = 2，即 p=4， 抛物线 C： y，即 设 B（ m， ）（ m 0）， 由 y= 的导数为 y= ， 可得切线 的斜率为 k= ， 即有 ，化为 m 16=0， 解得 m= 8，或 m=2（舍去）， 可得 B（ 8， 8），又 F（ 0， 2）， 则直线 斜率是 故答案为： 12假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 p（ 0 p 1），现有 4 次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮已知该运动员不 放弃任何一次投篮机会，且恰用完 4 次投篮机会的概率是 ，则 p 的值是 【考点】 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 【分析】 由已知条件利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式列出方程，由此能求出 p 的值 【解答】 解： 某篮球运动员每次投篮命中率均为 p（ 0 p 1）， 现有 4 次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮 该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完 4 次投篮机会的概率是 ， 21 p） 2+p（ 1 p） 3= ， 第 9 页（共 23 页） 解得 p= 故答案为： 13若函数 f（ x） =2（ a 为常数， e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数 （ 0， ） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 函数恰有两个极值点，等价于其导函数 f（ x）恰有两个零点，通过讨论 a 讨论函数的单调性，从而结合函数零点的判定定理确定实数 a 的取值范围 【解答】 解：函数恰有两个极值点，等价于 f（ x） =22x 恰有两个零点， 当 a 0 时，函数 f（ x） =2，函数 f（ x） =22x， 令 f（ x） =0， x，由函数图象可知， y= y=x 仅有一个交点， f（ x） =2 仅有一个极值点； 当 a=0 时， f（ x） = ，由二次函数图象可知， f（ x）仅有一个极值点； 当 a 0 时，函数 f（ x） =2，函数 f（ x） =22x， 令 f（ x） =0， a= ， 设 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 令 g（ x） =0，解得 x=1， 当 g（ x） 0， x 1， 当 g（ x） 0， x 1， g（ x）在（ ， 1）单调递增，（ 1， +）单调递减； g（ x）最大值为 g（ 1） = ， 总上可知，实数 a 的取值范围是（ 0， ） 故答案为：（ 0， ） 14若实数 a， b 满足 a= +2 ，则 a 的最大值是 20 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【分析】 用换元法，设 =x， =y，则 x 0， y 0；求出 b 与 a 的解析式，由 a=+2 得出 y 与 x 的关系式，再根据其几何意义求出 a 的最大值 【解答】 解：设 =x， =y，且 x 0， y 0； b=4a b= a= = ； 第 10 页（共 23 页） a= +2 可化为 =y+2x， 即（ x 4） 2+（ y 2） 2=20，其中 x 0， y 0； 又（ x 4） 2+（ y 2） 2=20 表示以（ 4， 2）为圆心，以 2 为半径 的圆的一部分； a= = 表示圆上点到原点距离平方的 ，如图所示； a 的最大值是 （ 2r） 2=0 故答案为： 20 二、解答题 15一个不透明的口袋中装有 6 个大小和形状都相同的小球，其中 2 个白球， 4 个黑球 （ 1）从中取 1 个小球，求取到白球的概率； （ 2）从中取 2 个小球，记取到白球的个数为 X，求 X 的概率分布和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）先求出基本事件总数和其中取到白球包含的基本事件个数，由此能求出取到白球的概率 （ 2）由题意 X 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ 1）一个不透明的口袋中装有 6 个大小和形状都相同的小球，其中 2 个白球，4 个黑球 从中取 1 个小球，基本事件总数 n=6， 其中取到白球包含的基本事件个数 m=2， 取到白球的概率 p= = （ 2）由题意 X 的可能取值为 0， 1， 2， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， 第 11 页（共 23 页） P（ X=2） = = ， X 的分布列为： X 0 1 2 P = 16正方体 ，点 F 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连接 点 O，连接 证 平面 需证明直线 的直线 可； （ 2）要证平面 平面 需证明平面 的直线 直平面 【解答】 证明：（ 1）连接 点 O，连接 则点 O 是 中点 点 F 为 中点， 又 面 平面 平面 （ 2）在正方体 ， 连接 平面 又 平面 平面 平面 平面 而 面 平面 平面 第 12 页（共 23 页） 17如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是 圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为 8 米，圆柱的底面半径为 4 米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米 2 百元，制作圆锥侧面的造价为每平米 4 百元，设制作该存储设备的总费用为 y 百元 （ 1）按下列要求写出函数关系式： 设 h（米），将 y 表示成 h 的函数关系式； 设 （ 将 y 表示成 的函数关系式； （ 2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值 【考点】 不等 式的实际应用 【分析】 （ 1）分别用 h， 表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出 y 关于 h（或）的关系式； （ 2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值 【解答】 解：（ 1） 当 h 时， h， = ， S 圆柱底 = 42=16， S 圆柱侧 =2 4 h=8h， S 圆锥侧 = 4 y=2（ S 圆柱底 +S 圆柱侧 ） +4S 圆锥侧 =32+16h+16 （ h 4） 若 ，则 4 4， 0 1 0 S 圆柱底 = 42=16， S 圆柱侧 =2 4 （ 8 4=64 32S 圆锥侧 = 4= 第 13 页（共 23 页） y=2（ S 圆柱底 +S 圆柱侧 ） +4S 圆锥侧 =32+128 64=160+64（ ） （ 2）选用 y=160+64（ ），则 y（ ） =64 0， y（ ）在（ 0， 上是减函数， 当 时 y 取得最小值 y（ ） =160+64 =96+64 制作该存储设备总费用的最小值为 96+64 18在直三棱柱 ， 0， C=， E、 F 分别是 （ 1）求直线 平面 成角的正弦值； （ 2）设 D 是边 的动点，当直线 成角最小时，求线段 长 【考点】 直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）取 中点 M，连结 可证 平面 而 所求的角， （ 2）以 A 为原点建立空间直角坐标系，设 = ，求出 和 的坐标，计算 得出 关于 的函数，求出 | |取得最大值时对应的 的值，得到 的坐标，求出 | | 【解答】 解：（ 1）取 中点 M，连结 F， M 分别是 中点，四边形 矩形， ， 平面 平面 平面 成的角 E， M 分别是 中点， =1 = 第 14 页（共 23 页） = 直线 平面 成角的正弦值为 （ 2）以 A 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 B（ 2， 0， 0）， E（ 1， 1， 0）， F（ 0， 1， 2） 2， 0， 2）， 0， 2， 2） =（ 1， 0， 2）， =（ 0， 0， 2）， =（ 2， 2， 0）， 设 = =（ 2， 2， 0），则 = + =（ 2， 2， 2）（ 0 1） =2+4 = = = 当 即 = 时， 取得最大值，即直线 成角最小 此时， =（ ， ， 2）， | |= 19如图，已知椭圆 M： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且经过过点 P（ 2， 1） （ 1）求椭圆 M 的标准方程； （ 2）设点 A（ B（ 椭圆 M 上异于顶点的任意两点，直线 斜率分别为 求 值； 设点 B 关于 x 轴的对称点为 C（点 C， A 不重合），试求直线 斜率 第 15 页（共 23 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和 P 的坐标满足椭圆方程，结合 a， b， c 的关系，解方程可得椭圆方程； （ 2） 运用直线的斜率公式，可得 = ，两边平方，再由点 A， B 的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值； 由题意可得 C（ 运用椭圆方程可得 ，配方可得（ y1+2= （ 3+4（ 2=6 2+8由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， + =1， b2= 解得 a= ， b= ， 可得椭圆标准方程为 + =1； （ 2） 由题意可得 = ， 即为 6 又点 A（ B（ 椭圆 M 上异于顶点的任意两点， 可得 4 4 即有 6 6 化简可得 ； 由题意可得 C（ 由 4 4 可得 = ， 由 2+2， 可得（ 2=6 2 由 y1+2 2， 可得（ y1+2= +2（ 3+4 由 = ，即 4 可得（ 2=6 2+8 则直线 斜率为 = = 第 16 页（共 23 页） 20已知函数 f（ x） =c（ c 为常数， e 是自然对数的底数）， f（ x）是函数 y=f（ x）的导函数 （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）当 c 1 时，试求证： 对任意的 x 0，不等式 f（ x） f（ x）恒成立； 函数 y=f（ x）有两个相异的零点 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的导数，讨论 c 的范围：当 c 0 时，当 c 0 时，解不等式即可得到所求单调区间； （ 2） 作差可得， f（ x） f（ x） =c（ e x 2x），设 g（ x） =e x 2x， x 0，求出导数 g（ x），运用基本不等式判断单调性，即可得证； 求出 f（ x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于 0，即可得证 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =c 的导数为 f（ x） =c， 当 c 0 时， f（ x） 0 恒成立，可得 f（ x）的增区间为 R； 当 c 0 时，由 f（ x） 0，可得 x （ x） 0，可得 x 可得 f（ x）的增区间为（ +）；减区间为（ ， （ 2）证明： f（ x） f（ x） =x c（ x） c x+c（ x） +c=c（ e x 2x）， 设 g（ x） =e x 2x， x 0， g（ x） =ex+e x 2， 由 x 0 可得 ex+e x 2 2 2=0， 即 g（ x） 0， g（ x）在（ 0， +）递增，可得 g（ x） g（ 0） =0， 又 c 1，则 c（ e x 2x） 0， 可得不等式 f（ x） f（ x）恒成立； 函数 f（ x） =c 的导数为 f（ x） =c， c 1 时， f（ x）的增区间为（ +）；减区间为（ ， 可得 x= f（ x）取得极小值，且为最小值， 由 f（ =c=c c= 0， 可得 f（ x） =0 有两个不等的实根 则函数 y=f（ x）有两个相异的零点 请从以下 4 组中选做 2 组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分 选修 4何证明选讲 21如图，在 ， C， 外接圆是 O， D 是劣弧 上的一点，弦 C 的延长线相交于点 E，连结 延长到点 F，连结 （ 1）求证： 分 （ 2）求证： D 第 17 页（共 23 页） 【考点】 与圆有关的比例线段；弦切角 【分析】 （ 1）推导出 此能证明 分 （ 2）由 此能证明 D 【解答】 证明： （ 1） 圆 O 是四边形 外接圆， C， 对顶角， 分 （ 2） ， D 22如图， 两条高， 交于点 H， 延长线与 外接圆 O 相交于点 G， O 的直径 （ 1）求证： C=E； （ 2）求证： H 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 明 可证明 C=E； （ 2）根据三角形高的定义得到 0， 0，根据等角的余角相等得到 3，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到 3，则 后根据等腰三角形三线合一即可得到结论 【解答】 证明：（ 1） 连接 O 的直径， 两条高， B= E， 第 18 页（共 23 页） ， C=E； （ 2）连接 别是 边的高， H 是垂心， 0， 0， 3+ 3， 3， 而 分 即 G B 组 选修 4阵 与变换 23已知矩阵 A= ， B= （ 1）求 A 的逆矩阵 A 1； （ 2）求矩阵 C，使得 【考点】 逆变换与逆矩阵 【分析】 （ 1）求出矩阵的行列式，即可求 A 的逆矩阵 A 1； （ 2）由 得（ A 1A） C=A 1B，即可求矩阵 C，使得 【解答】 解：（ 1）因为 |A|=2 3 1 4=2， 所以 ； （ 2）由 得（ A 1A） C=A 1B， 故 24已知矩阵 ，其中 a R，若点 P（ 1， 1）在矩阵 A 的变换下得到点 P（ 0， 3）， （ 1）求实数 a 的值； （ 2）求矩阵 A 的特征值及特征向量 【考点】 特征值与特征向量的计算；二阶矩阵 【分析】 （ 1）根据点 P 在矩阵 A 的变化下得到的点 P（ 0， 3），写出题目的关系式，列出关于 a 的等式，解方程即可 （ 2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于 0，得到矩阵的特征值，对于两个特 征值分别解二元一次方程，得到矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量和矩阵 A 的属于特征值 3的一个特征向量 第 19 页（共 23 页） 【解答】 解：（ 1）由 = ， 得 a+1= 3 a= 4 （ 2）由（ 1）知 ， 则矩阵 A 的特征多项式为 令 f（ ） =0，得矩阵 A 的特征 值为 1 或 3 当 = 1 时二元一次方程 矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 当 =3 时，二元一次方程 矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为 C 组 选修 4标系与参数方程 25在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 极坐标方程为 =8 ），曲线 参数方程为 ，（ 为参数） （ 1）将曲线 极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线 参数方程化为普通方程； （ 2）若 P 是曲线 的动点，求 P 到直线 l： ，（ t 为参数）的距离的最大值 【考点】 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 【分 析】 （ 1）将极坐标方程展开，两边同乘 ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出 据同角三角函数的关系消元得出 普通方程； （ 2）求出直线 l 的普通方程，根据点到直线的距离公式得出 P 到直线 l 的距离 d 关于 的函数，利用三角恒等变换得出 d 的最大值 【解答】 解：（ 1） 曲线 极坐标方程为 =8 ）， =88 2=88 曲 线 极坐标方程为 x2+8y+8x=0，即（ x+4） 2+（ y 4） 2=32 曲线 参数方程为 ，（ 为参数） 曲线 普通方程为 第 20 页（共 23 页） （ 2）直线 l 的普通方程为 x 2y 7=0 P（ 83直线 l 的距离 d= = 当 +） = 1 时， d 取得最大 值 = P 到直线 l 的最大距离为 26选修 4 4：坐标系与