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第七节 二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示 曲顶柱体的体积 二重积分的概念 二重积分的性质 二重积分的中值定理 例1 例2 例3 例4 例5 内容小结 课堂练习 习题6-7 返回内容提要： 一、 二重积分的概念定义1 设是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域 其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点, 作乘积并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分, 记为 即 (7.2)其中称为被积函数,称为被积表达式, 称为面积微元, 和称为积分变量,称为积分区域, 并称为积分和.对二重积分定义的说明:(1) 如果二重积分存在，则称函数在区域上是可积的. 可以证明，如果函数区域上连续，则在区域上是可积的. 今后，我们总假定被积函数在积分区域上是连续的;(2) 根据定义，如果函数在区域上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于轴和轴的两组直线来分割积分区域，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域的边长为和，于是. 故在直角坐标系中，面积微元可记为. 即.进而把二重积分记为，这里我们把称为直角坐标系下的面积微元. 二、 二重积分的性质类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似.例题选讲： 二重积分的性质例1不作计算,估计的值,其中是椭圆闭区域:(例2（讲义例1）估计二重积分的值, 其中积分区域为矩形闭区域.例3 判断的符号.例4 积分有怎样的符号, 其中例5（讲义例2）比较积分与的大小， 其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1
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