2017_18学年高中数学第一章坐标系章末小结与测评教学案.docx

第一章 坐标系(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单舰A在舰B正东，距离6 km，舰C在舰B的北偏西30，距离4 km，它们准备围捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4 s后，B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s.空气阻力不计，求A炮击的方位角解如图，以BA为x轴，BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(3，0)，A(3，0)，C(5，2)设动物所在位置P(x，y)，P在BC中垂线上kBC，BC中点M(4，)，BC的中垂线方程为y(x4)即y(x7)|PB|PA|4|AB|6，P在双曲线1的右支上由得P(8，5)，设xAP，则tan ，60.炮弹发射的方位角为北偏东30.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x5)2(y6)21，求曲线C的方程，并判断其形状解将代入(x5)2(y6)21中，得(2x5)2(2y6)21.化简，得(y3)2.该曲线是以为圆心，半径为的圆.(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0，如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标、的关系ABC底边BC10，AB，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程解如图：令A(，)，ABC内，设B，A，又|BC|10，|AB|.于是由正弦定理，得，化简，得A点轨迹的极坐标方程为1020cos .(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位(2)互化公式为(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解(1)2acos ，两边同时乘以得22acos ，即x2y22ax.整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2.是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆(2)两边同时乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化为，是以为圆心，以为半径的圆(3)将4两边平方得216，即x2y216.是以原点为圆心，以4为半径的圆(4)2cos 3sin 5，即2x3y5，是一条直线.(1)柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0，02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可由有序数组(，z)表示，叫做点P的柱坐标(2)球坐标：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q.Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为，则P(r，)为P点的球坐标如图，在长方体OABCDABC中，|OA|3，|OC|3，|OD|3，AC与BD相交于点P，分别写出点C，B，P的柱坐标解C点的、分别为|OC|及COA.B点的为|OB|3；BOA，而tan BOA1.所以BOA.P点的、分别为OE、AOE，|OE|OB|，AOEAOB.所以C点的柱坐标为；B点的柱坐标为；P点的柱坐标为.如图，长方体OABCDABC中OAOCa，BBOA，对角线OB与BD相交于点P，顶点O为坐标原点；OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上试写出点P的球坐标解r|OP|，DOP，AOB，而|OP|a，DOPOBB，tan OBB1，OBB，AOB.点P的球坐标为.一、选择题1点M的直角坐标是(1, )，则点M的极坐标为()A.B.C. D.，(kZ)解析：选D2(1)2()24，2.又2k，kZ.即点M的极坐标为(2，2k)，(kZ)2化极坐标方程2cos 0为直角坐标方程为()Ax2y20或y1 Bx1Cx2y20或x1 Dy1解析：选C(cos 1)0，0，或cos x1.3极坐标方程cos 2sin 2表示的曲线为()A一条射线和一个圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆解析：选Ccos 4sin cos ，cos 0，或4sin ，(24sin )，则x0，或x2y24y.4(安徽高考)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R) 和cos 1解析：选B由2cos ，可得圆的直角坐标方程为(x1)2y21，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x0和x2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为(R)和cos 2，故选B.二、填空题5点M的柱坐标为，则它的直角坐标为_解析：x2cos 1，y2sin ，z8.它的直角坐标为(1，8)答案：(1，8)6点M的球坐标为，则它的直角坐标为_解析：x6sin cos 3，y6sin sin 3，z6cos 0，它的直角坐标为(3，3，0)答案：(3，3，0)7在极坐标系中，点(1，2)到直线(cos sin )2的距离为_解析：直线的直角坐标方程为xy20，d.答案：8在极坐标系中，过点A(6，)作圆4cos 的切线，则切线长为_解析：圆4cos 化为(x2)2y24，点(6，)化为(6，0)，故切线长为2.答案：2三、解答题9求由曲线4x29y236变成曲线x2y21的伸缩变换解：设变换为将其代入方程x2y21，得2x22y21.又4x29y236，即1.又0，0，.将曲线4x29y236变成曲线x2y21的伸缩变换为10.如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(2，0)，O2(2，0)设P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2.即(x2)2y212(x2)2y21即x212xy230.即动点P的轨迹方程为(x6)2y233.11在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上运动，且满足，求动点P的轨迹方程解：(1)如图所示，设M(，)为圆C上任意一点，如图，在OCM中，|OC|3，|OM|，|CM|1，COM，根据余弦定理，得12923cos ，化简整理，得26cos ()80为圆C的轨迹方程(2)设Q(1，1)，则有61cos (1)80.设P(，)，则OQQP1(1)231，又1，即代入得26cos ()80，整理得215cos ()500为P点的轨迹方程 (时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1点M的极坐标为，则它的直角坐标为()A(，1)B(1，)C(1，) D(，1)解析：选Cxcos 2cos 1，ysin 2sin .它的直角坐标为(1，)2原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(2，2)的极坐标是()A. B.C. D.解析：选B由直角坐标与极坐标互化公式：2x2y2，tan (x0)把点(2，2)代入即可得4，tan ，因为点(2，2)在第三象限，所以.3可以将椭圆1变为圆x2y24的伸缩变换为()A. B.C. D.解析：选D法一：将椭圆方程1化为4，()2()24.令得x2y24，即x2y24.伸缩变换为所求法二：将x2y24改写为x2y24，设满足题意的伸缩变换为代入x2y24得2x22y24，即1.与椭圆1比较系数得解得伸缩变换为即4曲线的极坐标方程为4sin ，化成直角坐标方程为()Ax2(y2)24 Bx2(y2)24C(x2)2y24 D(x2)2y24解析：选B由直角坐标和极坐标的互化公式ysin ，即2x2y2，可得x2y24y，整理得：x2(y2)24.5圆(cos sin )的圆心坐标是()A. B.C. D.解析：选A法一：圆(cos sin )2sin ()，可以看作由圆2sin 顺时针旋转得到而2sin 的圆心为(1，)，顺时针旋转得到(1，)，(cos sin )的圆心坐标为(1，)法二：圆(cos sin )直角坐标方程为x2y2xy0，(x)2(y)21，圆心的直角坐标为(，)，化为极坐标为(1，)6已知点P的坐标为(1，)，则过点P且垂直极轴的直线方程是()A1 Bcos C D解析：选C由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为x1，即cos 1.7曲线与6sin 的两个交点之间的距离为()A1 B.C3 D6解析：选C极坐标方程，6sin 分别表示直线与圆，如图所示，圆心C(3，)，AOC，|AO|23cos 63.8点M关于直线(R)的对称点的极坐标为()A. B.C. D.解析：选A法一：点M(1，)关于直线(R)的对称点为(1，)，即(1，)法二：点M(1，)的直角坐标为(cos ，sin )(，)，直线(R)，即直线yx，点(，)关于直线yx的对称点为(，)，再化为极坐标即(1，)9圆4cos 的圆心到直线tan 1的距离为()A. B.C2 D2解析：选B圆4cos 的圆心C(2，0)，如图，|OC|2，在RtCOD中，ODC，COD，|CD|.10圆r与圆2rsin(r0)的公共弦所在直线的方程为()A2(sin cos )rB2(sin cos )rC.(sin cos )rD.(sin cos )r解析：选D圆r的直角坐标方程为x2y2r2圆2rsin ()2r(sin cos cos sin )r(sin cos )两边同乘以得2r(sin cos )xcos ，ysin ，2x2y2，x2y2rxry0.整理得(xy)r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程再将直线(xy)r化为极坐标方程为(cos sin )r.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11直线xcos ysin 0的极坐标方程为_解析：cos cos sin sin 0，cos ()0，取.答案：12在极坐标系中，若过点A(4，0)的直线l与曲线24cos 3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为_解析：将24cos 3化为直角坐标方程得(x2)2y21，如右图易得k.答案：，13已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为_，球坐标为_解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，由得由得即点M的直角坐标为(，)，球坐标为(，)答案：(，)(，)14(湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_解析：曲线C1的直角坐标方程为xy1，曲线C2的直角坐标方程为x2y2a2，C1与x轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a.答案：三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)极坐标系中，求点(m0)到直线cos()2的距离解：将直线极坐标方程化为(cos cos sin sin )2，化为直角坐标方程为xy40，点(m，)的直角坐标为(m，m)，点(m，m)到直线xy40的距离为|m2|.16(12分)极坐标方程cos 与cos1表示的两个图形的位置关系是什么？解：cos 可变为2cos ，化为普通方程为x2y2x，即(x)2y2它表示圆心为(，0)，半径为的圆将cos ()1化为普通方程为xy20，圆心(，0)到直线的距离为1，直线与圆相离17(12分)(江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin()中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)因为圆C经过点P(，)，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .18(